2006年10月

トップページに戻る谷山浩子さんのページ連絡先 kagami@evariste.que.ne.jp
2006年9月 2006年11月更新履歴と日記の先頭に戻る日記の目次集合論雑記目次
たかたにさん Y.Kumagaiさんはやしさん redcat_mathさん tri_iroさん
Stromdorfさんてなさくさん渕野さんの伯母野山日記
最近のコメント(50件) Twitter (@kagami_hr)

02/25 aiueo 01/01 かがみ 01/01 ゼルプスト殿下 01/01 かがみ 01/01 ゼルプスト殿下 05/10 かがみ

2006年10月31日(火)

ハロウィン
各所でハロウィンのイヴェントが盛り上がっているようですが、下の写真は会社の Y さんが全部ご自分で準備して下さった、ハロウィンの飾りです。もちろん全部手作りです。いいですねえ。会社が和やかになります。もちろん仕事は大事なのですが、何といっても毎日長時間過ごすところ。良い雰囲気を作ることはとても大切だと思います。ありがとうございます＞Yさん。
ところでお供え物(違うか？)のお菓子ですが、いつものことなのですが、無性に食べたくなってきました。そこで Y さんの隣の席の S さんに「食べたら怒られるかな？」と聞いたところ、「少しカンパすれば良いのでは」ということで、目のところから百円入れて、三つ程頂戴したのです。後で Y さんに報告したところ、「お菓子はまだ残っているので、ご自由にお食べください。」とのことでしたが、お賽銭(これも違う！)を入れないで盗み食いをすると、夜中にかぼちゃんさまが宙を舞いそうな気がして、少々怖かったのでした(笑)。

コメント
_はやし [こちらでもさすが「本場」だけあって、色んなところでかぼちゃを見かけます。現地時間...]

_かがみ [実はハロウィンのことは良く知らなかったのですが、日本で言えば、お盆のようなものな...]

_はやし [こっちの人の話だと、どうやら収穫祭のようなものが起源らしいですが、現在は、ほとん...]

_かがみ [宙に舞うとこを見ちゃったりすると、私の場合、「一般拡大宇宙における反重力理論」と...]

_Joe [昔（20年位前）までは、日本ではハロウィンのことを「収穫祭」、春のイースターは「...]

_かがみ [Joeさん、こんにちは。いつも色々教えて頂き、ありがとうございます。こちらの方の...]

_Joe [だって、イースターはキリストの死後復活を祝うのだけど、ハロウィンは収穫を祝うだけ...]

_かがみ [そりゃそうなのですが、私は全部「お祭り」にしか見えないのですよ(笑)。]

_はやし [カソリックではハロウィンを「重視していない」どころか、一時は禁止していたはずです...]

_かがみ [あれっ、そうなんですか。もう一度家内に確認してみます。確かトマスアクィナスの研究...]

_はやし [え、アクィナスの研究をしてたんですか！？　それは何だかものすごい。じつはぼくも一...]

_かがみ [研究と書いてしまいましたが、大学レヴェルです。そうは言うものの、やはり色々と詳し...]

2006年10月30日(月)

ゲーデルと20世紀の論理学(2)
第二巻が発売になったようです。さっそく注文しました。
東京大学出版会 amazon.co.jp
個人的にモデル理論ブームなので、とても良いタイミングなのです。
(関連項目) ゲーデルと20世紀の論理学第一巻 (追記) Amazon で注文した直後に在庫切れに。人気があるのか在庫が極めて少ないのか。微妙です。
コメント
_はやし [うにゃあ、読みたいけど（お手軽な）入手手段がない！つわけで、目次から元ネタを想像...]

_かがみ [確かに米国だと日本の新刊書の入手は面倒そうですねえ。今週中に届くと思うのですが、...]

_はやし [Philosophically inclinedのぼくとしては野本さんのパートが...]

_かがみ [ご存じの通り哲学はもちろん、モデル理論の方も全く素人、といいますか、一般の水準以...]

2006年10月29日(日)

会社
昨日と今日は会社で仕事してます。といいますか、私って根本的に人様が作成したプログラムの修正が苦手なのでは、と思うこのごろなのです
コメント
_Joe [他人様が作成したプログラムの修正が苦手なのは、みんな同じだとおもいます(^^;。...]

_Y.Kumagai [得意な人って居るのでしょうかねぇ(笑) あまりにも酷い場合は修正せずに作り直すこ...]

_かがみ [皆さん苦労されてるのですねえ(笑)。作り直しの件ですが、さすがに最初からというの...]

2006年10月27日(金)

ゲーデルの完全性定理(続き)
集合論雑記目次
仕事の方は昨日から今日の分に関して一段落したので、気分直しに自明な事実をいくつか記載します。前回のゲーデルの完全性定理で証明した事実は次の通りでした。
理論が無矛盾ならばモデルを持つ。
この逆、即ち
理論がモデルを持てば無矛盾である。
はモデルの定義によりほとんど自明に成立します。さらに次の事実が成立します。
理論 $T$ の任意のモデルで充足可能な論理式 $\varphi$ は $T$ から証明可能である。
実際、もし $\varphi$ が $T$ から証明可能でない場合 $T\cup\{\neg\varphi\}$ は無矛盾。従って $T\cup\{\neg\varphi\}$ はモデルを持ちますが、これは仮定に反します。矛盾を導く証明は有限個の公理から得られるので、コンパクト定理と呼ばれる次の事実も成立します。
理論 $T$ の任意の有限部分集合がモデルを持てば $T$ もモデルを持つ。
また完全性定理の証明により、可算個の非論理記号からなる言語に属する理論は、無矛盾ならば可算モデルを持つことが分かります。さらに完全性定理の証明における「追加する定数」を事前に非可算個作ることにより、任意の濃度のモデルを持つことも証明出来ます。これがスコーレムの定理です。
ところで、強制法の根拠付けで重要な集合論の可算モデルの存在の仮定は、ゲーデルの完全性定理と不完全性定理により ZFC 内で証明不可能です。この場合、「集合論の有限個の公理」を満たすモデルの存在は ZFC から証明可能である事実を用いるのですが、これは一見コンパクト定理に反するような気がします。
実際には、「個別の具体的に与えられた有限個の公理を満たすモデル」の存在が ZFC から証明可能なわけであり、「任意の有限個の公理を満たすモデル(群) の存在」が ZFC から「一気」には証明できないという事情により、コンパクト定理と矛盾しないわけです。← 自分で考えたので間違いかも。
(関連項目) 2006年10月2日ゲーデルの完全性定理 2006年10月14日弱コンパクト基数(二回目)無限論理との関連
コメント
_Fu [こんにちは、Fu です。数学お休み期間中のところ、わざわざ説明ありがとうございま...]

_かがみ [Fu さん、こんにちは。私だけなのかも知れませんが、モデル理論というのは、良くわ...]

_くるる [ZFCからZFCの有限個の公理の無矛盾性が出ることがコンパクト性定理に反しないの...]

_かがみ [くるるさん、コメントありがとうございます。実は完全性定理がらみの簡単な事実を列挙...]

2006年10月26日(木)

徹夜モード
今晩は会社に泊まりです。余分に働くというより、夜の方がはかどるからという理由です。ただし土日も出勤の予定。少々せっぱつまってきたかな(^^。
コメント

2006年10月25日(水)

コメント欄スパム対策
今まで二回スパムコメントが入りました。今後増えそうな予感もするので、
２バイト文字を含まない内容はスパムと見なす
というルールを追加しました。さらにそのむねコメント記入ページに記載しました。ご迷惑をおかけしますがよろしくお願い致します。文字を数値に変換し、 0x80 とビット積をとるなんて面倒、と思って今まで実装しませんでしたが、実はとても簡単なことが分かったので(^^。
```
if ($body =~ /[\xA1-\xFE][\xA1-\xFE]/) {
    受理
}
```
(追記) 夜中にうまいこと六つ捕捉。これはらくちんで良いです。
コメント

2006年10月24日(火)

しらたまちゃん来たる
新品が届いていました。壊れたのとの交換はご家族さまにお願いしといたので、昨日と今日は古いしらたまちゃんを使っていたのです。古いのに戻した当初は、無意識にくるくるのところをまわそうとしたりして、少々使いにくかったのですが、やっとこ慣れてきたところで、くるくる復活です。
新品を触ってみて感じたのですが、くるくるの部分を回した感触が非常にスムーズなのです。今まで使っていたのはかなりごろごろした感じでしたから。ごろごろ感が個体の不調によるものならば良いのですが、ある程度使用した結果による劣化だとすると、同様な事態が何度でも発生しそうで少々やなのです。
(関連項目) 新しらたまちゃん壊れる
コメント

2006年10月23日(月)

もう時間がない
「プログラムは完成したが、書き込む余白が尽きてしまった」ってお客さんに言ったら怒られるよな(笑)。
コメント

2006年10月22日(日)

新しらたまちゃん壊れる
くるくるの下向きが動かなくなってしまったのです。一月程前から下向きの動きがいまいちになる場合があったのですが、本日、全く動作しなくなってしまいました。こういう機構らしいので、くるくる部分が不調に陥りそうなのは良くわかるのですが、普通のころころマウスみたいに、分解してお掃除できないのが難点です。こりゃ修理に出すしかなさそうですが、実は届いたときの保証書が現在行方不明というダブルパンチ。まいったな。
さらに、上の状態でうかつにもコントロールキーを押しながらくるくるを触り、画面を拡大してしまい、元に戻せなくなり一度リブートしたのは不覚の極みと言うべきです。
くるくるがついてて中途半端な動きしか出来ないなら、元のしらたまちゃんの方が使いやすいので、そちらに戻そうかと現在思案中です。
(後記) アップルのサポートセンターに連絡したところ、なんと新品と交換とのこと。素晴らしい(^^。
(関連項目) 新しらたまちゃん
コメント
_たかたに [あれま、そんなに早く壊れるものなのですか。私のような善良ユーザー(?)の元では長...]

_かがみ [なんか一月くらい前からたまに動きが悪くなることがあったのですが、数分で復活してい...]

2006年10月21日(土)

なるほど可換環の圏
上の方で勝手にリンクさせて頂いている、redcat_math さんのところで、現在「圏論への誘い」というシリーズが進行中です。無知というのは恐ろしいもので、私の質問はリンク先の通り。要するに(可換)環と環準同型からなる圏で全単射が必ずしも同型射にならない例がわかないということ。答えを教えて頂けば明らかなのですが、集合論的な「全射(上への関数)」のイメージが強く、とにかくわからなかったのです。
ちょっと考えてみたのですが、可換環 $A$ の素イデアル $p$ から局所環 $A_p$ を作ると、 $\mathrm{Spec}(A_p)~\rightarrow~\mathrm{Spec}(A)$ は局所化したアフィン多様体からの埋め込みみたいなのになるので(細かいこと忘れた)、 $A~\rightarrow~A_p$ が「全射」になるのはとても自然なのです。こんな簡単なことで喜んでてはいけないのですが、この考えが圏論での全射という概念から自然に導出されるのはとても素敵だなと思いました。
コメント
_Stromdorf [圏論ですか。私も一時期凝ったことがあるのですが、集合の圏において、圏論的意味の「...]

_かがみ [Stromdorf さん、こんばんは。圏論の方は、さすがに常識的なことは知らなけ...]

2006年10月20日(金)

中長期業績予測の秘密
まっとうな仕事をしている会社の売り上げとか利益の実績は、左のグラフのごとく、まあ年ごとに良かったり悪かったり、平均すればぎりぎり食べてゆけるかな、という場合が多いと思います。ところが、こちらも多くの会社で良く見られる風景かと思いますが、会社の偉い人が発表する、年度当初の中長期業績予測(努力目標？)は、右のグラフのごとく、あたかも指数関数のように増大するのです。さすが経営者です。考えが大きいと言いますか何と言いますか。
この予測通り売り上げや利益が伸びれば、十年後にはマイクロソフト並、二十年後には世界中の資産が会社のものになるのでは、といつも思うのですが、せっかく偉い人が熱弁を奮い一生懸命発表しているとき、余計なつっこみを入れないのが大人の態度というものです。

実績予測

そうは言うものの、どうして今までの実績から、このような楽観的な予測が得られるのだろうか？といつも不思議に思っていたのです。
今日、本当の理由が分かりました。
やはり偉い人は考えるスケールの大きさが違います。私の考えなどはるかに超越した理由があったのです。直線的思考ではなく平面思考。さすが経営者です。上のグラフを実数の世界で眺めていては全く経営の本質が見えない訳で、本来、複素数の世界で考える必要があったのです。その意味で、オイラーこそが近代経営学の元祖であると言うべきでしょう。
$e^{iz}~=~\cos~z~+~i\,~\sin~z$
正弦関数と指数関数なんて複素数の世界で考えれば同じようなものじゃあないですか(笑)。これぞ経営の本質です。いやはや、虚数の世界までも考えるとは、ほんと、経営というものは奥が深いものです。勉強になります。
それにしても上の経営理論が正しいとすれば、私の月給も大幅に増加しているはずです。ところが、現在のところ、特にそのような兆候は見られません。「どうしてなのだろう？やはり経営理論が間違えているのか。」と騒いでたら、 S 部長いわく。
かがみさん。ほんとは虚数のお札で月給出てるんですよ(笑)。
虚数ですか。大量の虚数お札。もしかして毎月 1000000000 i 円とか。使えないじゃん(笑)。てゆうかそれって偽札なのでは？
うーむ、ここはやはり地道に働き、せめて正弦曲線が減少トレンドに落ち込まないよう努力するしかなさそうです。そもそも世の中そんなうまい話が落ちてるわけないのです。
余談ですが、本日お札をキャプチャーして、さらに画像ソフトで一万 i 円とか書き換えたのを載せたくなったのですが、さすがに捕まりそうでまずいな、と自重したのはこれまた大人の態度でした。
コメント

2006年10月19日(木)

難しそうなスパム排除
先日スパムコメントが入ったという記事を書きましたが、幸いにしてその後は来ていません。ところで、コメントを PHS にメール送信するところまでは実装したのですが、これが誠に失礼ながら、短文の場合、ほとんどメールのスパムフィルターに捕捉されてしまうのです。いやはやほんとに失礼。メールの転送自体は、From: を見て、スパム判定によらず行っているので実害ないですが。
メールと違い、コメントの場合、話し言葉風になる場合が多いので、どうしてもスパムっぽく判定されてしまうようです。というわけでスパムコメントを bsfilter で捕捉する方式は却下です。うーむ、問題を先送りする性格なので、今のところ真面目なブロック方法は考えてないのですが、全部英語だったらスパムと見なす、あたりが安易ですが効果が高いのでしょうか？
コメント
_はやし [2バイト文字が入っていない投稿ははじくというのは、ぼくが管理を手伝っている掲示板...]

_たかたに [簡単・・・とは言いがたいですが最も効果があるのが『検閲』ですね。ブラウザのキャッ...]

_かがみ [はやしさん。ありがとうございます。やはり効果ありですか。今のところ一回だけですが...]

_かがみ [たかたにさん、どうもありがとうございます。確かに事前にチェックしてしまうのが一番...]

2006年10月18日(水)

猿でも分かる集合論
くるるさんのところに「猫でもわかる集合論」なる検索がきたそうな。まことに失礼ながら、つまらない突っ込みを書いた後、「猿でも分かる集合論」を調べたら、おうちが第九位。まずいじゃん(笑)。
コメント
_はやし [つうか、ぼくんとこが三位なんですけど！]

_かがみ [あれっ、ほんとだ！全く気がつきませんでした(嘘)。大丈夫です。今日の記事が捕捉さ...]

_かがみ(猿) [ほらっ、一番くじげっと。はやしさんとこは四位降格です。]

_はやし [あ、ほんとだ！それはそれで、なぜだか悔しいやら、「とはいえ四位か……」やら、複雑...]
鴨の日
今日は恒例の鴨の日でした。

N さんの天ぷらそば S さんの鴨汁

H さんと私の鴨南蛮

(関連項目) 鴨南蛮よたび鴨南蛮みたび
コメント
_S [今回でごたびだったんですね(^^)このままなんたびまでも続けましょうね〜☆Nさん...]

_H [かものお肉って、鶏肉と全然違いますねー。カモ南蛮ってカモとネギが入ってて、まさに...]

_かがみ [おいしかったですね。そういえばもう五回目なのですねえ。私もたまには鴨南蛮以外のを...]

_N [前回、隣のテーブルでサクサクと「秋の天ぷらそば」を食べている方をみておいしそうだ...]

_かがみ [こんにちは。鴨を食べなくては、なんて言いましたっけ(笑)。というか天ぷらがとても...]

2006年10月17日(火)

スパムコメント来たる
ついに来ちゃいましたよ！スパムコメント。いやはや、おうちみたいなローカルページには縁のないものかと思っていたのですが、来ちゃうもんなんですねえ。
内容はおくすり系で、見事な連係プレイです。たかたにさんとこと違って、お名前、内容、ID 入りなので見事に受理してしまいました。
```
2.37.232.72.reverse.layeredtech.com - - [17/Oct/2006:02:52:38 +0900] \
"GET /kagami/diary/0000/bbs/kuttukibbs.cgi?id=20061012-2 HTTP/1.1"  ...

2.37.232.72.reverse.layeredtech.com - - [17/Oct/2006:02:52:39 +0900] \
"GET /kagami/diary/0000/bbs/kuttukibbs.cgi?id=20061012-2 HTTP/1.1" ...

203.146.247.79 - - [17/Oct/2006:02:52:54 +0900] \
"POST /kagami/diary/0000/bbs/kuttukibbs.cgi HTTP/1.1" ...

200.223.97.154 - - [17/Oct/2006:02:52:55 +0900]
"POST /kagami/diary/0000/bbs/kuttukibbs.cgi HTTP/1.0" ...

168.167.253.97 - - [17/Oct/2006:02:53:08 +0900] \
"POST /kagami/diary/0000/bbs/kuttukibbs.cgi HTTP/1.1" ...

tdev223-98.codetel.net.do - - [17/Oct/2006:02:53:15 +0900] \
"POST /kagami/diary/0000/bbs/kuttukibbs.cgi HTTP/1.1" ...
```
まずは偵察隊が二つ来て GET。その後、すべて異なるアドレスの実行部隊が、四発連続同じ内容を POST です。こんな時間に POST されても即座には削除しようがありません。そもそも PHS への転送とかも行っていませんし。内容はおくすりのリンク先の羅列なのですが、こういうのってしょっちゅう場所を変えるでしょうから、何か連絡用なのでしょうか。その割には、その後、不審な GET はなかったですが。
いずれにしてもおうちもそろそろ対処法を考える必要がありそうです。面倒ですなあ。構想としては、POST 時の PHS への転送と、内容を bsfilter に食べさせてスパム判定を行うあたりなのですが、使わせて頂いてる「くっつきBBS」が Perl で書かれていて、ちっとも分からないのが難点なのです。
てゆうか、メール転送した内容が、今度はメールのスパムフィルターではねられ、スパム箱に入ったら大笑いです。
(追記) とりあえずメール送信機能を追加。
```
-------------------------------------------------------------------
require "mimew.pl";
require "jcode.pl";
...
sub mailsend {
    my $sendmail = '/usr/sbin/sendmail';
    # 宛先アドレス
    my $mailto = "kagami\@evariste.jp";
    # 送信元アドレス(somename はスパムフルター迂回用)
    my $mailfrom = "somename\@evariste.jp"; 
    my $subject = "くっつきBBS";
    my $name=$_[0];
    my $mailbody=$_[1];

    &jcode'convert(*name,'jis');
    &jcode'convert(*mailbody,'jis');
    $subject = mimeencode($subject);
    open(MAIL,"| $sendmail -t");
    print MAIL "To: $mailto\n";
    print MAIL "From: $mailfrom\n";
    print MAIL "Subject: $subject\n";
    print MAIL "\n";
    print MAIL "($name)\n";
    print MAIL "\n";
    print MAIL "$mailbody\n";
    close(MAIL);
}
-------------------------------------------------------------------
```
なんか EUC のまんまで JIS にならない。面倒なので
```
my $sendmail = '/usr/local/bin/nkf -j -m0 | /usr/sbin/sendmail';
```
に変更。
コメント

2006年10月16日(月)

山梨出張
今日は山梨県へ日帰り出張です。

コメント
_ニカポ [出張お疲れさまです。富士急行線はちとのろいですが、全体に素朴な感じが私は好きです...]

_かがみ [ニカポさんこんにちは。どうもお久しぶりです。禾生は乗り継ぎが悪いと、自宅から四時...]

2006年10月15日(日)

ひとやすみ
今月は数学関連の記事ばかりになってしまいました。同じような記事が続き、興味がない方とってつまんないのは良くわかるのですが、こういうのって周期があるのと、私の日記ということでごかんべんのほどを。
ところで、来週から三週間くらい、仕事の方がまた佳境となるので、数学関連の記事は余り書けないと思います。昨日のが少々中途半端なので、それを書き足すのと、完全性定理に対していくつかコメントを書きたいとは思っていますが。
弱コンパクト基数に関しては、大分長くなってきたので、「拡張の性質」と今まで断片的に書いてきた、可測基数の下に大量の弱コンパクト基数が存在することをまとめて、ひとまず終了としたいと考えています。次のお題としては、記述不可能性の方に走るか、強制の反復に走るか、現在考慮中です。どちらが良いのでしょうかねえ？
というかさすがにやや数学疲れの状態なのです。熱中してるときは余り感じないのですが、一段落したときにかなり消耗しているという状況です。それなら、別に義務で勉強しているのではないので、やめちゃうとか、少し休めばとも思うのですが、そうするとすべてを失うのではないかという、根拠のない強迫観念があるのです。もしかしてこれってかなりまずい状況なのかも知れません。やめてしまうということは絶対にあり得ないのですが、ここは思い切って一月くらい封印しようかな＞数学。
よしっ、決めた！内部的には封印しないとしても、日記に書くという行為が、特に体力を消耗するので、数学のまとまった話や写経は一月封印。気楽に数学本を読んでいる分にはそれほど疲れないので、しばらく新しい構想を求めて充電です。
コメント
_くるる [私見ではありますが、弱コンパクト性と$\\Pi^1_1$-記述不可能性が同値にな...]

_かがみ [記述不可能性に関する直感が今のところ全然ないので、弱コンパクト性との関連等まった...]

2006年10月14日(土)

弱コンパクト基数(二回目)無限論理との関連
本日は、無限個の「または」「かつ」さらに、無限個の変数に対する束縛を許す言語を考え、そのコンパクト性と弱コンパクト基数との関連について記載します。 $\lambda,\kappa\quad(\lambda~\le~\kappa)$ を無限基数とします。通常の一回述語論理の言語を拡張した、次の性質を持つ言語を、 $\mathcal{L}_{\kappa\lambda}$ に属する、または $\mathcal{L}_{\kappa\lambda}$ であると言います。(2) は拡張ではありませんが念のために。
(1) 高々 $\kappa$ 個の定数記号、変数記号を持つ。
(2) 通常の言語と同様、有限個の引数をもつ関数記号、述語記号を有限個持てる。
(3) 任意の $\alpha<\kappa$ と論理式の集合 $(\varphi_\xi)_{\xi<\alpha}$ に対し $\bigwedge_{\xi<\alpha}{\varphi_\xi}$ と $\bigvee_{\xi<\alpha}{\varphi_\xi}$ も論理式。
(4) 任意の $\beta<\lambda$ と高々 $\beta$ 個の自由変数を持つ論理式 $\varphi(x_\xi,\cdots)_{\xi<\beta}$ に対しその束縛 $\forall_{\xi<\beta}{x_\xi}(\varphi(x_\xi,\cdots))$ と $\exists_{\xi<\beta}{x_\xi}(\varphi(x_\xi,\cdots))$ も論理式。
$\forall$,$\exists$の場合、下ではなく横にインデックスを書くのが普通ですが、うまく出ないのです。かっこわる。通常の言語は $\mathcal{L}_{\omega\omega}$ です。 $\mathcal{L}_{\kappa\lambda}$ に属する言語の構造が与えられた時、対象式、論理式の解釈は「文字通り」行うこととします。論理式の集合の充足可能性についても同様とします。
弱コンパクト基数は、「無限論理の弱コンパクト性」に関する性質で特徴づけられます。
(定義論理の弱コンパクト性)
$\mathcal{L}_{\kappa\lambda}$ に属する言語 $\mathcal{L}$ が弱コンパクトの性質を持つ、とは次の事実が成立すること。
$\Sigma$ を $|\Sigma|\le\kappa$ である $\mathcal{L}$ の閉論理式からなる集合とする。 $\Sigma$ の任意の部分集合 $S\subset\Sigma$ に対し、 $|S|<\kappa$ を満たすものがモデルを持つと仮定する。このとき $\Sigma$ もモデルを持つ。
(定理弱コンパクト基数と論理の弱コンパクト性)
(1) $\kappa$ を弱コンパクト基数とすると、任意の $\mathcal{L}_{\kappa\kappa}$ に属する言語は弱コンパクトの性質をもつ。
(2) 逆に $\kappa$ を到達不可能基数とする。 $\mathcal{L}_{\kappa\omega}$ に属する任意の言語が弱コンパクトの性質を持つとき、 $\kappa$ は弱コンパクト基数。
(1) の証明は完全性定理と類似の方法で行われます。 $\kappa$ を弱コンパクト基数とし、 $\mathcal{L}$ を $\mathcal{L}_{\kappa\kappa}$ に属する言語、 $\Sigma$ を $\mathcal{L}$ の閉論理式の集合で $|\Sigma|=\kappa$ とします。まず次の手順により、完全性定理の証明と同様に、 $\mathcal{L}$ に「存在記号による束縛を具体化する」定数を導入します。
$\mathcal{L}_0~=~\mathcal{L}$ とする。
$\mathcal{L}_0$ の各論理式 $\varphi(x_\xi)_{\xi<\alpha}~\quad~(\alpha<\kappa)$ に対し新しい定数記号 $(c^{\varphi}_{\xi})_{\xi<\alpha}$ を追加した言語を $\mathcal{L}_1$ としする。以下同様に $\mathcal{L}_0~\subset~\mathcal{L}_1~\subset~\mathcal{L}_2~\cdots~$ を作り、 $\mathcal{L}^{\ast}~=~\bigcup_{n\in\omega}{\mathcal{L}_n}$ とする。
このとき $\kappa$ の正則性により $|\mathcal{L}^{\ast}|~=~\kappa$ が成立し、さらに $\mathcal{L}^{\ast}$ の各論理式 $\varphi(x_\xi)_{\xi<\alpha}~\quad~(\alpha<\kappa)$ に対し $\varphi$ に現れない定数記号 $(c^{\varphi}_{\xi})_{\xi<\alpha}$ が存在することが分かります。今、 $\sigma_\varphi$ を $\exists_{\xi<\alpha}x_\xi(\varphi(x_\xi,\cdots))~\rightarrow~\varphi(c^\varphi_\xi,\cdots)$ のこととし、完全性定理の証明と同様に $\Sigma$ に論理式群 $(\sigma^\varphi)$ を追加した拡張を $\Sigma\subset\Sigma^{\ast}$ とします。ここで $\varphi$ は $\mathcal{L}^{\ast}$ の論理式全体を動くこととします。さて $\Sigma$ を $\mathcal{L}$ の閉論理式からなる集合とし、 $|\Sigma|=\kappa$ さらに任意の $S\subset\Sigma$ に対し $|S|<\kappa$ ならばモデルを持つと仮定します。このとき定数記号追加の方法により、 $\Sigma^{\ast}$ も同様の性質を持つことは容易に分かります。従って、以降 $\mathcal{L}=\mathcal{L}^{\ast},\,\Sigma=\Sigma^{\ast}$ として議論を行います。
$\{\sigma_\alpha~\,:\,~\alpha<\kappa\}$ を $\mathcal{L}$ の閉論理式全体の列挙とします。 $\gamma<\kappa$ をとすると、仮定により $\Sigma~\cap~\{\sigma_\alpha~\,:\,~\alpha<\gamma\}$ は $\mathcal{L}$ にモデル $\mathcal{A}$ を持ちます。このようなモデルに対し、 $\gamma$ 上の真理値関数 $t_{\mathcal{A}}~:\,~\gamma~\rightarrow~2$ 即ち $(t_{\mathcal{A}}(\alpha)=1~\text{~iff~}~A|=~\sigma_\alpha)$ を考えることが可能です。このような $t_{\mathcal{A}}$ 「全体」からなる木 $\langle~T,~\subset~\rangle$ を考えるのです。正確には次のように定義します。 $T$ は次の条件を満たす $t$ 全体の集合。
(a) $t$ は $\mathrm{dom}(t)<\kappa$ から $2$ への関数。
(b) $\Sigma~\cap~\{\sigma_\alpha~\,:\,~\alpha<\mathrm{dom}(t)\}$ の $\mathcal{L}$ でのモデル $\mathcal{A}$ が存在して $(t(\alpha)=1~\text{~iff~}~A|=~\sigma_\alpha)$
このとき $\mathrm{ht}(t)~=~\mathrm{dom}(t)$ であることと $\kappa$ が強極限であることにより、 $|\mathrm{Lev}_\alpha(T)|~<~\kappa,\,\mathrm{ht}(T)=\kappa$ が成立します。ところが $\kappa$ は弱コンパクトなので、木の性質を持ちます。従って、枝(maximal chain) $B\subset{T}$ が存在し $|B|=\kappa$ を満たします。ここで $\Delta~=~\{\sigma_\alpha~\,:\,~\exists{t~\in~B}(t(\alpha)=1)\}$ とおきます。 $B$ が極大な鎖であることにより $\Delta$ は次の性質を持ちます。
(c) $\alpha<\kappa$ に対し $\forall{\xi<\alpha}(\varphi_\xi~\in~\Delta)~\leftrightarrow~\bigwedge_{\xi<\alpha}{\varphi_\xi}~\in~\Delta$
(d) $(\varphi~\in~\Delta)~\vee~(\neg\varphi\in\Delta)$
(e) $\neg((\varphi~\in~\Delta)~\wedge~(\neg\varphi\in\Delta))$
ここで $C$ を $\mathcal{L}$ の定数記号全体からなる集合とし $c,d~\in~C$ に対し同値関係 $c~\sim~d~\leftrightarrow~(c=d)~\in~\Delta$ を考え $A=C/\sim$ とします。以下は完全性定理の証明と同様で、例えば $n$ 変数の述語記号 $P$ に対し、解釈 $P([c_1],[c_2],\cdots,[c_n])~\leftrightarrow~P(c_1,c_2,\cdots,c_n)\in\Delta$ を行うことにより、 $\Delta$ のモデル $\mathcal{A}=\langle~A,C,P,\cdots~\rangle$ を構成することが可能で、さらに $\mathcal{A}|=\varphi~\leftrightarrow~\varphi\in\Delta$ が成立します。ところで $\Sigma~\subset~\Delta$ は明らかなので $\mathcal{A}$ は $\Sigma$ のモデルにもなり証明完了です。逆の証明は長くなってきたのでこんど追加します。
(参考文献) Thomas J. Jech著 Set Theory
(関連項目)
2006年10月2日弱コンパクト基数の基本性質(一回目)
2006年10月9日ゲーデルの完全性定理
コメント

2006年10月13日(金)

おおはずれ
MSNから「強制法任意法」という検索で来て、forcing の PDF ファイルをお持ち帰りになられた方がいらっしゃいます。可哀想に(笑)。てゆうかリンク先の概要を見れば、はずしてるの分かりそうなのですが。いずれにしてもだめじゃん＞MSN。
コメント

2006年10月12日(木)

アレフ0の呼び方
質問です。とある場所でも話題になっていたのですが、Wikipedia の Aleph number の項目の記述に、
The cardinality of the natural numbers is aleph-null $(\aleph_0)$ (also aleph-naught, aleph-nought)
とあります。今まで 30年以上「アレフゼロ」と読んでましたが、英語圏の人たちは本当に「アレフヌル」という感じの読み方をしているのでしょうか。
余談ですが $\aleph_1$ は「アレフイチ」と読んでいます。ただし、英語圏の人がこの読み方をしないことは、容易に想像できます(笑)。
(追記 2006年10月13日) 上の Wikipedia が Wikipwdia になっていたので修正しました。本来コメントを頂いた場合、その時点での内容に関するものであり、安易な修正を行うべきではないと考えていますが、誤字脱字等に関してはごかんべんのほどを。
コメント
_くるる [私が知っているそれなりに英語を喋る集合論者は全て$\\aleph_0$をalep...]

_かがみ [ほとんど名指しでの質問で失礼致しました。そうですか。 aleph naught(...]
明日はお休み
うれしいことに、明日まで予定していた仕事が本日完了しました。なので、明日は会社休んじゃいます。代休いっぱいあるし。別件にて、来週から土日休めない状況に陥ることは分かっているのですが、
明日できることは今日するな。
という信念のもとに生きてますので。はい！
コメント

2006年10月11日(水)

有理数体の順序
(定理)
任意の可算全順序集合は、通常の順序を考えた有理数体に、順序同型として埋め込むことが可能である。
すごく大雑把ですが、後で便利かもしれないので「証明」書いておきます。
(証明)
$\langle~A~\prec~\rangle$ を可算全順序集合とし、 $(a_n)_{n\in\omega}$ をその数え上げとする(もちろん元の順序はばらばら)。 $f_n=\{(a_0,q_0),(a_1,q_1),\cdots,(a_{n},q_{n})\}$ を $\{a_i\,:\,~i~\le~n\}$ から有理数体の部分集合への順序同型とする。このとき(ここがおおざっぱなのですが) 有理数体上の通常の順序が左右へ非有界であることと、稠密であることとにより $a_{n+1}$ の「正しい行き場所」 $q_{n+1}$ をとることが出来る。 $f_{n+1}=f_{n}~\cup~\{(a_{n+1},q_{n+1})\}$ とおくと $f_{n+1}$ は $f_{n}$ の拡張で $\{a_i\,:\,~i~\le~n+1\}$ から有理数体の部分集合への順序同型となるので、 $\bigcup_{n\in{\omega}}{f_n}$ が求めるものとなる。
$\langle~A~\prec~\rangle$ も左右非有界稠密な場合、上と同様な操作を一回ずつ(必要があれば)「互いに」行うことにより、このような全順序集合はすべて順序同型となることも分かる。
コメント
Hartogs数
くるるさんのところで、 $\aleph_1$ は具体的にどのようなものか、というお話があり、私などが口を出すのは本当に厚かましいのですが、ありがたくもリンク先にして頂いた(2004年5月2日アレフの定義) ということもあり、余計なコメントを書きました。ところで上のリンクで定義される「次の基数」はHartogs数と言うのですが、実は集合論を勉強して、最初に感動したのがその構成でした。それまで「次の基数」というのは、選択公理を仮定し、自分より大きい基数の最小のもの、という認識しかなく、全く具体性に欠けていたので、本当に衝撃的でした。集合論雑記を書き始めた最大の動機の一つです。集合論は一見非常に抽象度が高い様に思われますが、実は数学的の中で、特に具体的な分野なのではないか？と考え直したきっかけでもあります。今でもその考えは変わりません。
というわけで、Hartogs数はとても愛着がある概念なのです。そんなこんなで余計な突っ込みをしてしまったのですが、ほんと素人が口を出して失礼致しました。

コメント

2006年10月10日(火)

ピザの斜陽
一昨日の晩はピザを取ってみんなで食べたのです。私が食べたのは四切れ。夜中の三時頃、下の完全性定理の記事を書いてたら、お腹がすいてきて食べたのが一切れ。朝になりみんなが起きてくる前に(体育の日だったのでみんな寝坊していた) もう一切れ。結果的に四切れ残ったのです。
起きてきてそれを見たモカちゃんいわく。
(モカ) パパずるい！全部で六切れも食べたでしょ！！
「いや五切れしか食べてないよ。そもそも、どうして何切れ食べたのか分かるのよ？」なるつっこみに、モカちゃんさらにいわく。
(モカ) だって数えといたもん！
いやはや、わが娘とはいえ、陰険なやつですな、ほんと。これには反論するしかありません。「だからぁ、昨日の晩四切れ、夜中に一切れ、今朝一切れしか食べてないのだから、全部で五切れしか食べていません。」どだっまいったか。
(モカ) さっきから何言ってるの。だから六枚じゃないの。
えっ？....四枚、一枚、一枚...、ほんと六枚だ(笑)。うーむ最近とみに計算能力の衰えを感じますが、ここまで落ちぶれていたとは。というか夕食に食べた四切れが、なぜか頭の中で三つの切れ端の絵になってて、夜中に食べた一枚、早朝に食べた一枚が追加された絵を思い浮かべていたという。
(教訓)
このように数学において図による直感はあてになりません。ちゃんと論理的に考えましょう。← 全く説得力なし(笑)。
コメント

2006年10月9日(月)

ゲーデルの完全性定理
集合論雑記目次
弱コンパクト基数の関係で、無限論理のコンパクト性を眺めていたのですが、完全性定理の証明を知っていると、さらに分かりやすそうなので、本日はちょっと寄り道です。
余計なおしゃべりは一切行わず次の事実を証明します。
(ゲーデルの完全性定理)
$\mathcal{L}$ を一回述語論理を含む言語(非可算個の変数、定数記号が存在しても良い)とし $T$ をその閉論理式からなる無矛盾な集合(公理系)とする。このとき $T$ はモデルを持つ。
まず次の事実を証明します。
(補題 1 Henkin)
$\mathcal{L},\,T$ をそれぞれ一回述語論理の言語とその閉論理式からなる無矛盾な集合とする。 $\mathcal{L}$ に高々 $|\mathcal{L}|$ 個の定数記号の集合 $C$ を付け加え拡張した言語 $\mathcal{L}^+~=~\mathcal{L}\cup{C}\quad~\text(par~abus~de~langage)$ と、 $T$ の $\mathcal{L}^+$ での無矛盾な拡張 $T^+$ が存在し次の性質を満たす。 $\mathcal{L}^+$ の高々一つの自由変数を含む任意の論理式 $\varphi(x)$ に対し $c\in{C}$ が存在し $T^{+}~|-~\exists{x}(\varphi(x))~\rightarrow~\varphi(c)$
(証明) $|\mathcal{L}|=\lambda$ とし、 $\mathcal{L}$ へ新しいすべて相異なる定数記号 $C=(c_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ を追加した言語を $\mathcal{L}^{+}$ とする。 $\mathcal{L}^{+}$ の高々一変数の自由変数を持つ論理式の数は $\lambda$ 個なので、それらを $(\varphi_{\alpha}(x_{\alpha}))_{\alpha<\lambda}$ と整列する。ここで $x_\alpha$ は自由変数で何度重複があっても構わない。 $\mathcal{L}^{+}$ の閉論理式からなる集合列 $(T_{\alpha})_{\alpha<\lambda}$ を次のように構成する。
(1) $T_{0}~=~T$
(2) $T_{\alpha+1}~=~T_{\alpha}~\cup~\{~\exists{x_{\alpha}}~(\varphi_{\alpha}(x_{\alpha}))~\rightarrow~\varph_{\alpha}(d_{\alpha})\}$
(3) $T_\alpha~=~\bigcup_{\xi<\alpha}{T_{\xi}}$ ( $\alpha$ が極限順序数の場合)
(2) の構成で $\varphi_{\alpha}$ が自由変数を持たない場合は $x_{\alpha}~=~x_0$ とします。また $d_{\alpha}$ はそれまでの構成で使用した $T_{\xi}\quad~(\xi<\alpha)$ の論理式に現れない $C$ の最小の要素とします。今、 $T^{+}~=~\bigcup_{\alpha<\lambda}{T_{\alpha}}$ とおくと定理の条件を満たします。自明とは言えない部分は $T^{+}$ が無矛盾であるということですが、次のように証明できます。 $T_{\alpha+1}~=~T_{\alpha}~\cup~\{~\exists{x_{\alpha}}~(\varphi_{\alpha}(x_{\alpha}))~\rightarrow~\varph_{\alpha}(d_{\alpha})\}$ が最初に矛盾を引き起こす拡張と仮定すると、 $T_{\alpha}$ は無矛盾で、 $T_{\alpha}|-~\neg(\exists{x_{\alpha}}~(\varphi_{\alpha}(x_{\alpha}))~\rightarrow~\varph_{\alpha}(d_{\alpha}))$ が成立しますが、 $d_{\alpha}$ は $T_{\alpha}$ のいずれの論理式にも現れない定数なので矛盾。
(補題 2)
$T$ 閉論理式からなる無矛盾な集合とする時、包含関係と無矛盾性に関し極大な論理式の集合 $T~\subset~T^{\ast}$ が存在する。さらに任意の閉論理式 $\varphi$ に対し $\varphi~\in~{T^\ast}$ または $(\neg\varphi)~\in~{T^\ast}$ が成立する。さらに $\varphi\in{T^{\ast}}~\leftrightarrow~T^{\ast}|-\varphi$ が成立する。
(証明) 前半は Zorn の補題による。後半は極大性により明らか。
(完全性定理の証明) 言語とその言語に属する閉論理式からなる無矛盾な集合の対を、ここだけの記号で $\langle~\mathcal{L},~T~\rangle$ と表すこととする。まず $\langle~\mathcal{L},~T~\rangle$ から(補題 1)の方法で $\langle~\mathcal{L}^{+},~T^{+}~\rangle$ を作る。さらに(補題 2)の方法で極大な無矛盾系 $\langle~\mathcal{L}^{+},~T^{\ast}~\rangle$ を作成すると、この対は(補題 1)の結果を保存することは明らかである。今、 $\mathcal{L}^{+}$ の定数記号全体の集合を $C$ とし、その上の同値関係を $c~\sim~d~\leftrightarrow~(c=d)\in{T^{\ast}}$ により定義しする。さらに $c\in{C}$ の同値類を $[c]$ と表し $A=\{[c]~\,:\,~c\in{C}\]$ とする。次の方法で言語 $\mathcal{L}^{+}$ 上に $A$ を土台とする構造を導入する。
定数記号 $c\in{C}$ に対し $[c]$ をその解釈とする。

$P$ を言語 $\mathcal{L}^{+}$ の $n$ 変数述語記号とするとき、対応する関係 $R_{P}$ を $([c_1],[c_2],\cdots,[c_{n}])\in~R_{P}~\leftrightarrow~P(c_1,c_2,\cdots,c_n)~\in~T^{\ast}$ により定義する。

$F$ を言語 $\mathcal{L}^{+}$ の $n$ 変数関数記号とするとき、対応する関数 $f_{F}$ を $[c_0]=f_{F}([c_1],[c_2],\cdots,[c_{n}])~\leftrightarrow~(c_0=F(c_1,c_2,\cdots,c_n))~\in~T^{\ast}$ により定義する。
これらが well defined であることはすぐに分かる。このとき
(fact) $\mathcal{L}^{+}$ -構造 $\mathcal{M}^{+}=\langle~A,C,R_P,\cdots,f_F,\cdots~\rangle$ に対し $\varphi\in{T}^{\ast}~\leftrightarrow~\mathcal{M}^{+}|=\varphi$ が成り立つ。即ち $\mathcal{M}^{+}$ は $T^{\ast}$ のモデルとなる。
この事実が証明できれば、明らかに $\mathcal{M}^{+}$ は $\langle~\mathcal{L}^{+},T~\rangle$ のモデルとなり、 $D$ をもともとの $\mathcal{L}$ の定数記号全体とすると、 $D~\subset~C$ で $T$ に属する論理式は $C-D$ の要素を含まないので、 $\mathcal{L}$ -構造 $\mathcal{M}=\langle~A,D,R_P,\cdots,f_F,\cdots~\rangle$ は $\langle~\mathcal{L},T~\rangle$ のモデルとなる。
(fact) の証明であるが、論理式の記号の数による帰納法による。まず $\varphi~\in~T^{\ast}$ が論理記号 $P$ と自由変数を含まない項 $t_1,t_2,\cdots,t_n$ に対し $P(t_1,t_2,\cdots,t_n)$ の場合、例えば $T^{\ast}~~|-~\exists{x}(x=t_1)$ なので $c_1\in{C}$ が存在し $T^{\ast}~|-~(c_1=t_1)\,.$ 従って $P(c_1,c_2,\cdots,c_n)\quad~(c_1,c_2,\cdots,c_n~\in~C)$ の場合に帰着されるが、 $P(c_1,c_2,\cdots,c_n)~\in~T^{\ast}$ なので $([c_1],[c_2],\cdots,[c_{n}])\in~R_{P}$ が成り立つ。従って $\mathcal{M}^{+}|=\varphi\,.$ 関数記号の場合も同様である。 $\varphi~\in~T^{\ast}$ が $\chi~\wedge~\psi$ もしくは $\neg\chi$ の形の場合は容易に証明できる。最後に $\varphi~\in~T^{\ast}$ が $\exists{x}(\chi(x))$ の形の場合であるが、 $c\in{C}$ が存在し $T^{\ast}~|-~\exists{x}(\chi(x))~\rightarrow~\chi(c)$ が成り立つ。従って $T^{\ast}~|-~\chi(c)\,.$ $c\in{C}$ の $\mathcal{M}^{+}$ での解釈は $[c]\in{A}$ だったので、帰納法の仮定により $\mathcal{M}^{+}|=\chi([c])\,.$ 従って $\mathcal{M}^{+}|=\varphi\,.$
上記定理から導かれる関連した事実は次回記述します。
(参考文献) C.C. Chang , H.J. Keisler 著 Model Theory
(関連項目)
2004年7月3日一階述語論理を含む言語
 2004年7月4日一階述語論理を含む言語〜続き
 2004年7月9日構造とモデル〜7月11日内容追加
 2006年10月27日ゲーデルの完全性定理(続き)
コメント

2006年10月8日(日)

コメントぷち変更
上の方の「最近のコメント」で、今までは、記事の日付と投稿して下さった方のお名前を一つの該当記事へのリンクとしていましたが、いちいち記事へ飛び、さらに詳細を見るのも面倒な場合がありそうです。そこで、日付とお名前を分離し、日付をクリックした場合該当の記事、お名前をクリックした場合、直接該当のコメント詳細ページへ飛ぶように変更しました。
コメント

2006年10月7日(土)

お笑い集合論検索
最近おうちに集合論がらみの検索が多いので、いくつかの検索サイトで「集合論」というキーワードを調べてみました。
(google) Wikipediaが最上位なのですが、現在第二位と第三位、第五位がちょっと(笑)。まあ個人的に第三位(区)はそれほど嫌いではないのですが。おうちは現在十番目。変動が激しいのでお客様が見られるときには変わっているかも知れません。
(Yahoo!) おお！こちらも(区)が堂々の第三位。健闘しております。おうちはちっとも現れません(笑)。
(MSN) なんとこちらはおうちが第二位。ところが一位の座を獲得してるのが、少なくとも数学に対する誤った認識という点で、日本一のトンデモと呼んでまず間違いないであろう Mizar のページ。(区)も健闘し第六位です。てゆうか
MSN は故意にイロモノ集合論サイトを上位に持ってきてるのでは(笑)。

(おまけキッズ goo) こちらも(区)が大健闘です。でもクリックするとこんな感じ。残念です。というか(区)の内容はともかくとして、そんなに変な言葉は使ってなかったと思うので、少々不思議。おうちは十一位です。しかもちゃんと中に入れるのです。ところがさらにリンクをたどり日記というか、集合論に関する記事の本体を読もうとすると、ほとんど入れません。むむむ！これでは良い子達が集合論という美しい世界に接する機会を喪失してしまう場合もありうるのではないか！！
といいますか、ご存知の通り、一月に一度くらいのペースでしもねたに走る癖をなんとかしないと、絶対に改善されませんな。反省してます(嘘)。
真面目な話、上記検索結果は少々まずいのでは、と思わないでもないのですが、まあ(ト)系はどうしてもリンク数が増えるし、人気が出る場合もあるので、現行の検索の仕組みでは仕方ないのでしょう。地道に良質な内容の記述を増やしてゆくしかないと思います。こんな記事を書いてる暇があるなら、集合論の勉強をするべきです(こちらはほんと)。
コメント
_くるる [これに関しては私も困ったものだと思っています。ブログを書いている理由の一つでもあ...]

_かがみ [コメントありがとうございます。トンデモのページはリンク数が増えるので、上位にラン...]

2006年10月6日(金)

ブルバキおやじ
ネットで数学関連のページを巡回していると、昔ブルバキを真面目に読んだことがあると思われる人が、今でも数学に対する愛情を失わない場合が多い気がする。ブルバキがそうさせるのか、それともブルバキを読むような性向の人がそうなるのか。謎ですな。てゆうか題名やばすぎ(笑)。
コメント
数学書の引用について
先日の弱コンパクト基数の基本性質(一回目) の最後にも書いたように、集合論雑記での証明の内容は、ぶっちゃけて言えば、ほとんど全部が参考文献の引用(というかコピー)のみからなっています。この雑記を書き続けている理由はいくつかあって、集合論が好きなことが一番だと思いますが、自分が勉強した内容を公開するためには、あまりいいかげんなことは書けないので、「良くわからんがそんなものかな」という部分を納得出来るまで考える(これって思いのほかきついのです)ため、要は学生さんのセミナー発表ののりと言うか。それから自己顕示欲とか人間関係とかの理由もあると思います。集合論雑記を通じて素晴らしい人たちと知り合えたいうこともありますから。
もう一つの理由として、雑記を読んで下さった方で、集合論や数学一般に対し興味を持って下さる方が一人でもいらっしゃればうれしいな、ということですが、これに関して成果が上がっているのどうかは分かりません。いやっ、もしかすると、いまさらやめたらすごくかっこわるいというのも大きな理由かも(笑)。最初は順序数と基数、Zornの補題くらいまでのつもりだったのですが。でも順序数を知らないおじさんが、土日勉強でそれなりに楽しめる程度の内容まで行けることを示せたのは良かったかも知れません。
それはともかくとしていつも気になるのは、定理の内容はともかく、証明をどこまで引用して良いのか、ということなのです。最初に書いたように本雑記の場合、やや表現を変えたり、補足説明を追加(内容をはしょることもある)している場合はあるものの、実質本の内容そのまんまの場合がほとんどで、ほんとに大丈夫なのかいな。
自分としてのいい訳は、「書いているときはノートは見るが本は見ていない (えーっと、それでも収拾がつかない場合ちょっと見るんですが)。少なくともそのときは分かったつもりの状態で書いている。」位しかないのがつらいところです。そもそも今書いている集合論雑記の内容など非常に初歩的であることは分かるのですが、三年前の自分にとっては夢のような進展であり、未知の定理に対してはもちろん、既知の定理に対しても、自分で証明を考えだすことは絶対に不可能です。
現実問題として、雑記程度の内容に関して、著作権がらみでつっこみが入ることはないと思いますし、気になるといいつつ、世の中の役に立つかは別として、とりたてて害になるとは思えない内容なので良いではないか、という気持ちがあることは確かです。あっ、現行の、特に学術関連書籍に対する著作権の仕組みについては、言いたいことが山ほどあるのですが、今回は言及しません。つか、この雑記のせいで Kunen や Jech 本の売れ行きが減ることは絶対にないのでは。むしろ運が良ければ、興味を持って下さる方が購入する確率の方が高いのでは。まあそこまで影響力があるとは思っていませんが。
歴史的に貴重な絶版本の著作権について考えていたら、全然関係ない内容になってしまいました。というわけで今後内容が難しくなるにつれ、ますますそのまんま証明が増えると思いますが、これは行き過ぎとかご意見がありましたら、どしどしつっこんで下さい。おそらく素直に従わないと思いますが(笑)。
コメント

2006年10月5日(木)

あかん
風邪で熱でちゃった。そう言えば数日前モカちゃんが学校休んだ。今日はだめ。
コメント

2006年10月4日(水)

今日から会社
四連休も終わり今日から出社です。連休は例のごとくだらだら過ごしてるうちに終わってしまいました。このページのコメント関連の改善を行ったのと、少しだけですが数学の勉強も進んだのでよしとしましょう。
余談ですが、奥さまに「どうも私の文章はだらだらしてる。もっと簡潔明瞭な文章が書けるようになりたい。」と言ったところ、「そもそもあなたは生活がだらだらしているのだから、文章だけ直そうとしても無理！！それが持ち味なのだから気にすることないじゃない。」と微妙なつっこみが返ってきました。うーむ、ほんとに良いのだろうか？さらに「こんな感じ」と日記を見せたら、ねこみみの件もばれてしまった(笑)。
コメント
_キャサリン [奥様ったら、いつもながらなんて的確なコメント・・・その素敵マトモ具合はうちのPO...]

_かがみ [こんばんは。コメントありがとうございます。やはり本文での奥さまのコメントは客観的...]

2006年10月2日(月)

弱コンパクト基数の基本性質(一回目)
集合論雑記目次
非可算基数 $\kappa$ が次の性質を満たす時弱コンパクトと呼びます。記号の定義に関しては 2006年8月5日今だ弱コンパクト基数おこもり中を参照して下さい。
$\kappa~\rightarrow~(\kappa)^{2}_{2}$
(定理)
弱コンパクト基数は到達不可能。
(証明) まず正則性。 $\kappa$ が正則でないと仮定すると、 $\lambda<\kappa$ と $\kappa$ の部分集合による分割 $(A_{\xi})_{\xi<\lambda}$ が存在し、すべての $\xi~<~\lambda$ に対し $|A_{\xi}|<\kappa.$ ここで関数 $f:\,[\kappa]^2~\rightarrow~2$ を「 $f(\{\alpha,\beta}\}~=~0~\text{~iff~}~~\exists{\xi<\lambda}(\alpha,\beta\in{A_{\xi}})$ 」により定義すると $f$ に対する homegeneous set $H$ で $|H|=\kappa$ なるものは存在しない。
次に強極限であること。 $\lambda~<~\kappa$ に対し $\kappa~\le~2^\lambda$ が成立したとする。 2006年8月13日分割の性質に関するメモの定理3により $2^\lambda~\not\rightarrow~(\lambda^+)^2_{2}$ が成立するので $\kappa~\not\rightarrow~(\kappa)^2_{2}\,.$
(定義木の性質) 基数 $\kappa$ が次の性質を持つとき、木の性質を持つという。
半順序集合 $T$ が次の性質を満たす木であるとする。
$\mathrm{ht}(T)=\kappa,\,~~\forall{\alpha<\kappa}(|\mathrm{Lev}_{\alpha}(T)|~<~\kappa)$
このとき枝(極大全順序部分集合) $B\subset{T}$ が存在し $|B|=\kappa$
木の基本的な用語に関しては 2004年8月19日木(tree)に関する諸定義を参照して下さい。
(定理弱コンパクト基数と木の性質)
(1) 弱コンパクト基数は木の性質を持つ
(2) 逆に $\kappa$ が到達不可能基数で木の性質を持てば、 $\gamma~<~\kappa$ に対し $\kappa~\rightarrow~(\kappa)^2_{\gamma}$ が成立する。特に $\kappa$ は弱コンパクト。
(証明)
(1) $\langle~T,~<_{T}~\rangle$ を仮定の条件を満たす木とすると、 $|T|=\kappa$ なので $T=\kappa$ と仮定して良い。 $T$ の半順序 $<_{T}$ に対し、全順序 $\prec$ を次のように定義する。
$\alpha,\beta\in{T}$ が $<_T$ に関し compatible な場合 $\alpha~\prec~\beta~\leftrightarrow~\alpha~<_T~\beta\,.$
$\alpha,\beta$ が $<_T$ に関し incompatible な場合 $\alpha,\beta$ の「分岐点」を $\xi$ とし $\xi$ から伸びる $\alpha,\beta$ 方面への枝の $\xi$ を要素としない最小元をそれぞれ $\alpha_\xi,\beta_\xi$ とするとき $\alpha~\prec~\beta~\leftrightarrow~\alpha_\xi<\beta_\xi\,.$
今 $f:\,[\kappa]^2~\rightarrow~2$ を「 $f(\{\alpha,\beta\})~=~0~\text{~iff~}~\alpha\prec\beta$ と $\alpha~<~\beta$ が両立する」という条件で定義すると、 $\kappa$ が弱コンパクトであることにより $H\subset{\kappa},~\,~|H|=\kappa$ が存在し $f$ は $[H]^2$ 上で定値。さらに $x\in{T}$ に対し $A_x~=~\{\alpha\in{H}~\,:\,~x~<_T~\alpha\}$ とおき $B=\{x\in{T}~\,:\,~|A_{x}|=\kappa~\}$ とします。このとき明らかに $B\cap~\mathrm{Lev}_\alpha(T)~\neq~\emptyset~\text{~for~all~}~\alpha<\kappa$ が成り立つので $|B|=\kappa\,.$ 従って $B$ が鎖であることを示せば証明完了となります。そこで $x,y\in{B}$ を $<_{T}$ に関し incompatible であり、例えば $x~\prec~y$ を満たすと仮定します。このとき $|A_x|=|A_y|=\kappa$ なので $H$ の要素 $\alpha~<~\beta~<~\gamma$ で $x~<_{T}~\alpha,~\,~y~<_{T}~\beta,~\,~x~<_{T}~\gamma$ なるものが存在しますが、この場合 $\alpha~\prec~\beta,\,~\gamma\prec\beta$ が成り立ち $H$ の等質性に矛盾します。
(2) については $\gamma=2$ の場合を証明する。一般の場合も同様である。 $\kappa$ が (2) の仮定を満たすとし、 $h:\,[\kappa]^2~\rightarrow~2$ を関数とする。 $\alpha<\kappa$ に対し $\alpha$ の部分集合 ( $\alpha$ もしくは $\alpha$ の切片となる)から $\kappa$ への関数の列 $(f_\alpha)_{\alpha<\kappa}$ を次のように定義する。
$\xi<\alpha$ に対し $f_{\alpha}\uparrow\xi$ が定義されていると仮定します(↑は関数の部分集合への制限)。 $\beta<\alpha$ で $f_\beta~=~f_{\alpha}\uparrow\xi$ なるものが存在しない場合、 $f_\alpha$ の構成は終了。そうでない場合 $f_\alpha(\xi)~=~h(\{\alpha,\beta\})\,.$
最初の方を具体的に書いてみる。
$f_0~=~\emptyset$
$f_1(0)~=~0~\quad~\text{iff~}~h(\{0,1\})=0$
$f_1(0)~=~1~\quad~\text{iff~}~h(\{0,1\})=1$
$f_2(0)~=~0~\quad~\text{iff~}~h(\{0,2\})=0$
$f_2(0)~=~1~\quad~\text{iff~}~h(\{0,2\})=1$
ここですでに構成が完了した $f_1(0)$ と $f_2(0)$ の値が一致しない場合 $f_2$ の構成はここで完了である。そうでない場合 $f_2$ は $f_1$ の拡張となり
$f_2(1)~=~0~\quad~\text{iff~}~h(\{1,2\})=0$
$f_2(1)~=~1~\quad~\text{iff~}~h(\{1,2\})=1$
$f_3$ に関しては場合分けが多くなるので、直感的に述べる。 $f_3(0)~=~0~\quad~\text{iff~}~h(\{0,3\})=0$
$f_3(0)~=~1~\quad~\text{iff~}~h(\{0,3\})=1$
例えば $f_1(0)=f_2(0)~,~\,~f_3(0)~\neq~f_1(0)~(=f_2(0))$ の場合はここで終了。そうでない場合
$f_3(1)~=~0~\quad~\text{iff~}~h(\{1,3\})=0$
$f_3(1)~=~1~\quad~\text{iff~}~h(\{1,3\})=1$
もし $f_2(1)~\neq~f_3(1)$ の場合ここで終了。そうでない場合
$f_3(2)~=~0~\quad~\text{iff~}~h(\{2,3\})=0$
$f_3(2)~=~1~\quad~\text{iff~}~h(\{2,3\})=1$
$f_1(0)~\neq~f_2(0)$ の場合 $f_3(0)$ は上のいずれかに一致する。さらにこの場合 $f_2(1)$ は定義されていないはずである。例えば $f_3(0)~=~f_2(0)$ の場合
$f_3(1)~=~0~\quad~\text{iff~}~h(\{2,3\})=0$
$f_3(1)~=~1~\quad~\text{iff~}~h(\{2,3\})=1$
$f_3(0)~=~f_1(0)$ の場合
$f_3(1)~=~0~\quad~\text{iff~}~h(\{1,3\})=0$
$f_3(1)~=~1~\quad~\text{iff~}~h(\{1,3\})=1$
この場合 $f_3(2)$ は定義されない。
という案配に進行するのです。木 $T$ を $\langle~\{f_\alpha\,:\,\alpha<\kappa\},\,\subset~\rangle$ により定義します。 $|T|=\kappa$ です。 $T$ の各レヴェル $\mathrm{Lev}_\alpha(T)$ は $\alpha$ 定義域とする 2 への関数からなり $\kappa$ が強極限であるので $|\mathrm{Lev}_\alpha(T)|<\kappa\,.$ 従ってこんどは $\kappa$ の正則性により $\mathrm{ht}(T)=\kappa\,.$ よって $T$ の枝 $B\subset{T}$ が存在し $|B|=\kappa\,.$ $H_0=\{\alpha<\kappa~\,:\,~f_\alpha~\in~B~\wedge~f_\alpha^\frown{0}\in{B}\},\,~H_1=\{\alpha<\kappa~\,:\,~f_\alpha~\in~B~\wedge~f_\alpha^\frown{1}\in{B}\}$ とおくと、 $H_0~\cup~H_1~=~B$ であり $h$ に関しいずれも等質。さらに少なくとも片方の基数は $\kappa$ に等しい。
最後に可測基数が弱コンパクトであること。
(定理)
可測基数は弱コンパクト
(証明) $\kappa$ を可測基数とし $\langle~T,~<~\rangle$ を $\mathrm{ht}(T)=\kappa,~\forall{\alpha<\kappa}(|\mathrm{Lev}_\alpha(T)|<\kappa)$ を満たす木とします。このとき $|T|=\kappa$ なので $T$ 上に nonprincipal $\kappa$ -complete ultrafilter $U$ が存在します。ここで $A_x~=~\{y\in{T}\,:\,~x<y\}$ とし $B=\{x\in{T}\,:\,~A_x\in~U\}$ とすると $B$ は鎖である。また $B\cap~\mathrm{Lev}_\alpha(T)~=~\emptyset$ と仮定すると。 $\mathrm{ht}(x)=\alpha$ なる $x\in{T}$ に対し $A_{x}=\{y\in{T}\,:\,x<y\}\notin~U\,.$ このような $x$ は $\kappa$ より小さい個数しか存在しないので、合併 $A=\{y\in{T}~\,:\,~\exists{x\in{T}}(\mathrm{ht}(x)=\alpha~\wedge~x<y)\}$ も $U$ の要素とならないが $|T-A|<\kappa$ なので矛盾。
本日の記述は Thomas J. Jech 著 Set Theory の内容をほとんどコピーです。ほとんど役に立たない絵と、少々の補足と具体例を記載したのでご勘弁の程を。
(関連項目)
2006年8月5日今だ弱コンパクト基数おこもり中
 2006年8月13日分割の性質に関するメモ
 2004年8月19日木(tree)に関する諸定義
 2005年1月9日測度と可測基数
コメント

2006年10月1日(日)

コメントインライン化
昨日のコメントで Javascript での概要表示(下のコメント欄)がキャッシュに残りやすく、更新されたのが分かりにくいという話題となりましいた。さらに Javascript での表示ですと、ブラウザによっては表示されない場合もあるようです。そこで Javascriot の元となるソースファイル、例えば 20061001-1.js を解析して、概要をインラインで表示するように変更しました。
実装方法は昨日と全く同様です。日付の部分から記事IDを推測し、それに対応する js ファイルを開き、PHP にパイプで流し込み、もとソースの行頭に _COMMENT (この文字列を本文でソースの行頭に書くとまずい) と書かれている部分を置換するのです。昨日よりもっとアドホック(笑)。
今まで毎日記事IDに注意しながら BBS へのリンクと Javascirpt ソースの実行指示を記述していたのですが、その点に関し自分がとても楽になったのもうれしいのです。
コメント

2004年7月6日から 18346 アクセス

2006年9月 2006年11月更新履歴と日記の先頭に戻る日記の目次
 集合論雑記目次
 はてなリング数学の輪
 トップページに戻る谷山浩子さんのページ


N さんの天ぷらそば	S さんの鴨汁

H さんと私の鴨南蛮


実績	予測