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こんにちは、Fu です。数学お休み期間中のところ、わざわざ説明ありがとうございます。あ、そうか。理論がモデルを持てば無矛盾ってよく考えれば当たり前だったんですね。とすると、強制法の議論では、実際はZFCの可算モデルまでは考えてないんですね。そのとき必要な有限個の公理を満たすモデルを考えて上手くいくってことでしょうか。うーん、ちょっと考えてみます。
Fu さん、こんにちは。私だけなのかも知れませんが、モデル理論というのは、良くわからないけどそんなもんかな、と思っているといつの間にか証明完了と書いてあったりして、直感的にとらえにくい部分があるような気がします。完全性定理の証明など、ちょっとひきょうなのでは、という感じさえします(笑)。強制法を始めて勉強したとき、どうしても根拠づけのところで悩んでしまい、肝心の内容的な部分を理解するのに手間取った経験があります。私自身、本当に初歩的な部分しか知らないのですが、まずは内容的な部分を勉強し、強制関係や Generic 拡大に関する最初の直感をつけられるのが良いと思います。落とし穴がたくさんあって大いに楽しめるということもありますので。
ZFCからZFCの有限個の公理の無矛盾性が出ることがコンパクト性定理に反しないのは、最後の部分で仰っている通りの理由です。有限個の定理を決めればそのモデルを構成することができますが、その対応はVの中には存在していないので。
くるるさん、コメントありがとうございます。実は完全性定理がらみの簡単な事実を列挙しようと本記事を書いたのですが、最後にコンパクト定理に言及した時、突然「そういえば強制法での有限個の公理に関するモデルの存在との関係がまずいのでは？」と悩みなじめたのです。本来、今日の記事は昨日アップする予定だったのです。最後の憶測は、一日悩んだ消去法による背理法と言いますか、余り根拠のないあてずっぽうです。良くわからない事実を書くのはどうかな、と思いましたが、間違えていればくるるさんが教えて下さるであろう、と誠に厚かましい理由で掲載することにしました。この辺りの知識と言いますか、直感は、反映の原理との関係も深そうですし、今後、記述不可能性の勉強に関し、あいまいな状態では困るので、一度見直しているところです。だらだら書いてしまい申しわけございません。今後ともよろしくお願い致します。
こんにちは、Fu です。
数学お休み期間中のところ、わざわざ説明ありがとうございます。
あ、そうか。理論がモデルを持てば無矛盾ってよく考えれば当たり前だったんですね。
とすると、強制法の議論では、実際はZFCの可算モデルまでは考えてないんですね。そのとき必要な有限個の公理を満たすモデルを考えて上手くいくってことでしょうか。うーん、ちょっと考えてみます。
Fu さん、こんにちは。
私だけなのかも知れませんが、モデル理論というのは、良くわからないけどそんなもんかな、と思っているといつの間にか証明完了と書いてあったりして、直感的にとらえにくい部分があるような気がします。完全性定理の証明など、ちょっとひきょうなのでは、という感じさえします(笑)。
強制法を始めて勉強したとき、どうしても根拠づけのところで悩んでしまい、肝心の内容的な部分を理解するのに手間取った経験があります。私自身、本当に初歩的な部分しか知らないのですが、まずは内容的な部分を勉強し、強制関係や Generic 拡大に関する最初の直感をつけられるのが良いと思います。落とし穴がたくさんあって大いに楽しめるということもありますので。
ZFCからZFCの有限個の公理の無矛盾性が出ることがコンパクト性定理に反しないのは、最後の部分で仰っている通りの理由です。有限個の定理を決めればそのモデルを構成することができますが、その対応はVの中には存在していないので。
くるるさん、コメントありがとうございます。実は完全性定理がらみの簡単な事実を列挙しようと本記事を書いたのですが、最後にコンパクト定理に言及した時、突然「そういえば強制法での有限個の公理に関するモデルの存在との関係がまずいのでは？」と悩みなじめたのです。本来、今日の記事は昨日アップする予定だったのです。
最後の憶測は、一日悩んだ消去法による背理法と言いますか、余り根拠のないあてずっぽうです。良くわからない事実を書くのはどうかな、と思いましたが、間違えていればくるるさんが教えて下さるであろう、と誠に厚かましい理由で掲載することにしました。
この辺りの知識と言いますか、直感は、反映の原理との関係も深そうですし、今後、記述不可能性の勉強に関し、あいまいな状態では困るので、一度見直しているところです。
だらだら書いてしまい申しわけございません。今後ともよろしくお願い致します。