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2004年5月31日(月)

• 好評だった宇宙論本

  実は二年程前に購入した 「ブラックホールと時空の歪み」 という本を会社の H さんにお貸ししていたのですが、非常に好評だったよう なのです。実際この本は非常に真面目に記述されていまして、内容としまして はアインシュタインの一般相対性理論をモチーフとして、古典的な星に関する 記述が、近代的もしくは現代的な白色矮星・中性子性・ブラックホールに関す る研究として進行する様子を、それに関連した物理学者の研究に対する真摯な 姿勢、一方その研究に対する特に核開発に関連する葛藤や人間関係等を交えな がら、とても分かりやすく記述してあるのです。500ページ以上の大著であり、 値段も 5,000円以上と決して安くはないのですが、本当に充実した内容の本で あり、個人的にも今まで読んだ宇宙論関連の本の中で一番面白く、 物理学の 知識があるというわけではなくとも(もちろん私は物理のことは全然分かりま せん)、宇宙論に興味をもたれている方には超お勧めの一冊なのであります。

• カニとモカ

  モカと近くの公園の沢にカニを取りにゆく。右下のはおうちに帰ってから脱皮開始。 帰りに近くの食堂でラーメンを食べる。

  

• 共終数(cofinal)と正則基数

  [集合論雑記目次]

  無限順序数への α への到達可能性を示す指標として共終数という概念 があります。

  [定義]

  順序数 β から無限順序数 α への関数 f:β → α で非有界なもの、即ち任意の γ∈α に対して δ∈β が存在してγ δ を満たすとき、f を α への共終(cofinal) な関数と呼ぶ。α に対して共終な関数が存 在する最小の β を α の共終数(confinal)と呼び cf(α) と記述する。

  明らかに cf(α) α が成立します。cf(α) は次の性質 を持つ順序数 γ で最小のものです。

  &alpha = sup_β<γδ_β
  こ こで δ_β<α は α より小さい順序 数の増大列とします。

  [例]

  α が極限順序数でない場合 cf(α) = 1
  cf(ω) = ω
  cf(ω_ω) = ω  (ω_ω = sup_n∈ωω_n なので)
  cf(cf(α)) = cf(α)

  最後のは証明が必要ですがここでは略。

  [定理]

  cf(α) は常に基数となる

  β < cf(α) が |β| = |cf(&alpha)| を満たすと仮定する と、β から cf(α) への一対一上への関数が存在し、明らかにこの 関数は共終。したがって β = cf(cf(α)) = cf(α) とな り矛盾。

  [定義]

  極限順序数 α が cf(α) = α を満たすとき正則 である(regular)と呼び、そうでないとき特異(singular)であると 呼ぶ。

  正則な順序数は前定理により基数となるので、これを通常正則な基数 (regular cardinal) と呼びます。

  [定理]

  非可算な極限基数が ω_α が正則なとき ω_α = α

  α &omega_α は明白。もう一方の不等式は、 α が極限数なので &omega_α = cf(&omega_α) α

  最後の定理は正則な極限基数はかなり巨大であることを示しています。歴史的 にも正則な極限基数は最初に提示された「巨大基数」の例と言うことが出来ま す。実を言いますと今までの公理(ZF 公理系)から正則な非可算極限基数の 存在は証明できません。しかしながら正則な極限基数の存在は、すべ ての集合論研究者がそれを信じているそうです(＊)。正則な極限基数のことを 弱到達不可能基数と呼びます。これは弱到達不可能基数は「それより 小さい基数からの通常の順序数からの構成」では不可能であることに由来する 名前なのです。弱到達不可能基数で巾集合でも到達不可能であるもの (λ < κ ならば 2^λ < κ である κ) を、 到達不可能基数と呼びます。これは「それより小さい基数」から通常 の集合演算では到達不可能であることを意味します。ここで非公式ですが 集 合のハイアラキー V_αの定義をします。

  V₀ = 0
  V_α+1 = P(V_α)
  V_α = ∪_β<αV_β   α が極限数のとき

  後述の「正則性の公理」を仮定すると、任意の集合がある順序数 α に 対する V_α の要素であることを導きます。直観的には到達 不可能基数 κ を考えると、V_κ はその中の要素で 「閉じてしまい」今までに定義した通常の集合演算では「外に出ることが出来 ない」という感じで集合論のモデルになるのです。

  [付記 2004年7月7日]
  ある方に教えて頂いたのですが、「(弱)到達不可能基数の存在」をすべての研 究者が信じているというよりも、「その整合性」を信じているという方が適切 であるということです。例えば「弱い理論」を研究されている方は ZFC 自体 を強すぎると考えられているそうです。

• FreeBSD-4.10R インストール

  FreeBSD-4.10R がリリースされたそうで、昨晩寝る前に X24,R30 双方にアッ プデートをしかけておいたのです。手順としては、

  cvsup を行う
  # make buildworld
  # make kernel KERNCONF=KAGAMI
  # reboot
  # make installworld

  ということなので reboot の直前までの実行です。

  # make buildworld && make kernel KERNCONF=KAGAMI

  で、本日朝起きると守備良く双方コンパイルが完了していまして、X24 はその まま会社に持っていって起動たところ make installworld も問題なく終了し たのです。一方 R30 の方ですが、こちらはサーバーでありますし、 こんなおおはまりもあったことなので 、朝あんまり時間がない状態や、ましてやリモートでは恐くてリブートできま せん(^^;。という訳で今晩おうちに帰るまでは PREREELASE の状態のままだっ たりします。ちなみに FreeBSD-4 系統は現在 4.11 まで予定されているそう ですが、いやはや現在の FreeBSD-5 系列の状況を見ているとほんとに大丈夫 なのか、と少々心配なのであります。

  ↑ちゃんと起動しました。

• 全然分からなかった互除法

  互除法の方法だけは中学で習うのかな (良く分からないです)。ただしそれが正 しい「最大公約数」が求める方法である理由は高校にならないと習わなかったと 記憶しています。つまり、

  1. a を b で割った商と余りをそれぞれ q,r とすると a = bq + r (r<b)
  2. したがって b と r の約数は a の約数。つまり a と b の約数。
  3. 同様に r = a - bq とすると、a と b の約数は r の約数。つまり b と r の約数。
  4. したがって a と b の約数全体と b と r の約数全体は一致する。
  5. よって a と b の最大公約数は b と r の最大公約数。

  ということだと思うのですが、完全に中学の範囲を越えていると思います。そ れを「やりかただけ」とはいえ、小学生のモカにに教えたのたのも無謀なので すが、なんと教えた本人は高校一年のとき 1,2,3,4,5 全部分からなかったの です(^^。そもそも高校一年までは数学(いや全教科か...)出来なかったし。高 校二年生のとき半年間位で、数I から数III まで三年分全部勉強して、学校で 一番出来るようになったのがちょっと自慢だったりします(^^。

  オークションの谷山さんグッズ欲しい(^^。でもここ三ヵ月位で「集合論・基 礎論本」

  • Thomas J. Jech,Karel Hrbacek著 Introduction to Set Theory
  • Kenneth Kunen 著 Set Theory
  • Thomas J. Jech 著 Set Theory
  • Wilfrid Hodges 著 A Shorter Model Theory

  に５万円近く投資して、極度の金欠状態だったりします。

• ますます深まる mopera の謎

  先日お願いしておいたら なんとありがたいことに 実験をして下さった方 がおられまして(ほとんど名指しですが^^)、それによりますと @FreeD のアク セスポイントとして DTI を使用しても mopera を使用しても通信速度の違い は誤差程度とのことなのです。ということで私も正確な数値を出すためにちょ いと真面目に実験をしてみたのです。実験方法はおうちの /kernel(3055225バ イト)を http(fetch 使用)と圧縮 scp で X24 へ転送です。

  試験項目	転送時間	速度
  http 1回目	268秒	91200 bit/sec
  http 2回目	293秒	83419 bit/sec
  http 3回目	278秒	87921 bit/sec
  scp 1回目	257秒	95104 bit/sec
  scp 2回目	207秒	118077 bit/sec
  scp 3回目	219秒	111605 bit/sec

  うーむ、いまいち転送時間にばらつきが多いような気がしますし、実は正式に 時間を計測する前の段階で、特に scp においてかなりの一休み現象がみられ たのです。最初は scp の圧縮と V25.bis 圧縮の関係で問題が発生するのかと も思ったのですが、通常の http でも転送時間にばらつきがある様なので関係 なさそうだし。東京のあたりは大阪近辺より混んでいるのか、それとも一見緑 のランプがつきっぱなしなのですが、本当は電波状況があんまり良くないのか、 謎は深まるばかりなのです(^^。

  ＃お忙しいところ実験して下さりありがとうございました。

• 突然増えたウイルスメール

  なんか数日前に Yahoo にユーザー登録したらウイルスメールが激増。しかも 今までほとんどなかったのに Received: フィールドに Yahoo のアドレスがた くさん...。むむむですな(-_-)。

  ＃全部 clamscan に捕捉されているので実害はなかったりします。

• モカちゃん互除法覚える

  自分で言い出した割には 文句を言いながら塾の宿題をやってるモカなのですが、宿題の量が異常に多く、 さらには分母と分子が大きい分数を約分しなければならずなかなか苦戦してい る様なのです。そこで秘法を伝授(^^。要するに高校を卒業した人ならだれで も知っているはずの互除法ですな。約分するには分母と分子の最大公 約数が分かれば良いのでそれを求める方法です。例えば 221 と 117 の最大公 約数を求めるには、まず大きい方を小さい方で割ることから開始して、

  221 ÷ 117 = 1 あまり 104
  117 ÷ 104 = 1 あまり 13
  104 ÷ 13 = 8 あまり 0

  という訳で次々に割る数を余りで割っていって、割り切れた時の「割った数」 (この場合 13) が最大公約数という、あたりまえと言えばあたりまえの事実な のですが、もちろん小学生に理屈を示すのは無理なので、「やり方」だけ教え たのですがはたしていつまで覚えているものか...。ちなみに塾の先生は答え があっているだけでは許してくれず、「どうして・理由は」と鋭く追求してく るそうなので、はたしてモカちゃんどう対応するのか。ちょっと興味があった りします。

• Yahoo オークション

  実は二女が Yahoo のオークションでとあるアニメ系の商品を落札したいと言 い出しまして、まあ Yahoo というのはあんまり好きではないのですが、とっ ても欲しそうだったので、次の条件で許可したのです。

  • あなたは未成年でしかも女の子なので会員になったり落札したりするのは 私の名前で行う。
  • もしトラブル等が発生してお金を払ったのに商品が届かない場合、世の中 の勉強になったと思いあきらめる。
  • 当然それにまつわる諸経費は自分で負担すること。

  ということで Yahoo の会員登録(無料)と、「Yahoo!プレミアム」という入札 を行う権利(月額 300円位)みたいなのの会員になったのです。で、落札自体は 他に入札者がいなかったということで、うまいこと最低価格で落とすことが出 来まして、本日先方様から確認のメールも届いたのです。まあ Yahoo がどう のこうのより、出品した方がちゃんとしているかどうかの方が重要だと思うの ですが、メールの文面を見る限り非常にきちんとした方と思われるので一安心 なのです。ちなみに二女としては、今後もオークションで欲しいものがあった ら購入したいということですので、しばらく Yahoo に月額 300円支払い続け ることになりそうです。

  ＃結局おやばかで 300円のうち半分の 150円を補助してあげることに
  ＃なったりしました。うーむおろかな(^^。

• 激とろ mopera 接続

  実を言いますと、大分前に ドメインを取得した 時に、その維持料金が一月あたりおよそ 500円必要である、ということでいく らかでも経費を削減するために @FreeD 接続に使用していた月額 300円の IIJmio モバイルアクセスサービス を解約したのです。もちろん解約したからといって @FreeD を使用できなくな るわけではなく、 DoCoMo が運営している @FreeD を使用しているユーザーに は無料の mopera ネットサーフィンというサービス を利用することにしていたのです。ところが最近電波状況が良さそうなところ で使用の場合でも ssh 等で一文字入力するとエコーバックがとても遅い場合 が頻発するようになってきたのです。さらにファイル転送等を行うと、たびた び一休み現象(転送中に一時固まること)が発生するようなのです。たしか @FreeD 自体は回線交換方式を使用しているので、電波状況さえ良好であるな らば、データーリンクレベルでの一休み現象は発生しないはずだと思うので、 これは mopera のサーバーもしくはバックボーンがトラフィックに比して貧弱 であるか、もしくは無料ユーザーに対して流量制限(といっても 64Kbps なの でたいしたことはないと思うのですが)を行っていると推測されるのです。

  いやはやいくら無料とはいっても、このブロードバンド時代にたかだか 64Kbps の速度に対して一休み現象がでるとは、「ただほど高いものは無い」 の典型と言えるのかも知れません。というわけで IIJmio のサービスに再度申 込をしようかと考えているところなのでありますが、もし実験できる環境の方 がいらっしゃりましたら、混んでそうなそうな時間に有料のサービスとの速度 の比較を教えて下さるとうれしかったりします(^^。

• 続・札幌出張

  今日は9時から北大で昨日の作業の確認をして朝の 10時半頃完了。台風は思っ た程たいしたことないらしく、飛行機は大丈夫そう。ということで同行の人と 一緒に遅い朝ご飯を食べて、11時半頃札幌駅から千歳空港に向かう。定番の 「白い恋人」とか子供用の小物アクセサリーとかおうちへのおみやげを買って 14 時の飛行機で羽田到着 15時40分。どうせ会社にもどってもほとんど退社時 刻なのでそのままおうちに直帰(^^。

  とある研究室の前のライラック	さすがに北大は広いですな
  クラーク博士	偉いのだ

• へたってきた電池

  札幌出張で気が付いたのですが、なんと X24 の電池が 1時間15分位しかもた なくなっているのですねー。最初は 2時間15分位使えたはずなので、いよいよ 電池の寿命が近づいてきた感じなのです。毎日会社とおうちで使いっぱなしで、 行きと帰りに電源を落すという最悪のパターンなので仕方のかも知れないので すが、買ってから一年半位でだめになってくるとはちと早いですな。かといっ て新しい電池を買うのもとっても高いし...、困ったものなのです(-_-)。

• 札幌出張

  今日から一泊の予定で札幌出張なのです。今羽田空港のロビーで書いているの ですが、今日はともかく明日は台風がくるそうで、帰ってこられるのだろう か...。

  で仕事の方はちょっと問題があったのですが、なんとか解決しまして、夕食を 「時計台ラーメン」 で食べた後ホテルにチェックインしたのでが、そこのホテルが無線 LAN イン ターネットサービス付きだったのです。本当はロビー以外の場所では接続用の アンテナが必要と書いてあったのですが、試しに部屋の中で dhclient wi0 と してみたら特に問題なく受理されまして、ちょっと一休み現象があるものの、 @FreeD よりは快適に使用できる環境だったのです。

  ところでこういう機構ですと、とても暗号化されているとは思えず、試しにと あるコマンドで wi0 を...いやいやそんなこと私は絶対にしないのです...(^^。 まあ少なくとも内容までは見ていないのですが、こういう場合インターネット サービスの説明書に「送受信パケットがまる見え状態ということを了承して使 用して下さい」ということは書くべきだと思います。ちなみに私の場合は Web もメールも全部おうちとの ssh トンネル経由なので全く問題ないのでありま す(^^。

• T40 復活の儀

  会社の N さんが T40 で Windows/Linux の環境を Windows だけに変更しよう ということで、ハードディスクの隠しパーティションから Windows を再イン ストールしようとしたのですが、起動時にマスターブートレコードが GRUB を 見に行ってしまい(そのとき GRUB はすでに消されていた)ブートしなくなった そうな(^^。ということで「起動したら T40 ちょーだい」という約束 でマスターブートレコードの書き換えです。普通は fdisk /mbr とかすれば書 きかわるのですが、DOS フロッピーがなかなか見つからないのと、そもそも T40 はデフォルトでフロッピーが付いていなくて CDROM に焼いたりするのも とっても面倒だったりします。なので得意の FreeBSD 登場でして、 前回おおはまりした ときの経験を生かして、LiveCD でシェルに落ちて FreeBSD の fdisk の実行 なのですが、いまいちマスターブートレコードの書き換え方法が分かりません。 だんだん面倒になってきたので「えーっと失うものはなんにもないのですよ ねー。どうせ私のものになるのだし」と確認して、

  # cat /boot/mbr >/dev/ad0   (^^;

  の実行です。まあ自分の PC ですとここまで過激なことをする勇気はなかなか 出ないのですが(おい^^)なんとか正常にブートする様になり Windows の再イ ンストールも順調に進んだのです。

  で、お約束通り T40 を頂こうと思ったのですが、N さん曰く、「起動したら あげる、というのは起動する直前まで有効な約束で、もう起動してしまったら やはり私のもの(-_-)」という訳の分からない論理で結局いただけなかったの です(あたりまえ^^)。いやはや、私を含めて数学なんて勉強した人は自分に都 合の良いいいかげんな論理(詭弁)を弄する場合が多いのですが、そんな約束を 信じた私がばかだったのか。今後は十分注意しないといけませんな(^^。

• ℵ_α の基本演算

  [集合論雑記目次]

  ℵ の有限個の加算と乗算は次の性質により完全に決定されます。

  [定理]

  α β のとき ℵ_α + ℵ_β = ℵ_α・ℵ_β = ℵ_β

  証明の概略ですが、ω_α x ω_α に標準的な整列順序を導入し、超限帰納法によりその整列順序を表現する順序 数が ω_αを越えないことを示すのです。

  [ω_α x ω_α の標準整列順序]

  (u₀,v₀)∈ω_α x ω_α, (u₁,v₁)∈ω_α x ω_α に対し次の順序を考える。

  (i) (ii) (iii) のいずれかが成立するとき (u₀,v₀) < (u₁,v₁) と定義する。

  (i) max(u₀,v₀) < max(u₁,v₁)
  (ii) max(u₀,v₀) = max(u₁,v₁) で u₀ < u₁
  (iii) (i) (ii) が成立せず v₀ < v₁

  この順序が整列順序になるのは(場合分けが多くちょっと面倒なのですが)容易 に証明できます。さて良く知られているように ℵ₀・ ℵ₀ = ℵ₀ は容易かつ具体的に証明出 来るので(手抜きが多くなって来た...)、帰納法の仮定として β<α に対し ℵ_β・ ℵ_β ℵ_β とします。
  ここでもし ℵ_α < ℵ_α・ℵ_α とすると、 (a,b)∈ω_α x ω_α が存 在し

  ℵ_α |{(x,y)∈ω_α x ω_α|(x,y) < (a,b)}|

  が成立するので、任意の (a,b)∈ω_α x ω_α に対し Z = {(x,y)∈ω_α x ω_α|(x,y) < (a,b)} とおいたとき |Z| < ℵ_α を示せば良いのです。ここで ω_α は極限数なので、a∈δ, b∈γ なる δ < α, γ < α が存在 し θ=max(δ,γ)+1 とおくと θ < ω_α で帰納法の仮定により |θ|・|θ| |θ| が成立し(|θ| に対応する ℵ_γ を考える)、Z ⊆ θ x θ であ ることも容易に分かります。したがって、 |Z| |θ|・|θ| |θ| < ℵ_α

  [系]

  n + ℵ_α = ℵ_α + n = ℵ_α
  n・ℵ_α = ℵ_α・n = ℵ_α
  ℵ_α + ℵ_α = ℵ_α
  ℵ_α・ℵ_α = ℵ_α

  ここで n は自然数、即ち有限基数とします。さてここで ℵ_α と ℵ_β の巾、例えば ℵ_α^ℵ_β はど うなるかといいますとこれが全然分からないのです。といいますか基数の巾の 大きさこそが集合論創設以来の大問題でして、特に 2^ℵ_α(即ち |P(ℵ_α)|) が ℵ_α+1 になるかどうかというのが大問題で、これら が等しくなるという予想を「一般連続体仮説」と言います。一般連続 体仮説はゲーデルにより今までこの日記で記述した公理群と矛盾しないことが 証明されています(ゲーデルの L)。またコーエンによりその独立生も証明され ています(強制法)。実を言いますと、本日記での集合論雑記の第一目標はこれ らの無矛盾性と独立性の証明のアウトラインまで追いかけることだったりしま す。基数の算術的な性質はもうすこし詳細に述べなければならないのですが、 そのあたりは必要があったら言及することにして、次回からは正則基数等の話 題です。

• モカちゃん猫にひっかかれる

  今日は小学校で子供会のお遊びがあったそうで、学校にゆく途中でその辺を歩 いてた猫を捕まえようとしたらしいのです。ところが猫もさるものひっかくも の、「にゃんにゃんにゃんばりばりばりーーー、ぎゃわ〜〜〜」ということで なんと逆襲にあってしまったのですねー。

  

  いやはや最初に見たときは冗談で赤インクかなんか塗ってふざけてるのかと思っ たのですが、良く見るとこれはほんとに痛そうですな。う〜〜〜とっても可哀 そ。にゃんにゃんにゃん(^^。

• るんるん自転車

  隣の席の B さんと話をしていて、「自転車って便利で楽ちんで特に下り坂が 気分良いけど上り坂がきついよねー」という話になったのですが、なんとこの 瞬間に人類史上最強とも言える画期的な最新物理法則を発見したのです。内容 を具体的に書きますと、なんと、

  自転車でどこかを往復するとき常に下り坂を走る方法がある。

  という驚くべき発見なのです。そんなばかなと疑う人はまずは下の図を良く見 て下され(^^;。 図のまるいのは地球のつもりでして、まずは A 地点から B 地点に自転車で向 かって進む状況を考えます。すると左の図より明らかなように、自転 車は下の方に向かっていまして、これは間違いなく下り坂なのであります。

  

  それでは逆に帰るとき B地点 から A地点に向かう場合は登り坂になってしま うのではないかと、まあ普通はそう考える訳ですが、物理学の基本原理として、 「物理法則はすべての観測者にとって同等でなければいけない」というものが あり、例えばアインシュタインの相対性理論などもこの観点から発見されてい るのです。ということは右図のように地球を回転させて考え、 B が図の一番 上にあるとしても全く一般性を失わないわけで、これまた右の図より明ら かに 地点 Bから地点 Aまでは常に下り坂になるわけなのです。

  むむむむっ、これはとんでもなくすばらしい発見だ(^^;。論理的にも物理的に も一切疑わしい点やあいまいな点がない！！。世の中には「完璧」と呼べるの は少ないのですが、この推論と結論を「完璧な物理理論」と言えることは疑い の余地がありません。さらには自転車をこいだりするエネルギー節約のため環 境にも役立つ、と言うわけで近年中にノーベル物理学賞と平和賞の同時受賞と なることは間違いありませんな(^^;。

• 続・おおまぬけ

  お隣の席の人から叫び声が...。訳を聞くとこんなコマンドを打ち込んだそうで。

  $ find . | xargs rm -f *~

  いやはや何を勘違いしたんだか、まことにお気の毒(^^。

• おおまぬけ

  FreeBSD で新規にいれた ports のサービスが 動かないからって 、/usr/local/etc/rc.d/xxxx.sh の中をいじって

  xxxx_enable="YES"

  と直接編集したことがあるのは絶対に内緒なのでした(^^。

  ＃いちおう後で気が付いたのですが...。

• おやすみ

  体調悪く休み。一日寝てたら少し回復。

• 今日は母の日

  ということで奥様の母上にも来て頂いてみんなで食事をしたのです。

• 選択公理と整列可能定理

  [集合論雑記目次]

  次の公理を導入します。

  [選択公理]

  X を集合として任意の x∈X が空でないとする。こととき X から ∪X への関数 f が存在して、任意の x∈X に対し f(x)∈x を満たす

  f を X 上の選択関数と呼びます。選択公理は選択関数の存在を主張し、直観 的意味は、「空でない集合の集まりがあったときそれらの集合から一つずつ要 素を選べる」ということなのです。ここでまず注意事項なのですが、X が有限 集合の場合、選択公理は必要なく、この公理は単に集合論の土台とな る一階述語論理における「∃・存在する」の形式論と、領域が有限な場 合の「∀・すべて」が有限個の「かつ」と等価に変形可能であることの 帰結なのです。しかし X の各要素が有限でも X 自体が無限集合の場合「選択 関数」の存在は他の集合論の公理系からは証明出来ません。選択公理により例 えば次の数学の定理が証明出来ます。

  任意の線型空間は基底を持つ
  任意の可換環は極大イデアルを持つ
  任意のフィルターに対してそれを含む超フィルターが存在する
  コンパクト空間の直積はコンパクト

  選択公理は具体的に対象を指定せずに存在を主張する公理であり、初期にはそ の妥当性に関して色々な議論があったのですが、数学における超越的な「存在 証明」に対する有効性により、現代数学のかなりの部分がこの公理に依存して います。さらにゲーデルにより証明された選択公理の他の公理からの無矛盾性 により、少なくとも「矛盾」という観点からのこの公理に対する疑いは無くなっ たのです。選択公理により「任意の集合は整列可能」であることが証明出来ま す。

  [定理]

  任意の集合は整列可能である

  X をが空の場合は自明なので、空でないと仮定し f を P(X) - {φ} の選択関数とします。NOT(a∈X) なる a を固定し、

  g(x) = f(X - ran(x))   x が関数で X-ran(x) が空でない場合
  g(x) = a   その他の場合

  と定義して g に対して「超限帰納法による関数の定義」を適用すると、

  u(α) = g(u|α)

  なるものが存在し、置換公理により g(θ)=a なる最小の順序数 θ をとると u|θ は θ から X への一対一上への関数とります。こ の結果により任意の集合はある ℵ_α と基数が等し くなり、ここで正式に X の基数が外延として定義可能となります。

• 未来からの本

  実は先日 2年くらい前に買った、 マーティン・リース著「宇宙を支配する 6つの数」(ISBN4-7942-1076-9) を会社の H さんにお貸ししたのですが、なんとすばらしい発見をして下さっ たのです。下の写真は「訳者後書き」の部分でして、おっきくすると分かりや すいのですが、いやはやずいぶん未来に翻訳された本のようですな(^^。

  

  ちなみに 6つの数というのは、

  重力と電磁気力の比
  核融合効率
  宇宙の曲率
  宇宙定数
  宇宙のゆらぎ比率
  宇宙の次元

  で、これらの値がちょっとでも異なっていたら宇宙に生命は生まれなかったで あろうという主題のもとに、比較的最近の宇宙論の成果を分かりやすく説明し たとても面白い本なのです。

  ＃どうせ間違えるなら「西暦 13000002001年」の方が面白いかな(^^。

• 数学 集合論 谷山浩子 BSD

  なんていう検索が来まして、世界で唯一つこのページがヒットするという、こ んなに見事な検索をするからには知ってる人に違いない、と思ってアドレスや ブラウザを見るとやはり知り合いでいつも遊びに来て下さっている方らしかっ たのです。実を言いますと彼は数日前に新しい激速ノート PC を購入しまして、 それ以来、

  かがみさんはどうしてそんなに遅い PC を使ってるの〜(-_-)

  なんて不愉快なことをのたもうているのです。もちろん新しい PC ということ でここの URL がブックマークに入ってなくて検索で遊びに来て下さったので すが、いやはやちょっと前までは「かがみさんのノート PC はいいなー」と言っ てた人が、ちょっと良い PC を購入しただけでこんなに態度が変貌するとは全 く人間というものは信用できないものですな(^^。

  ＃ログの詳細をあんまり書くのは反則だと思うのですが、
  ＃この件に関してはご本人の了承を頂いております。

• 二女たまごっちを買う

  モカちゃんのたまごっち をうらやましそうに見ていた二女ですが、やっぱりこういうのって高校二年生 位でも欲しくて欲しくてたまらなくなるらしく、本日我慢できなくなって自分 のを買ってしまったのですねー。なんかたまごっちどうしの通信機能があるそ うで、二人でデータの交換を行っているようです。いったいどんなデーターを 交換するのかは良く分からないのですが、「ぎゃ〜〜〜うんちもらっちゃっ たー」とか叫び声が聞こえてくるのです(^^。

  ＃ごろごろしているうちに連休終ってしまった...。
  ＃でもずいぶん疲れが取れたような気がするのでまあいいか(^^。

• モカちゃんたまごっち

  良く知らないのですが、最近たまごっち第二次ブームなのだそうで、ご多分に もれずモカ姫も二ヵ月前位から欲しがっていたのです。ところがバンダイ商法 というかなんというか、前回と同様になかなか手に入りにくいのですねー。

  ところが本日奥様とモカとスーパーをうろついていたら、運良く一つだけ残っ ていまして、さっそく大枚 1,980円で購入です。

  

  いやはやそれにしてもこんな手間がかかるおもちゃのどこが面白いのかいまい ち分からないのですが、とにもかくにも姫が喜んでいるので良しとしましょう。

  ＃高校二年生の二女がうらやましそうに見てました(^^。

• ℵ(アレフ)の定義

  [集合論雑記目次]

  選択公理を仮定すれば P(ω) は整列可能なので ω より大 きい基数が存在することは明らかですが、「選択公理」を仮定しないで ω より大きい基数が存在するかどうかは自明ではありません。これに関 して次の重要な定理が成立します。

  [定理]

  λ を基数とするとき λ<κ なる最小の基数 κ が存在する。

  λ∈ω の場合は明白なので λ が無限基数の場合に 証明する。λ の部分集合 A で整列順序構造を持ち(これは同型を除い て一意に定まる)その整列順序に対して NOT(λ<|A|) なるもの全体 を T とします。T の各要素に関してその整列順序と同型な順序数が一意に定 まるので、置換公理によりそれらの順序数全体は集合となります。それを κ とすると κ が定理の条件を満します。なぜなら、
  • κ が順序数であること。すなわち κ が ∈ に関して推 移的なこと。

    β∈α∈κ とすると κ の部分集合 A とその 上の順序構造が存在し α と同型で NOT(λ<|A|)。α が 順序数で β∈α なので β⊆α が成立し A の 部分集合 B とその上の順序構造で β と同型なものが存在する。このと き明らかにNOT(λ<|B|) が成立するので β∈κ

  • λ<|κ| であること。

    λ∈κ なので λ |κ| が成立。ここで もし |κ|=λ ならば κ∈κ となり矛盾。

  • κ が基数であること。

    η∈κ とするとκ の作り方により NOT(λ<|η|)。ここでもし |η|=|κ| とすると NOT(λ<|κ|) となり矛盾。

  • λ<η<κ なる基数 η が存在しないこと。

    もし上の条件が成立すると λ∈η∈κ となり η がκ の要素となるのは κ の定義に反する。

  この定理により任意の基数 λ に対して「次の基数」が存在することが 言え、この基数を h(λ) と表すと、α 番目の無限基数という重 要な概念が定義可能となります。

  [ω_α の定義]

  ω₀ = ω
  ω_α+1 = h(ω_α)
  ω_α = ∪_β∈αω_β   α が極限数の場合

  ω_α は基数(従って順序数)なのですが、基数であるこ とを強調する場合 ℵ_α と書くことが多いのです。 またこの場合 ω_α を(全く同じ対象を表すのですが) |ω_α| と記述する場合もあります。ただしこれらの記 述はしばしば混乱する場合があり、文脈により順序数として考えているか基数 として考えているか明白な場合いずれかの記法の任意の一つを採用します。次 回は選択公理を導入し、任意の集合は整列可能であることを導きます。この場 合任意の集合はある順序数 α に対する ω_α と 「同じ基数を持つ」ことになります。

  ＃そう言えば有限・無限の定義を忘れていた(^^。
  ＃集合 X がある n∈ω に対し |X|=n を満たすとき有限といい、
  ＃そうでない場合無限と言う。

• 自宅サーバー FreeBSD 再インストール

  現在零時過ぎですが X24 へのサーバー環境移行がうまくゆきまして(結構はまっ た^^)、こちらで運用中です。R30 のバックアップや FreeBSD 再インストール は今日の昼間かな。

  と書いた直後から 4.10RC のインストールを始めたのです(^^。まず CD から ののインストールは全く問題なく 順調にゆきまして、よしよしこれは全然問 題ないな〜、ということでリブートを行ったのですが、

  起動してすぐに固まります(-_-)

  むむむっ cvsup した 4.10RC では動作していたのにどうしてなのだろう。そ もそも CDROM からはちゃんとブートするのに。ということで BIOS の設定と かいろいろいじったのですが全く事態は改善しません。そこでもしかして FreeBSD-5 系列ならば動くのではないか、と安易なことを考えまして、こんど はそちらのイメージをダウンロードしてみたのですが、

  CDROM から起動中にリブートします(-_-)

  てなことをやっているうちに朝の 4時頃になり眠くなってきたので一休みして から、今度は FreeBSD-4.9R なら入るであろうと思ってインストールしたらこ れも最初の現象とおんなじでだめ。さらに FreeBSD-4.8 にダウングレードし てもこれまた同様にだめ。こっこれはまずい！！。なんとかして昨日まで動作 していたのと同等の kernel を入れないと永久に立ち直れないのでは...。で、 いろいろやってみたこと。
  • 4.10-RC-i386-disc1.iso を X24 側で vnconfig/mount して中身を解凍。 そこの kernel を X24 の kernel で置き換える(^^;。R30 側でその場所を指 定してネットワークインストール。これは結構うまくゆくのではと期待したの ですが、ブートした CDROM に入っている kernel が / に書き込まれてだめ。
  • さらなる作戦としては X24 と R30 のディスクを交換して X24 側でブー トさせて kernel を(今使っている config でコンパイルして)書き換えようと したが R30 のディスクは容易に取れないことが判明してアウト(^^;。

  もしかしてこれはカスタムバージョンのブート CD を作る必要があるのかいな、 もう一枚しか残ってないのに〜、と思いつつインターネットでいろいろ検索し たら、

  LiveCD なるものを準備してインストールメニューで fixit を選択すると shell に落ちることが可能...しっ知らなかった〜(^^;。

  という記事を見つけまして、LiveCD とはなんぞやと思ったのですが、雰囲気 として4.10-RC-i386-disc2.iso の様な気がしたので、さっそくダウン ロードしまして、またまた vnconfig/mount して中身を見るとたしかに / 以 下のイメージが入っていたのです。さっそく(今日 5枚目) CDROM に焼きまし て fixit メニューでその CD を入れたところやっと shell に落ちることが出 来まして、ハードディスクの / パーティションに対応するデバイスを /mnt にマウントし、X24 から kernel をコピーしたらやっとこブートするようになっ たのです。

  そもそも R30 は FreeBSD-3 の頃から cvsup を繰り返して現在に至っている のですが、どうして自分で作った kernel だとブートするのに GENERIC kernel だとだめなのだろう。謎ですな。いずれにしてもこれから色々な環境 を整備する必要があったりして、まだまだ時間がかかりそうなのです。

  ＃IBM ノート機をサーバーを使用している人ははまるかも...(^^。

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