02/25 aiueo  01/01 かがみ  01/01 ゼルプスト殿下  01/01 かがみ  01/01 ゼルプスト殿下  05/10 かがみ   

2008年4月29日(火)

• 映画

  奥様と一緒に TOHO シネマズ 海老名 で 「あの空をおぼえてる」 を見てきました。ハンカチ必須です。

  コメント

• 基数計算 (2回目 基本の基本の準備 (2))

  集合論雑記目次

  今日もごくごく基本的で簡単な話題なのですが、なんといいますか、公式集的 なところがあり、いまいち細かいところが覚えにくいのです。自力で体系的に 書くのもなかなか大変ですので、申しわけありませんが、流れも含めほとんど Jech 本の丸写しです。

  (C2.1 命題) $ \lambda, \kappa $ を無限基数とするとき次の事実が成立する。

  (C2.1.1) $ \kappa \le \lambda \rightarrow \kappa^\lambda = 2^\lambda $
  (C2.1.2) $ \lambda \lt \kappa,\, \kappa \le 2^\lambda \rightarrow \kappa^\lambda = 2^\lambda $
  (C2.1.3) $ 2^\lambda \lt \kappa \rightarrow \kappa^{\lambda} \le 2^\kappa $

  (証明) 例えば (C2.1.1) は $ \kappa^\lambda \le (2^\kappa)^\lambda \le (2^\lambda)^\lambda = 2^{\lambda \lambda} = 2^\lambda. $

  今後基数 $ \kappa $ に対し、 $ \kappa $ の次の基数を $ \kappa^{+} $ と書くことにします。言い換えると $ \kappa = \aleph_\alpha $ のとき $ \kappa^{+} = \aleph_{\alpha+1} $ です。GCH、すなわち一般連続体仮説 ( $ \forall{\kappa}(2^{\kappa}=\kappa^{+}) $ ) を仮定すると無限基数のべき乗を計算しつくことができます。

  (C2.2 命題) GCH を仮定すると次が成立する

  (C2.2.1) $ \kappa \le \lambda \rightarrow \kappa^\lambda = \lambda^{+} $
  (C2.2.2) $ \rm{cf}(\kappa)\le \lambda \lt \kappa \rightarrow \kappa^\lambda = \kappa^{+} $
  (C2.2.3) $ \lambda \lt \rm{cf}(\kappa) \rightarrow \kappa^\lambda = \kappa $

  (証明) (C2.2.1) は GCH の仮定のもとでの (C2.1.1) そのものです。(C2.2.2) は $ \kappa^{+} \le \kappa^{\rm{cf}(\kappa)} \le \kappa^\lambda \le (2^\kappa)^\lambda = 2^{\kappa\lambda}=2^\kappa = \kappa^{+} $ により得られます。最初の不等式はケーニヒの定理です。(C2.2.3) についてはまず $ \lambda \lt \rm{cf}(\kappa) $ であることにより、任意の関数 $ f: \lambda \rightarrow \kappa $ は $ \alpha \lt \kappa $ に対する $ \alpha^\lambda $ の要素になることに注意します。言い換えると $ \kappa^\lambda = \bigcup_{\alpha \lt \kappa}{\alpha^\lambda} $ が成り立ちます。そして $ |\alpha^\lambda| \le 2^{|\alpha|\lambda} \le \kappa $ に注意すれば証明完了です。

  ( $ 2^\kappa $ と $ \kappa^{\rm{cf}(\kappa)} $ )

  無限基数 $ \kappa $ に $ 2^\kappa $ を対応させる関数を連続体関数 (continuum function) と呼びます。 また $ \kappa $ に $ \kappa^{\rm{cf}(\kappa)} $ を対応させる関数を gimel 関数と呼びます。連続体関数に関して次の命題は簡 単ですが重要です。

  (C2.3 命題) $ \kappa $ を極限基数とするとき $ 2^\kappa = (2^{\lt \kappa})^{\mathrm{cf}(\kappa)}. $ ここで $ 2^{\lt \kappa} = \lim_{\mu \lt \kappa} 2^{\mu}. $

  (証明) $ (\kappa_\xi)_{\xi \lt \mathrm{cf}(\kappa)} $ を $ \kappa $ を上限とする基数の増大列とします。すると $ 2^{\kappa} = 2^{\sum_{\xi\lt \mathrm{cf}(\kappa)} {\kappa_\xi}} = \prod_{\xi\lt \mathrm{cf}(\kappa)}{2^{\kappa_\xi}} \le \prod_{\xi\lt \mathrm{cf}(\kappa)}{2^{\lt \kappa}} = (2^{\lt \kappa})^{\mathrm{cf}(\kappa)} \le (2^\kappa)^{\mathrm{cf}(\kappa)} = 2^\kappa. $

  $ 2^\kappa $ の値は $ \lambda \lt \kappa $ に対する $ 2^\lambda $ の値と $ \kappa $ の gimel 関数の値から求めることが可能です。 $ \mu \lt \kappa $ が存在して $ \mu \le \nu \lt \kappa $ に対して $ 2^\nu $ が定値の時「連続体関数は $ \kappa $ 未満ほとんど定常である (eventually constant)」と言うことにします。

  (C2.4 定理) 次の事実が成立する

  (C2.4.1) $ \kappa $ が正則基数、特に後続基数のとき $ 2^\kappa = \kappa^{\rm{cf}(\kappa)} $
  (C2.4.2) $ \kappa $ が極限基数で $ \kappa $ 未満で連続体関数がほとんど定常な場合 $ 2^\kappa = 2^{\lt \kappa} \kappa^{\rm{cf}(\kappa)} $
  (C2.4.3) $ \kappa $ が極限基数で $ \kappa $ 未満で連続体関数がほとんど定常ではない場合 $ 2^\kappa = (2^{\lt \kappa})^{\rm{cf}(2^{\lt \kappa})} $

  (証明) (C2.4.1) は $ \kappa $ が正則であることにより $ \kappa=\rm{cf}(\kappa) $ であることと $ 2^\kappa=\kappa^\kappa $ であることにより得られる。(C2.4.2) は $ \kappa $ が正則の場合 (C2.4.1) の単なる言い換えなので、特異基数の場合に証明すれば 十分である。連続体関数の定常性により $ \rm{cf}(\kappa) \le \lambda \lt \kappa $ を満たす $ \lambda $ が存在し $ \lambda \le \mu \lt \kappa $ に対し $ 2^\mu = 2^\lambda $ が成り立つ。従って $ 2^\kappa = 2^{\lt \kappa}. $ 一方 $ \kappa^{\rm{cf}(\kappa)} \le \kappa^\lambda \le 2^\lambda \le 2^{\lt \kappa} $ 最後から2番目の不等号は連続体関数の定常性もしくは $ \mathrm{cf}(\kappa) \le \lambda $ であることにより $ \kappa \le 2^\lambda $ が成立することを (C2.1.2) に適用すれば得られます。最後は $ \kappa $ 未満の連続体関数が定常でない場合です。 $ 2^{\lt \kappa} = \lim_{\alpha \to \kappa}{2^{|\alpha|}} $ であることを (C1.1.2) に適用すると $ \rm{cf}(2^{\lt \kappa}) = \rm{cf}(\kappa). $ 従って $ 2^\kappa = (2^{\lt \kappa})^{\rm{cf}(\kappa)} = (2^{\lt \kappa})^{\rm{cf}(2^{\lt \kappa})}. $

  ( $ \kappa^\lambda $ と gimel 関数 )

  (C2.5 命題) $ \kappa $ を正則基数として $ \lambda \lt \kappa $ とします。このとき $ \kappa^\lambda = \sum_{\alpha\lt \kappa}{|\alpha|^\lambda} $

  (証明) $ \mathrm{cf}(\kappa) = \kappa, \lambda \lt \kappa $ であることにより $ \lambda $ から $ \kappa $ への関数は $ \lambda $ から $ \alpha \lt \kappa $ への関数となることに注意すれば良い。

  $ \kappa $ が後続基数の場合の $ \kappa^\lambda $ の計算は容易です。

  (C2.6 系 ハウスドルフの公式) $ (\kappa^{+})^\lambda = \kappa^{\lambda} \kappa^{+} $

  (証明) $ \lambda \lt \kappa^{+} $ の場合は (C2.5) により $ (\kappa^{+})^\lambda = \sum_{\alpha \lt \kappa^{+}} {|\alpha|^\lambda} = \kappa^\lambda \kappa^{+}.\, $ $ \kappa^{+} \le \lambda $ の場合は $ (\kappa^{+})^\lambda = 2^\lambda.\, $ 一方 $ \kappa^\lambda \kappa^{+} = 2^\lambda \kappa^{+} = 2^\lambda. $

  (C2.7 定理) $ \kappa^\lambda $ 次のように計算できる。言い換えると $ \kappa^\lambda $ の値は $ \kappa $ 未満の基数に対する $ \lambda $ 乗と $ \kappa $ gimel 関数値を用いて表現できる。

  (C2.7.1) $ \kappa \le \lambda $ のとき $ \kappa^\lambda = 2^\lambda $
  (C2.7.2) $ \lambda \lt \kappa $ でさらに $ \kappa \le \mu^\lambda $ を満たす $ \mu\lt \kappa $ が存在する場合 $ \kappa^\lambda = \mu^\lambda $
  (C2.7.3) $ \lambda \lt \kappa $ でさらに $ \kappa \le \mu^\lambda $ を満たす $ \mu\lt \kappa $ が存在しない場合

  (C2.7.3.1) $ \lambda \lt \rm{cf}(\kappa) $ のとき $ \kappa^\lambda = \kappa $
  (C2.7.3.2) $ \rm{cf}(\kappa) \le \lambda $ のとき $ \kappa^\lambda = \kappa^{\rm{cf}(\kappa)} $

  (証明) (C2.7.1) はすでに証明済み。(C2.7.2) もほとんど明らかである。 (C2.7.3) において $ \kappa $ が後続基数の場合 (C2.7.3.1) の場合しか起こりえない。そしてこの場合 $ \kappa^\lambda = \kappa $ はハウスドルフの公式そのものである。従って $ \kappa $ が極限基数の場合を考える。 $ \lambda \lt \rm{cf}(\kappa) $ の場合、任意の $ \lambda $ から $ \kappa $ への関数は有界なので $ \kappa^\lambda = \lim_{\alpha\lt \kappa}{{|\alpha|}^{\lambda}} = \kappa. $ 一方 $ \rm{cf}(\kappa)\le \lambda $ の場合 $ (\kappa_\xi)_{\xi\lt \rm{cf}(\kappa)} $ を $ \kappa $ 未満の基数の増大列で $ \kappa $ に収束するものとする。このとき \[ \kappa^\lambda = (\sum_{\xi\lt \rm{cf}(\kappa)}{\kappa_\xi})^{\lambda} \le (\prod_{\xi\lt \rm{cf}(\kappa)}{\kappa_\xi})^{\lambda} = \prod_{\xi\lt \rm{cf}(\kappa)}{{\kappa_\xi}^{\lambda}} \le \prod_{\xi\lt \rm{cf}(\kappa)}{\lim_{\alpha \to \kappa}{|\alpha|^{\lambda}} \le \kappa^{\rm{cf}(\kappa)}} \le \kappa^\lambda. \]

  結局無限基数のべき乗をもとめる問題は gimel 関数の値を求めることに 帰着されます。

  次回は正則基数に対する連続体関数は大域的にほとんど自由に動かせる事実の お話と、特異基数問題に関する、こちらもお話しになると思います。特異基数 問題の話題に突入する前に、今までさぼっていた正則基数に関する上記の話題 (イーストン強制) についてきちんと書くという方向も考えています。

  (おまけ) $\theta$ を正則基数とするとき $(\kappa^{\lt \theta})^{\lt \theta} = \kappa^{\lt \theta}.$

  実際 $\lambda \lt \theta$ のとき関数 $f:\lambda \to \kappa^{\lt \theta}$ は「有界」すなわち $\mathrm{ran}(f) \subset \kappa^{\mu}$ を満たす $\mu<\theta$ が存在する. したがって $(\kappa^{\lt \theta})^{\lambda} \le \sum_{\mu<\theta} \kappa^{\mu\lambda} \le \kappa^{\lt \theta}.$

  最初に記載しましたが、今回は Jech 本のまるまるコピーに近いです。という か細かい表現は別としてコピーそのものです。問題があればご指摘下さい。

  (参考文献) Thomas J. Jech 著 Set Theory

  (関連リンク)
  2008年4月13日(日) 基数計算 (1回目 基本の基本の準備 (1))
  2008年5月18日(日) 基数計算 (3回目 特異基数仮説のお話)

  (余談) 特に難しいところはないのですが、今までの集合論雑記で一番疲れたか も知れません。根っから計算が苦手といいますか、ある程度の年齢になると、 こういう「三角関数公式集」的なのって苦しいのかも知れません。現在三角関 数の加法公式さえもオイラーの定理からいちいち求めないと分からなくなって いるということは内緒です。高校生の頃は数学のいわゆる「公式」って覚えよ うとしたことは一度もなく、すべて自然に身についていたんですがねえ。恥の かきついでに $ f/g $ の微分の分子の二つの項の符号も $ 1/g $ の微分から導かないとどっちがどっちだかもう分かりません。

  コメント

  _てなさく [問題っちゅうほどのことはありませんが、誤字の指摘C2.1.3でκが一箇所 k に...]

  _かがみ [あっ、ご指摘ありがとうございます。こっそり直しておきました。この辺りは勉強を始め...]

• うれしい質問

  一緒につくばに行った私の上司の質問です。

  「鏡さん。無限大の3乗と3の無限大乗ってどっちが大きいの。」

  あわわ、どうして底が 3 なのかが謎なのですが、数学と直接関係がない人から こういう質問がでるのはとてもうれしいのです。

  そして「3の無限大乗の方が大きいです。それもとんでもなく大きい可能性もあ ります。逆に無限大の3乗はもとの無限大と同じなんですよ。」と答えたのです。 さすがに歩きながらだったのでカントールの定理の説明まではできませんでした。

  すると上司いわく。「無限って異なる大きさがいくつかあると噂には聞いてた けどそれも無限にあるの？」なるこれまた的を射た質問。上司なので当然とい えば当然なのですが、ほんと物事の本質を見ぬくのが恐ろしく鋭い人です。さ らに「無限大の無限大乗もあるの？」とまさに今勉強中のツボをついた質問と か。

  さすがに順序数やアレフに関する話は口頭での説明のみでは理解して頂くのが 難しくなり、最終的にとある宗教団体の名称はけしからん、という話に落ち着 いたのですが、とても楽しい時間を過ごすことができたのです。

  コメント

  _Joe☆ [重箱の隅ですみませんが、的を「射る」だと思いますです(^^;。]

  _かがみ [あっ、ありがとうございます。直しておきました。]

  _てなさく [「無限大」という言葉で上司さまは何を言わんとしていておられたのでしょう。案外、関...]

  _通りすがり [こんな質問は如何？「2の無限大乗と3の無限大乗ってどっちが大きいの。」「2の無限...]

  _かがみ [(てなさくさん) 話の文脈とその後の推移からして、一応 cardinal のこと...]

  _かがみ [(通りすがりさん) あっ、なるほど。とはいえ、最大の問題として 2^{\\ale...]

• つくば出張

  今日と明日はつくば出張です。余談ですが今年のゴールデンウイークはカレン ダー通りです。この期間中に少しでも集合論の勉強と記事の方を進展させたい と考えています。ところで私も たかたにさんのまねをして イーモバイルに乗り換えたいなと考えているのですが、つくばでいつも泊まる ホテルで電波が入るかどうかが最大の問題なのです。でも近々乗り換えるよう な気がします。なんといっても今まで私の電波環境は、例外なくたかた にさんの後追いでなのですから。

  コメント

  _たかたに [おやおや、かがみさんもご興味おありですか。うちの電話はほとんどメールの着信通知専...]

  _かがみ [実は現在おうちのPHSは着信やメール到達で無音の設定です。ネットと自分からかける...]

• リンク追加

  前にも書きましたが、このページの上の方のリンク集は私が良く遊びにいくと ともに、とても尊敬している方のブログや日記です。三日ほど前から「渕野さ んのバルセロナ日記」を追加しました。渕野さんは「巨大基数の集合論」を訳 された方で、私が集合論の勉強を始めるきっかけを作って下さった方です。ほ んと偶然なのですが、あの本を少しは分かるであろうと「間違えて」購入した ことは大変な幸運でした。こちらも前に書いたかも知れませんが、余りに難し くちんぷんかんぷんだったので、少しでも分かるようになりたいと集合論の勉 強を始めたのです。今なら少しは分かるかと言われると微妙なのですが、最初 の方はやっと少しずつという感じでしょうか。

  全然関係ない話ですが、最近メールやコメントに対する返信が遅くなる場合が ありご迷惑をおかけしています。遅くなるときはそれなり真面目に内容を考え ているということで、ご容赦の程お願いいたします。

  コメント

• 信州大学へのメール

  以前言及した 信州大学のCAIページでの $ \aleph_1 $ の定義を $ 2^{\aleph_0} $ であると勘違いしている件ですが、ネットを検索すると同様の間違いを信じて いる人がたくさんいることが分かります。そして誤りを記述しているページの 参考リンク先をみると、かなり信州大学のページからの引用、もしくは孫引用 が多いのです。

  実は一昨日基数の初歩について記載しているとき、さすがにこれはまずいので はと思い、信州大学宛に誤りを指摘し、さらにきちんとした対応をお願いする メールを出したのです。

  すると本日中村八束氏より丁重な返信があり、内容に関しても修正して頂けた そうです。以前中村氏の「コンピューターですべての証明」という考えを批判 しました。その考えは今でも変わりませんが、批判の文章中、感情的になり、 人格攻撃になってしまった部分もあります。その部分に関しては撤回します。 そもそもこんなローカルな場所で文句を言わず、もっと前にきちんとしたメー ルを出しておけば良かったのです。反省しております。まことに申しわけござ いませんでした。

  (関連リンク)
  2006年8月31日「トンデモ(アレフ編)」
  2006年9月3日「トンデモ(アレフ編その3)」
  信州大学の「アレフと連続体仮説」に関する解説ページ

  トンデモという言葉もこの場合良くないと思いますが、やはり大学という名で 長期間誤りを発信していた悪影響は大きかったと思います。 こちらはご容赦の程お願いいたします。

  コメント

  _てなさく [リンク先のページで、「transfinite number」に「超越数」って訳語...]

  _かがみ [修正後の連続体仮説のページや他の数学関連のページについてもいろいろ言いたいことは...]

  _タナカコウイチロウ [てなさくさんの次の指摘に、私も一票。＞「transfinite number」に...]

  _かがみ [たしかに気持ちが良くはないのですが、余りしつこく訂正依頼というわけにもいきません...]

  _通りすがり [要するに中村氏がアレフ１の定義を誤解してただけのように思う。]

  _通りすがり [「コンピューターで厳密チェック」というのは、別にトンデモでもなんでもない。もちろ...]

  _通りすがり [＞「transfinite number」に「超越数」って訳語をあてているのも、...]

  _かがみ [たしかに単純な勘違いと言えないこともないのですが、やはり大学のページで発信されて...]

  _通りすがり [皆が皆、自分と同様の思い入れを共有してるわけじゃないので、そういう人は「縁無き衆...]

  _通りすがり [私は、いまだに連続体仮説の何が重要なのかわかりません。非決定的だと聞いてますます...]

  _かがみ [それこそ思い入れというものですよ。]

  _通りすがり [＞「数学の論文はコンピューター可読な形式とし証明のチェッカーを通す」ことが実質義...]

  _Joe☆ [中村氏は、数学というより情報数学なのでしょう。情報数学は数学とは違います。物理学...]

  _かがみ [(通りすがりさん) 昔の記事は感情的になり無理やり批判的な理屈を考え出した面はあ...]

  _かがみ [(Joe☆さん) こんにちは。どうもおひさしぶりです。中村氏は情報数学というより...]

  _通りすがり [中村八束氏は数学科の出身ですね。http...]

  _通りすがり [＞優秀な人が自然言語が苦手ということはどうでしょうか。＞少なくとも私が知る範囲の...]

  _通りすがり [＞コンピューターでの検証を通さないと全く信用しないというか、正しさの根拠を「形式...]

  _かがみ [あれれっ、失礼しました。確かに中村氏は「数学科」出身ですね。でも私が考える数学と...]

  _通りすがり [＞形式化という行為が計算機という物理的な実体と関連する理由がよく分からないのです...]

  _かがみ [単なる個人の感情なのですが、要は数学に計算機が介入するのが嫌いなんですよww]

  _通りすがり [要は、「脳は、計算機とは全然違う！」という人間至上主義がいかがわしいと思ってるだ...]

  _かがみ [私が計算機を余り好まないと同様に、計算機にも嫌われているようです。そういう意味で...]

• 激しい値動き

  3月28日に注文した Shelah の Cardinal Arithmetic が届きました。これって基数計算の教科書と いうより、Shelah の基数理論に関する論文集みたいな感じです。とっても難し そうです。ですが、基数の理論に関して非常に参照されることが多い本ですの で、今後必要に応じ少しずつでも理解したいと考えています。

  ところでこの本の価格ですが、通常価格は $412.00 で、私が購入したときは 58% オフ価格で $172.63 でした。その後一時値引きがなくなり、本日同じ Amazon のページを参照するとお値段が 33% オフの $278.00 となっています (この日記を書いている時点で JPEG イメージ) 。非常に激しい値動きです。私自身安く購入し大きな声で言えないのですが、 いくらなんでも Shelah 先生に失礼なのではと思わないではありません。それ から Jech の Set Theory も現在 20% オフの $128 みたいです。もしかして Amazon で集合論関連の本を購入する場合、ある程度値動きを見てから購入した ほうが良いのでしょうか。

  そもそも「二万円以下だと安い」と感じてしまうあたり、やや金銭感覚が麻痺 している恐れがあります。個人で購入するには少々高すぎます。最初の価格が 安ければ一番良いのですが、数学の本を書くにはとんでもない能力と労力が必 要なのに、その割には余り売れないという事情がありそうです。もちろん儲け るために本を書いてるのでないことは分かるのですが、さすがに出版社が大赤 字になるわけにもいかない。その辺りの案配は存外難しいのかも知れません。

  (追記) もっとも私は数学の本を読むペースが遅いので、例えば Jech 本なんて もう3年以上もお世話になっています。そういう意味では他の娯楽に比べ安いも のなのかも知れません。

  コメント

  _てなさく [そしてさいきんめっきり Windows に転びつつある私は、数学の合間に Fre...]

  _かがみ [双対というとあたかも Galois Theory のように、片方が大きくなるとも...]

  _miya [一冊の本を数年かけて読み切る。ということにあこがれるのですが、最初のページからど...]

  _てなさく [そういえば、 Dodd の "Core Model" (Lo...]

  _かがみ [(miyaさん) もちろん私もどんどん忘れていきます。何年も読み続けるのがよいこ...]

  _かがみ [(てなさくさん) あっ、そんな情報を教えて頂くと、欲しくなってしまうじゃあないで...]

  _てなさく [無限次元のベクトル空間の代数的な次元は双対を取るたびに κ から 2^κ へ跳ね...]

  _かがみ [互いにこれほど急激に増加するのはとても素晴らしいです。一般連続体仮説が成り立たな...]

  _てなさく [いずれ子供たちのために何か昔の「きっどぴくす」みたいなソフトウェアを作ってやれれ...]

• 基数計算 (1回目 基本の基本の準備 (1))

  集合論雑記目次

  基数計算シリーズに関してはZornの補題程度までの知識を前提として、ごくご く基本的な概念からきちんと説明を行う予定です。従って以前記載した事実と の重複もかなり発生すると思われます。その辺りはご容赦の程お願いいたしま す。さらに面倒になった場合、過去の記事を引用する場合もあり得ますが、そ ちらの方もご容赦の程よろしくお願いいたします。今後の体系は特に注意しない 限りZFCであることとします。

  本日は準備として、存外知られていないと思われる基数とアレフ、それから 共終数について記載します。

  (C1.0 基数とアレフ)

  良く知られているように $ X, Y $ を集合とするとき $ |X|=|Y| $ という関係を $ X $ と $ Y $ の間に全単写が存在することとして「定義」し、 $ X $ と $ Y $ は濃度が等しいと呼ぶこととします。さらに $ |X| \leq |Y| $ は $ X $ から $ Y $ への単射が存在する意味とします。この記法は良く使われますが、この時点で は $ |X| $ という対象式が定義されていないため便宜上のものです。 $ Y $ から $ X $ への全射が存在する場合、選択公理により $ X $ から $ Y $ への単射が存在するので $ |X| \le |Y| $ が成り立ちます。上述の等号と不等号に関する推移性が成立することも明らか です。さらに任意の集合が整列可能であることにより、集合に与えた順序型を 保つ $ X $ から $ Y $ もしくは $ Y $ から $ X $ への単射の存在が分かり $ |X| \le |Y| $ または $ |Y| \le |X| $ が成立します。さらに次のカントール・ベルンシュタインの定理、すなわち「 $ |X| \le |Y|, |Y| \le |X| $ ならば $ X=Y $ 」が成立します。従って $ |X| \le |Y| $ が全順序関係になることが分かります。 $ X,Y $ が無限集合の場合 $ |X|+|Y| = |X||Y|=\max\{|X|,|Y|\}, |X|\lt |2^{X}| $ が成立することは非常に良く知られているので、ここでは証明しません。

  (C1.0.1 基数の定義) $ \alpha $ を極限順序数とします。このとき $ |\alpha| = \min\{\beta\,:\, |\beta|=|\alpha|\} $ で定義します (定義が循環しているみたいですが、右辺の集合での条件は 関係をあらわすということで)。そして $ |\alpha| $ の形の順序数を基数と呼びます。一般の集合 $ X $ に対しては、選択公理により $ X $ に整列順序を導入します。そしてその順序型を $ \alpha $ とするとき $ |X|=|\alpha| $ と定義し $ |X| $ を $ X $ の基数と呼びます。この定義が $ X $ に導入する順序型によらないことは明らかです。この定義により $ |X| $ という記法が正当化されます。

  (おまけ) 他の方法として、同一の濃度をもつ集合でランクが最小のもの 全体としても定義することが可能です。Bourbakiの体系の $ \tau $ 記号を使用するのならば、定義はもっと容易であり、 $ |X|=|Y| $ を例えば $ \mathrm{Eq}(X,Y) $ と表すことにしたとき $ |X| = \tau_{Z}(\mathrm{Eq}(X,Z)). $

  (C1.0.1 アレフの定義) 順序数 $ \alpha $ に対する $ \omega_\alpha $ を次のように定義します。

  $ \omega_0 = \omega $
  $ \omega_{\alpha+1} = \{\beta \,:\, |\beta| \le |\omega_\alpha|\} $
  $ \omega_\alpha = \mathrm{sup}\{\omega_\beta \,:\,\beta\lt \alpha\} =\bigcup\{\omega_\beta \,:\,\beta\lt \alpha\} \qquad (\lim(\alpha)) $

  任意の順序数 $ \alpha $ に対し $ \omega_\alpha $ は基数であり、さらに任意の基数はある順序数 $ \alpha $ に対する $ \omega_\alpha $ の形に表すことが可能です。実際次の事実が成立します。

  (C1.0.2 命題)

  (0) $ \omega_\alpha $ は順序数
  (1) $ |\omega_\alpha|\lt |\omega_{\alpha+1}| $
  (2) $ \omega_\alpha $ は基数である
  (3) $ \omega_\alpha\lt \kappa\lt \omega_{\alpha+1} $ を満たす基数 $ \kappa $ は存在しない

  (証明) (0) は $ \omega_\alpha $ の推移性を示せばよいが、それはほとんど明らかである。次に (1) (2) を同時に $ \alpha $ に関する帰納法により証明する。 (1) はもし $ |\omega_\alpha| = |\omega_{\alpha+1}| $ であったと仮定すると定義により $ \omega_{\alpha+1} \in \omega_{\alpha+1} $ とり矛盾。 (2) はもし $ \beta\lt \omega_{\alpha+1} $ とすると定義により $ |\beta| \le \omega_\alpha $ もし $ |\beta|=|\omega_{\alpha+1}| $ とすると $ |\omega_{\alpha+1}| \le \omega_\alpha $ となり (1) に反する。(3) も容易である。

  もちろん $ \omega_{\alpha + 1} $ として $ \omega_\alpha $ より大きい最小の基数と定義することもできますが、具体性に欠けるのが難点 です。私自身は上の定義が好きです。

  慣習として $ \omega_\alpha $ の順序数としての側面よりも基数としての側面を重視する場合それを $ \aleph_\alpha $ と表します。 $ \omega_\alpha = \aleph_\alpha $ なのですが演算の扱い等意味が異なる場合もあります。ただし上記の区別は余 り厳密に行われない場合もあるので注意が必要です。

  $ \aleph_{\alpha+1} $ の形の基数を後続基数と呼び、そうでない基数を極限基数と呼びます。

  (C1.1 Cofinality について)

  極限順序数 $ \alpha $ の共終数 (cofinality) の定義は次の通りです。

  (C1.1.1 共終数の定義)

  次の条件を満たす最小の $ \gamma \le \alpha $ を $ \alpha $ の共終数 (cofinality) と呼び $ \gamma = \mathrm{cf}(\alpha) $ と書く。

  順序数の増大列 $ (\beta_\xi)_{\xi \lt \gamma} $ (ただし $ \beta_\xi \lt \alpha $ ) が存在し $ \lim_{\xi \rightarrow \gamma} {\beta_\xi} = \alpha. $

  次の命題は良く使われます。

  (C1.1.2 命題) $ \alpha $ を極限順序数とする。 $ (\alpha_{\xi})_{\xi\lt \beta} $ を順序数の非減少列で次の条件を満たすものとする。

  (1) 任意の $ \xi \lt \beta $ に対し $ \alpha_\xi \lt \alpha $
  (2) $ \lim_{\xi \rightarrow \beta}{\alpha_\xi} = \alpha $

  このとき $ \mathrm{cf}(\beta) = \mathrm{cf}(\alpha). $

  (証明) まず $ \mathrm{cf}(\alpha) \le \mathrm{cf}(\beta) $ を証明する。 $ \lim_{\eta \rightarrow \mathrm{cf}(\beta)}{\gamma_\eta}= \beta $ を満たす増大列 $ (\gamma_\eta)_{\eta\lt \mathrm{cf}(\beta)} $ を考える。このとき明らかに $ \lim_{\eta \rightarrow \mathrm{cf}(\beta)}{\alpha_{\gamma_\eta}}=\alpha $ が成り立つので $ \mathrm{cf}(\alpha) \le \mathrm{cf}(\beta) $ が成立する。次に $ \mathrm{cf}(\beta) \le \mathrm{cf}(\alpha) $ を示す。 $ \alpha=\lim_{\zeta \rightarrow \mathrm{cf}(\alpha)}{\gamma_\zeta} $ を満たす増大列 $ (\gamma_\zeta)_{\zeta\lt \mathrm{cf}(\alpha)} $ を考える。すると (C1.1.1) により、各 $ \zeta \lt \mathrm{cf}(\alpha) $ に対し $ \xi\lt \beta $ で $ \gamma_\zeta \lt \alpha_\xi $ を満たすものが存在する。このような $ \xi $ で $ (\alpha_\mu)_{\mu \le \xi} $ を (真の) 増大列とする最小のものを $ \xi(\zeta) $ と表すと $ \lim_{\zeta \rightarrow \mathrm{cf}(\alpha)}{\xi(\zeta)} = \beta $ が成立するので $ \mathrm{cf}(\beta) \le \mathrm{cf}(\alpha). $

  (C1.1.3 系) $ \alpha $ を極限順序数とするとき $ \mathrm{cf}(\mathrm{cf}(\alpha)) = \mathrm{cf}(\alpha). $

  (証明) 実際 $ \lim_{\xi \to \rm{cf}(\alpha)}{\alpha_\xi} = \alpha $ を満たす増大列 $ (\alpha_\xi)_{\xi \lt \rm{cf}(\alpha)} $ が存在するので (C1.1.2) を適用すれば良い。

  (C1.1.3 ケーニヒの定理) $ I $ を空でない集合として $ (\kappa_i)_{i \in I},\, (\lambda_i)_{i \in I} $ を基数の族として、任意の $ i \in I $ に対して $ \kappa_i\lt \lambda_i $ が成立しているものとする。このとき $ \sum_{i \in I}{\kappa_i} \lt \prod_{i\in I}{\lambda_i}. $

  (証明) $ \lambda=\prod_{i\in I}{\lambda_i} $ として適時積集合としての意味と基数の積としての意味を混用することとす る。各 $ i \in I $ に対し集合 $ Z_i $ を $ Z_i \subset \lambda, \, |Z_i| = \kappa_i $ となるものとする。このとき $ \bigcup_{i \in I}{Z_i} \neq \lambda $ を示せば良い。 $ P_i = \{f(i) \,:\, f \in Z_i \} \subset \lambda_i $ とすると $ |P_i| \leq |Z_i| = \kappa_i $ なので $ P_i \neq \lambda_i $ である。従って任意の $ i \in I $ に対し $ f(i) \in \lambda_i - P_i $ を満たす $ f \in \lambda $ が存在し $ f \notin \bigcup_{i \in I}{Z_i} $ である。

  (C1.1.4 系) $ \kappa \lt \kappa^{\rm{cf}(\kappa)} $

  (証明) $ \sum_{\xi \lt \rm{cf}(\kappa)}{\kappa_\xi} = \kappa $ となる基数の列 $ \kappa_\xi \lt \kappa $ を考えると $ \kappa = \sum_{\xi \lt \rm{cf}(\kappa)}\kappa_\xi \lt \prod_{\xi \lt \rm{cf}(\kappa)}\kappa = \kappa^{\rm{cf}(\kappa)}. $

  (注意) 実はこの証明の「基数の列」を $ \kappa $ が後続基数の場合に適用するには、次に記載するに後続基数が正則であること を使います。 $ \kappa $ が極限基数の場合は共終数を定義する順序数の増大列の基数を使用すれば良いです。

  (C1.1.5 系の系) $ \kappa \lt \mathrm{cf}(2^\kappa). $

  (証明) $ \mathrm{cf}(2^\kappa) \le \kappa $ と仮定する。すると上の系と仮定により $ 2^\kappa \lt (2^\kappa)^{\mathrm{cf}(2^\kappa)} \le (2^\kappa)^\kappa=2^\kappa $ となり矛盾。

  (C1.1.6 正則基数と特異基数)

  基数 $ \kappa $ が $ \mathrm{cf}(\kappa)=\kappa $ を満たすとき正則基数と呼びます。正則でない基数を特異基数と呼びます。 $ \aleph_\alpha \aleph_\alpha \lt \aleph_{\alpha + 1} $ なので $ \aleph_{\alpha + 1} $ 未満の順序数の増大列による、 $ \aleph_{\alpha + 1} $ 未満個の極限が $ \aleph_{\alpha+1} $ になることはあり得ません。従って後続基数は正則基数です。正則な非可算極 限基数を弱到達不可能基数と呼びます。弱到達不可能基数の存在の無矛盾性は ZFC から証明不可能です。基数 $ \kappa $ が $ \forall{\lambda}(\lambda \lt \kappa \rightarrow 2^\lambda \lt \kappa) $ を満たすとき強極限と呼びます。例えば $ \aleph_\omega $ 未満での (一般) 連続体仮説を仮定すれば $ \aleph_\omega $ は強極限となります。強極限である弱到達不可能基数を (強) 到達不可能基数と 呼びます。

  (関連リンク)
  2008年4月28日(月) 基数計算 (2回目 基本の基本の準備 (2))
  2008年5月28日(日) 基数計算 (3回目 特異基数仮説のお話)

  コメント

• MacBookメモリー増設

  一枚3,900円の2Gメモリーが二枚届いたので、早速交換しました。 メモリー交換は へんてこドライバー の必要がないので、全く問題なく行うことができました。起動も問題なく行わ れ、「この Mac について」と「アクティビティモニタ」のスクリーンショット は横に貼りつけたとおりです。おうちの Mac では 4G のうち 3G しか使用でき ませんが「この Mac について」でメモリー4Gと表示されるのは実メモリー搭載 量という意味なのでしょう。それより驚いたのが「アクティビティモニタ」の 円グラフの下にも4G と表示されていることです。ところがよくよく「空き」の 部分をみると丁度 3G バイト使用可能ということで帳尻が合います。

  ということはもしかして使用量表示の円グラフは 3/4 分しか有効でないのでは (汗)

  これではとっても不便です。ところがこちらもちょっと計算すると、円グラフ 一回り 3G ということで帳尻が合っているようです。円グラフの下の 4G を 3G と思えば良いのです。一安心です。

  メモリーが 2G から 3G に増えてもこの日記のねたになる程度で、精神衛生上 の問題以外特によくなるわけではありません。趣味の円周率計算 (現在 CLN を使い一億桁) の桁数を増やす程度しか役に立たないかも知れません。それよ り困るのは、現在の黒マックはメモリー3G、ハードディスク250G というとんで もない大装備です。そして、おそらく将来に新しいのを購入する場合、スペッ クダウンは我慢できないと思います。ますます散財要素が増えてしまいました。 困ったものです。

  コメント

  _Y.Kumagai [スクリーンショットが合わせ鏡みたいでどういう仕掛けなのかしばし考え込んでしまいま...]

  _かがみ [ご推察の通り、スクリーンショットは 2pass で作成しました。ネットの情報によ...]

• MacBookメモリー増設大作戦

  おうちのMacBook (通称黒マック) は現在 1Gx2 のメモリーで動作しています。 ところでちまたのうわさによると、最近メモリー価格の暴落が非常に激しいと のことなのです。ためしにいくつかお店を調べたところ、なんと

  2Gバイトのメモリーが 3,900円

  あわわわ、まさかこんなに安いとは思いませんでした。1Gのなんて一枚2,000 円切ってるではありませんか。おうちの黒マックに 2枚刺しても3Gまでしか使 用できませんが、この価格ならば試しに二枚購入するのもありかも知れません。 といいますかもうぽっちんしちゃいました。かなり怪しげなお店なので、ちゃ んと動作するかはよく分からないのですが、だめもとということで。

  現在メモリー不足で悩んでいるわけでないことは絶対に内緒です。

  コメント

• この時期多い集合論検索

  例年この時期になると集合論の用語に関する検索が増えます。おそらく新大学 生が数学の基礎としての集合論についての感触を調べているのだと思います。 実際問題として「普通」の数学で使う「集合論」は、Zorn の補題程度までをお さえておけば大体大丈夫なのですが、そこからが本当に面白い部分というのが ほんとの話です。ぜひぜひ参考文献を手にとり面白い部分を存分に楽しんで頂 きたいと思います。

  基数計算シリーズ一回目書いてます。一回目は今までの復習なのですが、まだ 半分くらいです。少々のんびりしすぎているかも知れません。

  コメント

  _てなさく [どういう語句で検索されているかわかったら、学生さんの理解の傾向がわかったりしませ...]

  _かがみ [語句としては「集合論」が一番多いと思いますが、例えば「可測基数」「強制法」等個別...]

  _通りすがり [普通の数学で「可測基数」も「強制法」も使わないと思う。]

  _かがみ [通りすがりさん、こんにちは。本文の内容と少々矛盾が発生し、コメントの方はいつの間...]

  _通りすがり [というか普通の数学では、「非可算」ですら、それほど大した意味を有していないように...]

  _かがみ [私は全然詳しくないのですが、例えばトポロジーでの可分条件とか、可算、非可算はかな...]

  _通りすがり [＞例えばトポロジーでの可分条件とか、可算、非可算はかなり意識されていると思います...]

• つくば出張

  今日と明日はつくば出張です。本年度もつくばのお客様の仕事がメインになり そうです。じまんになりますが、昨年の仕事が好評だったので、追加のお仕事 を頂けたのです。これだけで半年間食べていけます。お客様は研究者なのです が、昔からプログラミングを通じて研究者のお手伝いをする仕事は相性が良く、 お互い良い気分で仕事ができる場合が多いようです。もともと私自身研究者に なりたかったということは何回か書きましたが、その辺りの大変さや、何をす れば喜んで頂けるかが分かるのが良いのかも知れません。事前の打ち合わせや 仕様書以外のところで、本当にその方が実現したい部分のお手伝いを損得抜き で行うことが大切です。そこのところが分からないと研究者さまのお手伝いを 円滑に行うのは難しいと思います。

  コメント

2008年3月   2008年5月   更新履歴と日記の先頭に戻る   日記の目次 
集合論雑記目次
はてなリング 数学の輪
トップページに戻る   谷山浩子さんのページ