2006年7月

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2006年7月31日(月)

あいつをやっつけろ
たかたにさんとこで盛り上がっていたあいつの話題。要するにごきちゃんですね。不気味に動く触覚、脂ぎった体、陰険な眼差し、俊敏だが不快な動き、追いつめたと思った瞬間どんな狭い場所へでも逃げ込む機動性。ほんとにやなやつです。さらにもぞもぞ動いていると油断させておいて突然宙を舞う作戦も恐怖感と不快感を増大させます。
ただし個人的には、家の中にいもむし毛虫がいた場合パニック状態となり、誰かが助けてくれない場合そのまま憤死する可能性が高いのですが、ごきちゃんは案外平気です。
ところでごきちゃんと言いましても、大きい種類と小さい種類があります。もちろん恐怖感をあおるのは大きい種類ですが、たかたにさんの所で熱心かつ真剣かつ学問的に議論されているように、すでに撃退法は確立されている感がありますし、そもそも屋内で大量発生する可能性も低いのです。
それより本当に恐ろしいのは小さいごきちゃんです。
ちと恥ずかしい話なのですが、今住んでいる前のマンションの台所で大量発生したのです。いわゆる一匹見たら百匹いると思え！そのもので、最初は黒くて小さい変な虫がいるな、と思っていたら、あっという間に増え、夜中に電気をつけると数百匹が台所内を闊歩しているという状況に陥ったのです。台所中真っ黒です。
これには参りました。一匹ずつ退治するなど全く意味もなく、かといって殺虫剤を噴射しても有効範囲は限られる。そんなこんなでどたばたしていると、いつの間にか場所は不明なのですが、みんなどこかへ逃げ込んでしまうのです。まあ、まぬけな性格なのが何匹か残っているのですが、そいつらを退治しても全く大勢に影響がなさそうで、こちらが根負けしてしまうのです。ごきぶりホイホイもしくは類似品を試したりもしたのですが、一日に数匹捕まるだけで全く効果は認められませんでした。
そんな状態で一ヶ月以上途方に暮れていたのですが、試行錯誤の結果「コンバット」が劇的な効果を上げ、一週間程で数匹がぽつりぽつりと歩いている状態まで回復したのです。ただしちょっと油断してコンバットを切らすと、すぐまた増えだし、以前の状況とまでは行かないにしても、また増えてきたな〜という感じになるのです。結局完全に撃退するまで半年くらいまめにコンバットを補給続けたのです。
余談ですが、昔買った掃除機に「ごきぶり退治ボタン」というのがついていました。要はごきちゃんを吸い込みそのボタンを押すと、ゴミ袋の中に熱風が噴射されカップラーメンのごとく約三分でごきちゃん焼きが出来上がるという訳です。今はそんな製品あるのだろうか。というかこの機能が果たして売り上げを伸ばしたかどうかは永遠の謎なのです(笑)。

2006年7月30日(日)

サーバー移行延期
昨日今日で移行する予定だったのですが、数学の勉強していたら、時間がなくなってしまった。というか面倒なので数学に逃避したのかも。まあバッアップさえ行わなければそこそこ動いてるので(殴)。来週こそは必ず移行する予定です。

2006年7月29日(土)

まいてぃまうすバトン
まいてぃまうすバトン(要は新したたまちゃんバトン)が、 Y.Kumagaiさんから渡ってきました。さらにたかたにさんには「かがみさんは『様子見』とか寝ぼけたことを」というご意見を頂いております。うーむ元はと言えば自分で撒いた種ですので、ここは購入ボタンを押すしかないかも(笑)。ただし出遅れの影響で納期は最悪二週間くらいかかるそうです。現在使用中のしらたまちゃんですが、上にみかんでも乗せて、毎日お祈りをするということで勘弁してもらいましょう。
最近はますます眼が悪くなり、小さい文字を読むのが非常に困難になってきました。その意味では、お気楽拡大機能があるということが購入する最大の理由です。
(関連項目) 新したたまちゃん
さらに散財
ゲーデルと20世紀の論理学(1)。こちらは八月上旬に届く予定。

2006年7月28日(金)

続・いもむし
先日中国のお土産にいもむしを買ってきて下さった H さんですが、まだまだおみやげの在庫があったらしく、昨日もらったのが写真のお菓子。
怪しいです(笑)。
まず右のごとくお菓子の袋の写真が怪しすぎます。えーっと、毛沢東の若いときの写真ではなく(いや！全然似てないけど)、お菓子を作っている会社の社長さんの写真らしいのです。日本で言えば、例えば明治製菓のお菓子の袋に、そこの社長さんの写真が張り付いているようなものです。果たしてこんなことして売れるのだろうか？といいつつも H さん曰く、「写真が面白かったのでつい買ってしまった」ということで、案外有効な売り上げ向上対策なのかもしれません。というかお菓子の名前が「不老林」なので、もしかしてづら屋さんでも兼任しているのか？そういやなんとなく頭に疑惑が感じられなくもないのです(^^。
次に怪しいのは下の左側、お菓子をくるんでいる銀紙です。写真だとちょっと分かりにくいのですが、ここにも社長さんの顔が(笑)。うーむ...よほど自分の顔に自信があるのだろうか。それともこれも営業対策？

最後に肝心のお菓子です。これは怪しいというより怖いです。頂き物ということで余り大きな声では言えませんが、 実物はいもむしの輪切りみたいに見えます(笑)。中国のいもむしってこんなに太いのだろうか。こんなのが動いてるの見ちゃったらやだな。
いずれにしてもお礼を言わないととっても失礼なので、H さんのところへお礼に行き、さらにいもむしがどうのこうのと講釈したのです。全く失礼なやつです(笑)。ところが H さん曰く、「前のいもむしの方が甘くておいしかったかも」ということで、「いもむしいもむしいもむし」としつこく言い続けた効果はあったようで、やっとこ H さん自身もお菓子の真の本性に気がついたようです。
もちろん前回のいもむしも、今回のいもむしも、両方とってもおいしかったことは言うまでもありません。どうもありがとうございます。
＃なんか今日の記事の雰囲気が「イロモノサイト」そのものになっているのがやだな(笑)。

2006年7月27日(木)

さすがに限界自宅サーバー
先日ダウンした FreeBSD/R30 自宅サーバーですが、明け方にディスクリセットが発生したというログが沢山出ています。なぜ明け方かと言いますと、その時刻に大量のバックアップを取るため、ディスクアクセスが集中するためと思われます。仕方がないので今日から夜中の自動バックアップは中止です。いやはや、いつ使えなくなるか分からない状態でバックアップをやめるとは、最悪の事態です。
うーむ、さすがにもう限界ですな。というかそこそこ動いてるのが不思議。いよいよ Mac mini サーバーを仕立て上げるしかなさそうです。とりあえず httpd は今日記を書いている PowerBook でもちゃんと動作しているので簡単に移行出来そうです。面倒そうなのが DNS と sendmail なのですが、こちらはぼちぼち移行することにします。今度の土日に作業を行う予定。
＃別途案として http サーバーは Mac mini で他の用途のサーバーは
＃180MHz で安定動作している X24とか。
＃面倒だから全部レンタルサーバーに移行するということも考えています。

2006年7月26日(水)

鴨南蛮ふたたび
今日も石川県から N さんが出張してきたので、お昼に N さん、S さん、Y さんと鴨南蛮を食べたのです。前回は PHS で写真を撮ったところいかにもまずそうになってしまったので、本日は巨大 LUMIX を持参しました(笑)。
くるくるまわるしらたまちゃん
Apple の News Release によると、ついにくるくる機能付きしらたまちゃん (ワイヤレスMighty Mouse(マイティマウス)) が発売されたそうな。もちろん気になるのは電池の寿命ですが、
ワイヤレスMighty Mouseは単三電池１個または２個で使用することができます。
ということだそうで、二個入れると寿命が二倍に伸びるのだと思います。ただし現在のしらたまちゃんと比較して効率が向上したかどうかは不明です。実は効率が良くなりすぎると、もちろん便利にはなるのですが、安物アルカリに対する eneloop の優位さが少なくなるという欠点もあります。
とってもとっても欲しいところですが、今まで可愛がってたしらたまちゃんをこのまま放置するのもちょっと可哀想な気がします。うーんどうしよう。しばらく様子を見ることになりそうです。

2006年7月25日(火)

またもダウン自宅サーバー(マウスの記事は上)
本日15時頃突然自宅サーバーが落ちました。家に電話をかけたところ、幸いモカちゃんがいたので、一度電源を落として入れ直してもらったところなんとか自動復旧したようです。このときと同じ症状です。二ヶ月以上問題なかったので油断していたのですが、そろそろ Web Server だけでも Mac mini に移行た方が良いかもしれません。
実験君
しらたまちゃんの電池ねたは封印するなんて書きましたが、とても暑くなってきたので、先週の水曜日から eneloop でない方のニッケル水素電池がどの位使えるか実験してみたのです。
結果は丁度一週間で二ヶ月前の実験と同じなのですが、この一週間は余りマウスを使用しなかったので、三分の二程度が自己放電と思われます。Eneloop の場合普通に使って 20日近く持ちますので、普通のニッケル水素電池(容量は eneloop より多い)は三日以内で使い切る条件でのみ eneloop に対抗出来る感じです。現実的には eneloop 以外のニッケル水素電池は必要ないと思われます。

2006年7月23日(日)

二女の誕生日
今日は二女十九歳の誕生日です。なにやら部活とかで色々忙しいそうで、お祝いは火曜日に行う予定。
部活ではなく期末試験でごたごたしている模様。普段勉強しないから(笑)。というか、せっかく大学に入ったのだから、「これから自由にいくらでも好きな勉強ができる」という気持ちにならないのが少々不満。でもやはり自分の娘というのはとても可愛いのです。

2006年7月21日(金)

The Knaster-Tarski Theorem より有限特性について
酒井さんのところから勝手にねたを頂きました。タルスキーの不動点定理の解説論文 The Knaster-Tarski Theorem の「A set operator is finitary iff it is chain-continuous」部分に関して。ちょっと記号を変えて証明を書きます。
$X$ を集合とし $\mathcal{P}(X)~(=~2^X)$ をべき集合とします。 $\tau:\,\mathcal{P}(X)~\rightarrow~\mathcal{P}(X)$ に対して次の条件は同値。
(1) $\mathcal{C}~\subset~\mathcal{P}(X)$ が $\subset$ に関する全順序部分集合(chain)のとき $\tau(\bigcup_{Y\in\mathcal{C}}Y)~=~\bigcup_{Y\in\mathcal{C}}\tau(Y)$
(2) $A\subset{X}$ の有限部分集合全体を $\mathcal{F}(A)$ とするとき $\tau(A)~=~\bigcup_{F\in\mathcal{F}(A)}\tau(F)$
まず (2) → (1) の証明ですが、 $\mathcal{C}$ を $\mathcal{P}(X)$ の全順序部分集合(chain)として、 $Y\in\mathcal{C}$ に対し $\mathcal{F}(Y)$ を $Y$ の有限部分集合全体とします。このとき $\mathcal{C}$ が chain であることにより
(3) $\bigcup_{Y\in{C}}\mathcal{F}(Y)~=~\mathcal{F}(\bigcup_{Y\in\mathcal{C}}Y)$

(2) の $A$ として $\bigcup_{Y\in\mathcal{C}}Y$ を考えると $\tau(A)~=~\bigcup_{F\in\mathcal{F}(A)}\tau(F)$ が成立します。ところが(3) より最後の式は $\bigcup_{Y\in\mathcal{C}}\,\bigcup_{F\in\mathcal{F}(Y)}\tau(F)$ となり、再び (2) によりこの式は $\bigcup_{Y\in\mathcal{C}}\tau(Y)$ と等しく、これは (1) が成立することを意味します。
(1) → (2) の証明は「有限特性」の概念がらみなので、超限的な証明が必要である可能性にもっと早く気がつくべきでした。
(1) を仮定し (2) を $A$ の基数に関する帰納法で証明します。 $|A|~=~\lambda$ として $A$ の要素全体を $(x_\alpha)_{\alpha<\lambda}$ と整列し、 $A_\beta~=~\{~x_\alpha~\,:\,~\alpha<\beta~\}\quad(\beta<\lambda)$ とします。明らかに $\{A_\beta~\,:\,~\beta<\lambda~\}$ は chain であり、さらに $A=\bigcup_{\beta<\lambda}{A_\beta}$ が成立します。ところが基数はその「基数」である最小の順序数なので $|A_\beta|<\lambda~\quad(\beta<\lambda)$ が成り立ち、帰納法の仮定により $\beta~<~\lambda$ に対し $\tau(A_\beta)~=~\bigcup_{F\in\mathcal{F}(A_\beta)}\tau(F)$ が成立します。従って (1) の仮定と (3) と同様な事実が成立することにより $\tau(A)=~\bigcup_{\beta<\lambda}\tau(A_\beta)~=~\bigcup_{\beta<\lambda}~\,\bigcup_{F\in\mathcal{F}(A_\beta)}\tau(F)~=~\bigcup_{F\in\mathcal{F}(A)}\tau(F)$ が成り立ち (2) が導かれます。
実は chain や「有限特性」という概念は Zorn の補題の定式化にも関連し、選択公理と密接な関連があるのです。実際、上の証明では整列可能定理を使用しました。集合論雑記という割には今まで Zorn の補題に関し真面目に書いたことがなかったので、こんど時間を見つけてきちんと書こうかと考えています。
(2006年7月22日追記) $\lambda$ が有限の場合は明らかということで。

2006年7月19日(水)

さらなる無限降下列
集合論雑記目次
(2006年7月24日付記) 下記はやはり変。一度退散します。
会社の昼休みにねた本なしで書いているので、前提条件等に誤りがあるかも知れません。その点に関しては後日訂正致します。
無限個の離接、合接、束縛を許す言語上で、集合論のモデル間の初等的埋め込み(この条件は自信ないです) $j:\,\langle~V,~\in~\rangle~\rightarrow~\langle~M,\varepsilon~\rangle$ を考えます。この場合「超巾と正則性」の記事で述べたような現象は発生しないらしい。つまり前記事の記号で書くと $f_0,f_1,f_2,...$ ( $V$ での $\varepsilon$ の降下列)が $\langle~M,\varepsilon~\rangle$ 内に外延を持てないので、 $V$ での $\varepsilon$ -無限降下列が $M$ の無限降下列にならなかった訳です。ところが無限の論理では $f_0,f_1,f_2,...$ の存在は $\exists{f_0,f_1,f_2,...}\bigwedge_{n<\omega}(f_{n+1}\varepsilon~f_n)$ と言語レヴェルで表現できてしまうので、 $\langle~M,\varepsilon~\rangle$ でも意味を持ち正則の公理に反する訳です。
(悩みごと) 無限論理の直感的な解釈は分からないではないのですが、ZFC 内で形式的に表現する方法が良くわからない。肝心の Model Theory (Studies in Logic and the Foundations of Mathematics) (Hardcover) by C.C. Chang, H.J. Keisler を読んでも「無限論理に関する解釈は演習問題」って書いてあるし。さらに演習問題と言っても章末に問題がある訳ではなく、「自分で考えて下さい」という意味なのです。お願いだから定義を演習問題にしないで...。やはり無限の合接等を形式化する場合、(普通の有限論理上の ZFC で)論理式をコード化し、全称記号を使うのだろうか。でもそのような形式化を行うと $\omega$ の実体がアメーバーのごとく変化する可能性があり、結局本日の論法もあやしくなるかも知れません。さらに $\omega$ 程度で直感的に議論するのはまだ良いとして、もっと大きい基数に関して同様な議論を行う場合、いくらなんでも「直感的に」という訳には行かないと思うのです。
という訳で本日の議論は直感的に分からないではないのですが、形式的な記述に関し、どうすれば良いか悩みにや悩んでるのです。
(2006年7月20日付記) 無限論理の ZFC 内での形式化は、常識的に全称記号や列を使う方法で問題ないのかも知れない。解釈に関しては普遍クラスである $\langle~V,~\in~\rangle$ に固定して考えれば(要するに通常の有限的な論理式と素直に考える)へんてこなことも起きないような気が。全く自信なしです。まずい！とんでも化しているかも。

2006年7月18日(火)

語感
集合論の勉強をしていると、ultrafilter, ultraproduct, ultrapower 等ウルトラなんとかという言葉がたくさん出てきます。英語で書くとまだ良いのですが、ウルトラパワーとカタカナで書くと、いかにも強そうで、さらに「シュワッチ！」という感じさえします(笑)。
私に限らず日本人の場合、「ウルトラ」という言葉は怪獣をやっつけるなんとか星人という感じがするのではないでしょうか。
そこで最大の疑問は、例えば supercompact のようにスーパなんとかという言葉を米国の人が聞いた場合、「機関車よりも強く、弾よりも速い」(良く覚えてない)という感じがするのでしょうか。どうでもよい謎なのです(笑)。

2006年7月17日(月)

URL占い
大分昔からあったようですが、 URL占いの話を小耳にはさんだので私も占ってみました。
かがみさんのサイトはイロモノサイトです！
あなたのサイトは、イロモノサイトの可能性が高いです。もしかしたら、あなた自身は、正統派をめざしているのかもしれませんが、その視線が独特すぎるため、結果的にイロモノになっています。そのため大ヒットはしないかもしれませんが、一部の濃い人たちには、人気を得るでしょう。よかったですね。
うーん。自分では講評出来ません(笑)。

2006年7月16日(日)

弱コンパクト基数にこもる
前回、あまりに驚いたので、可測基数の下に大量の弱コンパクト基数が存在する事実を書きましたが、実は弱コンパクト基数に関することは全然知りません。今になって思えば「到達不可能基数がいっぱい」にしておいた方が無難だったかと後悔しています。
それはともかくとして、弱コンパクト基数は言語 $\mathcal{L}_{\kappa~\kappa}$ (無限の合接、離接、無限個の変数に対する束縛を許容した言語) のコンパクト性に関連し、さらに無限の分割の性質、正規超フィルター等とも関連が深そうで、とても興味深いのです。しばらくこちらの方面にこもります。具体的には「巨大基数の集合論」を真面目に読み始める予定です。まだまだ不足な点は多いのですが、この二年半くらい断片的に知識をためこんだのも無駄ではなかったようで、ようやく他の文献を参考にしながら読み始める準備が整ったと楽観的に考えています。
超巾のことを教えて頂いたのはとても大きかったと思います。まだまだ初歩的な事実しか知りませんが、とても具体的で分かりやすく、さらに意外な事実がたくさん出てくる。これほど面白いものとは思いませんでした。

2006年7月15日(土)

モカちゃんピアノの発表会
今日はモカちゃんが通っているピアノ教室の発表会でした。モカちゃんの曲目は「ベートーヴェン作曲ピアノソナタ作品13ハ短調『悲愴』第1楽章」です。もちろん私の方はばか親モードに入り写真撮りまくりです。全部で 160枚くらい撮りました。
おうちに帰り写真サーバー (ご覧になっているマシンです)にアップ。パスワードを入れれば会社で~~ひなまとき~~休憩時間に見ることが出来るのでなかなか便利です．

2006年7月13日(木)

鴨南蛮

今日のお昼休みは石川県から出張に来ている Nさん、社内の Sさん(二人とも女性)と一緒に鴨南蛮を食べに行きました。以前から約束していたのですが、なかなか食べに行く機会がなかったのです。朝 N さんに会った時一瞬お顔が鴨に見えたので、「あっ！かもがいる〜」と叫んだら怒られました(笑)。鴨南蛮はとてもおいしかったです。

最小値と最大値
命令型言語で配列の最小値を求めるプログラムは次の二つの流儀がありそう。
```
========================================================================
(その 1)
int min(int *a, int size)
{
    int m;

    m=a[0];                   /* size=0 の場合メモリーをこわす */
    for (i=1;i!=size;i++) {   /* size=0 の場合無限ループ */
        if (a[i]<=m)
            m=a[i];
    }
    return(m);
}

(その 2)
int min(int *a, int size)
{
    int m=int の最大値;       /* infinity と解釈 */

    for (i=0;i!=size;i++) {   /* size=0 でも大丈夫 */
        if (a[i]<=m)
            m=a[i];
    }
    return(m);
}
========================================================================
```
どうでも良いことですが (その 2) の方が好き。配列が空でも爆発しないし、配列が空の場合「最小値=プラス無限大」「最大値=マイナス無限大」と解釈できるのも宜しい。無限多倍長の場合 Infinity が欲しい。
ループのターミネーションに不等号ではなく「等しくない」を使用するのは私の流儀です。ループを抜けた時点でループ変数が終値に一致していることが自明になるのと、「どうせバグるなら盛大に」という鉄則にも合うので。

2006年7月12日(水)

おみやげ
会社の H さんが先週中国へ旅行していたのですが、うれしいことにおみやげを買ってきてくれたのです。どうもありがとうございます。
ところで右の写真のチョコレートの包装紙の文字は鏡文字みたいですが、よくよく見るとロシア語です。どうして中国なのにロシアのチョコレートなのかいまいち分からないのですが、もしかして国境近くに行ったのでしょうか。そして横にあるウインナーみたいなのは飴です。余り大きな声では言えませんが、 実物はいもむしかさなぎみたいに見えます(笑)。
丁度副社長がいもむしをなめていたいたので、「さすが副社長！勇気あります。これってどうみてもいもむしかさなぎで、食べる決断がつかないのですよ。」と大きな声でしゃべっていたのです。H さんの座席は私のところから離れているので聞こえないはずです。せっかくのおみやげの悪口なんて絶対に言えません。もちろん本人に聞こえなければ悪口を言ったことにはなりません(殴)。
ところが悪いことはできないもので、さらに「いずれ成虫になってお腹を食い破って出てくるのでは。それがミニ H さんみたいだったらほんとに恐怖映画の世界ですよ！」と騒いでいたら背後に気配が。
H さんに全部聞かれていました。
やけににこにこしているので余計に怖いのです。「いや、そのー、とってもおいしそうですね」などとごまかしても後の祭りです。なんとかに耳ありで、うかつに悪口は言えないものです。周りに十分注意する必要がありそうです(←違うだろ)。果たして次回はおみやげをもらえるのだろうか。とってもとっても心配なのです。
余談ですが最近は Lumix を持ち歩いていないので、どうでもよいねたが発生した場合WX310K は存外便利です。誰もが一度シャッターを押した後、二度と使うことのない京ぽん2のカメラも役に立つ場合があるようです。

2006年7月10日(月)

ボーナス
なんとか出たようで(汗)。それにしてもこの引かれ方っていったい...。
いずれにしても将来の Mac 購入のため 10万円程プールする予定。

2006年7月9日(日)

弱コンパクト基数がいっぱい
$\kappa$ を可測基数とし、 $U$ を正規な $\kappa$ 完備超フィルター(これは簡単に構成可能)とすると、その超巾において $\kappa~=~[\mathrm{id}_\kappa]$ が成立する。 $M|=$ 「 $\kappa~\text{~is~weakly~compact}$ 」と論理式 $\varphi$ に対し $M|=\varphi(\kappa)~\leftrightarrow~M|=\varphi([\mathrm{id}_\kappa])~~\leftrightarrow~V|=\{\alpha<\kappa\,:\,\varphi(\alpha)\}~\in~U$ の成立により、 $\kappa$ 以下「ほとんどすべて」の基数が弱コンパクト(すなわち到達不可能)。
こんな都合の良い方法で証明可能とは驚きました。
(関連項目)
2006年9月10日超積、超べきとLośの定理
 2006年8月24日可測基数と弱コンパクト基数(再挑戦)
2006年10月2日弱コンパクト基数の基本性質(一回目)
2006年11月12日正規フィルターとフォドァの補題
 2006年11月14日正規超フィルターと超べき

2006年7月8日(土)

Scottの定理・可測基数とL
集合論雑記目次
今日は Scott(1961) による「可測基数が存在すれば $V\neq{L}$ である」ことの証明です。
この定理は可測基数の重要性とおそらく整合性に関する直感に対し決定的な影響を与えたと思われるのですが、超巾とその推移的崩壊のテクニックを応用することに気がついた段階で、証明自体は比較的簡単だったのではと推測されるのです。個人的な見解ですが一種の「引き出し論法」です(*1)。
まず $L$ に関する前提条件ですが、今回使用するのは次の事実のみです。
(1) $L$ は最小の内部モデルである。すなわち $M\subset{V}$ が推移的で、すべての順序数が $M$ の要素である集合論の $\in$ モデルのとき $L\subset{M}$
超べきの定義、可測基数の定義、到達不可能であること、可算完備との関連については
測度と可測基数
 最小の可測基数
 可測基数が到達不可能であること
 超積、超べきとLośの定理
を参照して下さい。
一般にクラス(と構造) $\langle~N,\varepsilon~\rangle$ に対し、一対一関数 $j:\,V\rightarrow~{N}$ が初等的埋め込み(elementary embedding)であるとは、次の事実が成立することでした。
任意の論理式 $\varphi$ と $x_1,x_2,\cdots,x_n\in{V}$ に対し $\langle~V,\in~\rangle~|=~\varphi(x_1,x_2,\cdots,x_n)~\leftrightarrow~\langle~N,\varepsilon~\rangle~|=~\varphi(j(x_1),j(x_2),\cdots,j(x_n)).$
特に $N$ が推移的崩壊の条件を満たしている場合、推移的なクラス $M$ と同型 $\pi:\,\langle~N,\varepsilon~\rangle~\rightarrow~\langle~M,\in~\rangle$ が存在します。この場合 $\langle~M,\in~\rangle$ は内部モデルとなり $\pi~\circ~j:\,V~\rightarrow~M$ が初等的埋め込み(elementary embedding)となります。一般に推移的な $\in$ モデルに関する初等的埋め込み(この様に書いた場合恒等関数でなないものとする) $j:\,V~\rightarrow~M$ に対し次の事実が成立します。
(2) $\alpha~\leq~j(\alpha)$
(3) $\beta<j(\beta)$ を満たす $\beta$ が存在する。このような $\beta$ で最小のものを $j$ の critical point と言い $\mathrm{crit}(j)$ と表す。
(2)は整列順序集合間の増加関数の性質から導かれます。(3)の証明は省略します(*2)。ただしこれから展開する具体例では確かに可測基数が critical point となります。
Scott の定理の証明ですが、 $\kappa$ を最小の可測基数とし、 $U$ を $\kappa$ 上の nonprincipal $\kappa$ -complete ultrafilter とします。超巾 $\langle~V^{\kappa}/U,\varepsilon~\rangle$ を考えると $U$ が可算完備であることにより推移的崩壊 $\langle~M,~\in~\rangle$ を考えることが可能で、初等的埋め込み $j:\,V~\rightarrow~M$ を構成することができ、さらに $\mathrm{crit}(j)=\kappa$ が成立します。
この事実を仮定すると(後で証明) $V\neq{L}$ の証明は簡単です。もし $V=L$ を仮定すると、(1)により $V=M=L$ が成立し、 $M$ が内部モデルで $V=M$ であることにより $M|=~\kappa<j(\kappa)$ , $M|=~$ 「 $\kappa$ は最小の可測基数」が成立します。ところが elementary embedding の観点から $M|=~$ 「 $j(\kappa)$ は最小の可測基数」が成立するので矛盾です(*3)。
最後に $\kappa$ が critical point になることの証明です。まず $\beta<\kappa$ に対し $\beta=j(\beta)$ であることですが、 $f:\,\kappa~\rightarrow~V$ とし、超巾での解釈で $f~\in~j(\beta)$ を仮定します。このとき定義により $A=\{x~\,:\,~f(x)~\in~\beta~\}~\in~U$ が成立します。今 $\alpha<\beta$ に対し $A_\alpha~=~\{x\,:\,~f(x)~=~\alpha~\}$ とし、任意の $\alpha<\beta$ に対し $A_\alpha~\not\in~U$ を仮定すると、 $U$ が $\kappa$ -complete であることにより $A\not\in~{U}$ となり矛盾です。従って $A_{\alpha}~\in~U$ を満たす $\alpha~<~\beta$ が存在しますが、これは超巾(経由)での解釈で $f=\alpha$ を意味し、従って $\beta=j(\beta).$
次に恒等写像 $\mathrm{id}_\kappa:\,\kappa~\rightarrow~\kappa$ (うるさく言えば $\mathrm{id}_\kappa:\,\kappa~\rightarrow~V$ ) の超巾での解釈を考察します。まず超巾での解釈で $\mathrm{id}_\kappa~<~j(\kappa)$ は明らかです(恒等写像の各値が $\kappa$ の要素なので)。一方 $\beta<\kappa$ とすると、 $U$ が nonprincipal $\kappa$ -complete ultrafilter であることにより $\{~\alpha~\,:\,~\beta~<~\mathrm{id}_k(\alpha)\}~\in~U$ が成立し、 $\beta=j(\beta)<\mathrm{id}_\kappa.$ 従って $\kappa\le\mathrm{id}_\kappa$ が成立し $\kappa<j(\kappa).$
この定理の証明は(分かってしまえば)簡単ですが、内部モデルの考え、超巾とその推移的崩壊のご利益を使いきっている感じがします。また超自然数の場合と同様に恒等写像が $\kappa$ の住人からは「非常に大きく」見える点もなかなか興味深いのです。
正則の公理や AFA の話題から、超巾や推移的崩壊とそれらの関連性を教えて頂き、始めて巨大基数の有用性を実感できる定理を理解出来たつもりになっています。数学って楽しいです。
(付記) えーっと Category の方は全然進んでいません。もう少々時間を。
(*1) 証明の一部分は、先週の超巾と正則性の $\omega$ を可測基数 $\kappa$ に変えただけであり、論法は非常に良く似ているのに驚きます。もちろん $\omega$ 上に $\omega$ -complete ultrafilter(普通の超フィルター) が存在するという類推が成立しているから。
(*2) 例えば「巨大基数の集合論」を参照して下さい。さらにこの条件が成立してる場合、critical point は可測基数になることも分かります。
(*3) 初等的埋め込み $j:\,L~\rightarrow~L$ が存在すれば $V\neq{L}$ です。さらに初等的埋め込み $j:\,V~\rightarrow~V$ は存在しないことが知られています(Kunen 1971)。
(2006年7月24日追記) 上の「初等的埋め込み」は「定義可能な初等的埋め込み」とする必要があります。くるるさんに教えて頂きました。どうもありがとうございます。

2006年7月6日(木)

爆睡の日
昨日は午前中の会議と午後の会議があったのです。午前中の会議は私が担当しているソフトウエアーに関する内容だったので、当然真面目な議論を行いました。ところが午後の会議は「全体会議」ということで営業的には重要な会議だったのですが、まあ私には関係がない話ばかりだったのです。
当然眠くなります(笑)。
結局午後の会議では爆睡してしまい、会議終了後さらに営業的な打ち合わせがあったようなのですが、「かがみさんはもう帰ってよいです」とお役御免となり、19時過ぎ自宅に到着しました。実はその後のことは良く覚えていないのですが、結局 21時頃に寝てしまい、本日の朝6時頃まで爆睡したのです。最近やや寝不足だったのでちょっと良かったかも。

2006年7月5日(水)

つくば出張
きょうは恒例のつくば出張です。てゆうか十時集合って朝六時に家を出なくては。
いかん！結局ほとんど寝てない。眠い(現地より)。

2006年7月4日(火)

製本機届く
先日注文した製本機が届きました。やっぱ最初はこれですね(笑)。

2006年7月2日(日)

超巾と正則性
集合論雑記目次
$\kappa$ を基数、 $U$ を $\kappa$ 上の超フィルターとし、超巾 $V^{\kappa}/U$ を考えます。超巾の定義と今回の記法に関してはくるるさんの記事を参照して下さい。
今日のお題は次の事実。
$\langle~V^\kappa,~\varepsilon~\rangle$ では正則の公理が成立するが $V^{\kappa}/U~\subset~V$ と考えた場合 $V^{\kappa}/U$ の要素で $\varepsilon$ に関する無限下降列が存在する可能性がある。大丈夫なのか！
まず準備として $j:\,V~\rightarrow~V^{\kappa}/U$ を次の様に定義します。
$x\in{V}$ に対して定義域のすべての値に対し $x$ を対応させる定値関数を $C_{x}~:\,~\kappa~\rightarrow~V$ とする。そして $j(x)~=~C_{x}$
$j$ は elemenatry embedding です。即ち次が成立します。
$\langle~V,~\in~\rangle~|=\varphi(x_1,x_2,\cdots,x_n)~\leftrightarrow~\langle~V^\kappa/U,~\varepsilon~\rangle~|=~\varphi(j(x_1),j(x_2),\cdots,j(x_n))$
ここで「 $V^{\kappa}/U~\subset~V$ と考えた場合 $V^{\kappa}/U$ の要素で $\varepsilon$ に関する無限下降列が存在する。」という事実は「 $f_n\in{V^{\kappa}/U}\quad~(n~\in~\omega)$ で $\cdots~\varepsilon~f_{n+1}~\varepsilon~f_n~\varepsilon\cdots~\varepsilon~f_1~\varepsilon~f_0$ を満たす無限下降列(右から左へ)が存在する」ということです。解釈は $\in$ ではなく $\varepsilon$ により行われているので、一見すると上記の関係は $V^{\kappa}/U$ での無限下降列の存在を示し、正則性に矛盾しそうです。
一晩悩みました(笑)。
Relativization というのは落とし穴にはまりやすく、特に「 $\cdots$ 」などを使用した省略形を使う場合は注意が必要そうです。上の無限降下列をきちんと表現してみます。
(1) $\exists{f}(f\text{~is~a~function~}~\wedge~\mathrm{dom}(f)=\omega~\wedge~\forall{n\in\omega}(f(n+1)~\varepsilon~f(n)))$
さてどこがいけないのでしょうか？
このように書くと $\omega$ が限りなくあやしい気がします。 $\in$ も残っているし。 $\langle~V^\kappa/U,\varepsilon~\rangle$ での解釈では束縛されていない部分は書き直す必要があります。 Elementary embedding の性質により $V^{\kapp}/U$ での「 $\omega$ 」は $j(\omega)$ です(*)。従って
$(2)~\exists{f}(f\text{~is~a~function~}~\wedge~\mathrm{dom}(f)=j(\omega)~\wedge~~\forall{n\varepsilon~j(\omega)}(f(n+1)~\varepsilon~f(n)))$
を考察します。今 $\kappa~=~\omega$ として、 $U$ はフレシェフィルターを拡張した超フィルターとします。 $X\subset{\omega}$ は $\omega$ の有限個を除いた要素からなる場合 $U$ の要素となり、 $X,~\omega-X$ がともに無限の場合、「整合がとれるように選択した方」が $U$ の要素となります。この条件の下で $j(\omega)$ を考えるのです。
まず $j$ の性質により $n\in\omega$ に対し $j(n)\varepsilon{j(\omega)}$ は明らかです。ところが $j(\omega)$ の要素は上の形のもののみではありません。例えば $f~=~\{\langle~n,n~\rangle~\,:\,~n\in\omega~\}~=~\langle~0,1,2,\cdots\rangle$ を考えると $\{n\in\omega~\,:\,~f(n)\in\omega~\}~=~\omega~\in~U$ なので、超巾での $\varepsilon$ と $j$ の定義により $f\varepsilon~j(\omega)$ が成立します。さらに $\langle~V~,\in~\rangle$ で考えると、 $f$ は $\omega$ 上任意の二元以上の部分集合上で $j(n)\quad(n\in\omega)$ と異なるので、 $\langle~V^\omega/U~,\varepsilon~\rangle$ 上いずれの $j(n)\quad(n\in\omega)$ とも一致しません。もしかして $f$ は超自然数という感じなのでしょうか。いずれにしても (2) は成立しないのです。もっと分かりやすく言うと $\{f_0,f_1,f_2,...\}$ は $V^\omega/U$ の $\varepsilon$ 要素ではなさそうです(というか表現の方法がない)。
上の議論は自分で考えたのでいまいち正しいか自信がないのですが、もし合っているとすれば超巾の直感をつける上で非常に役に立ちました。例えば今回の議論をちょっと拡張すれば critical point の存在なども非常に分かりやすく説明出来そうです。個人的には案外気に入ってます。
(関連リンク) 超積、超べきとLośの定理

(*) $j$ により「最小の indective set」という性質は保存されるから。
(2006年7月4日付記) くるるさんに上記の事実に関し問題ないと教えて頂きました。どうもありがとうございます。さらに $V$ での無限下降列の実例に関しても記載した方が良いというアドヴァイスを頂きました。くるるさんの所のコメントにも書きましたが、上の例で言えば、
$f_0~=~\langle~0,1,2,3,4,5,\cdots~\rangle~\cr~f_1~=~\langle~0,0,1,2,3,4,\cdots~\rangle~\cr~f_2~=~\langle~0,0,0,1,2,3,\cdots~\rangle~\cr~f_3~=~\langle~0,0,0,0,1,2,\cdots~\rangle~\cr~\cdots$
が $V$ での $\varepsilon$ に関する無限下降列となります。

2006年7月1日(土)

製本機
最近インターネット経由で論文をダウンロードして読む機会が増えてきたのです。おおざっぱに流し読みする場合は、PC の画面で眺めても問題ないのですが、真面目に読む場合はどうしても印刷する必要があります。
ところが印刷した論文をクリップとかガチャ玉で留めると、ふにゃふにゃでまことに扱いが宜しくなく、さらにすぐ行方不明になってしまう場合が多いのです。
そこで欲しくなるのが製本機です。家庭用で安いものを探していたところ、とじ太くんというものを見つけました。本体の価格が一万円くらいです。気になるランニングコストですが、一冊 200円弱ということでこちらも許容範囲です。近々ボーナスも出る予定(大丈夫？)ですのでここは衝動買いです。届くのがちょっと楽しみ。

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