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2006年5月31日(水)

• 隠れとんでも

  良く知られているように、論理学や集合論はとんでもの宝庫です。 とんでもに関する個人的な考察 は以前書きました。
  個人的には普通の人(いや！普通じゃないのかも知れないが)がとんでもな理論 を考え、それを楽しんで発表することに関して、さほど問題があるとは考えて いません。まれに信じてしまう人がいるとさすがにまずい気もしないではない のですが、そのようなことを信じてしまう人は、もともと数学的な思考は不得 意で、信じたがゆえに新たな問題が発生する可能性は非常に低いと思うのです。

  集合論に関し一番有名なのは区体論でしょうか。区体論の最大の問題は、間違っ ているとかそういう問題ではなく、「新たな数学的展望を全く与えてくれそう にない」ということにつきると思います。この言葉は余り使いたくないのです が、要は「全く役に立たない」のです。もちろん作者の発表の仕方や過激な態 度に問題が多く、それが有名になる最大の原因であることは分かります。正則 性の公理(追加すると矛盾が発生しにくくなると主張している)に関する勘違い 等はその一例です。

  区体論自身を真面目に検証するなどということは、時間の無駄であると思いま すし、そもそも私の能力では不可能です。ただし著者自身はなかなか切れ味が 鋭い面もあるように思えます。例えば「準関数」(実質選択関数)という概念を 使用し、存在記号を定義している部分(Part 3 の後ろの方)がありますが、も しブルバキの τ 記号 を知らずに このような記法を考えついたならたいしたものです。もちろん私自身区体論に 何ら賛意を示すものではありません。

  それよりももっと問題が多そうなのは、例えば http://www.transrec.jp/gmi_net → 「研究業績」→「医科学のためのシステム論」の PDFファイル における「集合論入門」なる章で、元の論文自体はなにやら「東京大学医科学 研究所において行われた教授就任講演の内容」で「放射線科学 Vol.45 No.1 2002, pp13-23に掲載」されたそうなのです。

  もちろん数学の専門でない人が素朴集合論について語る内容に目くじらを立て る必要もないのかも知れませんが、それなりの大学に属していると思われる 「研究所教授就任講演」で「学術雑誌に掲載された」となると、区体論等に比 してはるかに問題が多いような気がします。細かい点を指摘するときりがない のですが、いくつかつっこみどころを引用します。

  現代の集合論に相当する理論を論理学に適用し始めたのは20世紀初頭に活躍し たラッ セルやホワイトヘッド等の哲学者たちでした.また,フレーゲやツェル メロなどの数学者 たちが集合論を,基礎数学の道具として整備しました.ブル バキと呼ばれる数学者の集団 によって体系化された現代集合論は,すでに現代 数学の強固な基礎となっています.

  ブルバキが現代集合論を体系化？

  お節介かもしれませんが,⊆という記号は,「含む」と読みます.∈という記号 は,「属する」と読みます.⊆という記号の左辺にあるのは,必ず「集合」です. 属するという記 号の左辺にあるのは,必ず集合の「要素」です.この違いを無 視すると,いろんなパラドックスが起きますから...

  同情の余地ありですが、BG集合論だと逆っぽい感じ。まあこれはいじめすぎで すね。それよりお節介かもしれませんが「含む」という言葉は混乱を 招き良くないと思います。「部分集合である」と言うべき。それからパラドッ クスですか...。そりゃ$\subset$と$\in$を間違えれば何でもありでしょうが、 ちょっとレヴェルが低すぎませんか。

  集合論と数学(代数)そして情報処理とは,その基本法則が全く等しい(同型であ る)のです.

  全く意味不明です。

  その後アリストテレスが登場したり、さらに「構造」の概念の説明を行ってい るつもりらしい箇所もあるのですが、定式化がめちゃくちゃで、結局のところ 集合のことは全く分かっていない事実が白日のもとにさらされるのです。その 他多数の混乱が見られるのですが、この著者は「研究所教授就任講演」という 公的な場所で、全く分かっていない中途半端な集合等の知識(知識とも言えな いかな)について得意げに「集合論入門」などと称し「解説」しているのが大 きな問題なのです。どうせ知らない人ばかりだと考え、甘く見ているのでしょ うか。もしそうでしたら研究者としての資質に多大な疑問を感じます。

  一般の人が自分のホームページに好きなことを書くのとは訳が違います。ちゃ んとした講演でしたら、いくら他分野に関する事柄であっても、きちんとした 調査と正しい認識が必要であると思います。このような部分が講演全体の一部 とはいえ存在すると、講演全体の質が信用出来なくなるのは当然です。

  隠れとんでもです。

  ＃世の中こんなもんなのかなあ...。

• 黒マックの誘惑

  もちろん新しい MacBook の話なのですが、まさか iBook の後継機が dual core で発売されるとは思い ませんでした。しかもお値段が手頃。会社で白マックを購入された方がいまし て、ちょっと触らせてもらったのですが、十分すぎるほどの速度です。私は描 画速度を要求しない人なので、MacBook が Pro に比較し描画系で劣ることに 関しては余り問題ありません。iBook と違いデュアルディスプレイも出来るそ うだし。銀マックに 1G のメモリーを搭載するより黒マックに 2G のメモリー を積んだ方が快適かも知れません。

  さらに今の 12inch の PowerBook でさえ重いのに、15inch の銀マックを購入 した場合、果たしてあんなに大きいのを毎日持ち歩けのかという問題が生じま す。持ち歩くことに関しても黒マックが有利です。

  うーん悩ましい。

  ただし個人的に黒マック最大の難点は銀マックに比較してキーボードがいまい ちということで、新しくノート PC を購入した場合最低三年間(二女が大学卒 業するまではもう無理)は使用する必要があるので、入力が快適かどうかは極 めて重要な要素です。

  うーん悩ましい(笑)。

  購入するにしても半年後(今の PowerBook 購入から二年経過)以降の話ですの で、じっくり考えることにします。その頃には 64bit 化した MacBook Pro が 発売され、さらに物欲をそそる状況になっているかも知れませんが、現在の状 況で黒マック最大の難点は

  たかたにさん にじまんできない

  ということなのです(^^。

• 続・関数ってなあに

  実は思いのほか反響が多く驚いています。何か気の利いたことを書きたいとこ ろですが、少々混乱しておりましてすぐにはまとまりません。もう少しお待ち ください。

  ご意見・ご指導ありがとうございます。

• よくありそうな間違い

  任意の集合の整列可能性から選択公理を導くとき、「(空でない)各集合を整列 して最小元を選べば良い」と思っている人って案外多そうな気がします。実は 私自身学生時代はそう信じていたようなふしがあるのです。

  上の論法は各集合の整列順序構造を「選ぶ」段階で選択公理が必要となるので 循環論法になりそうです。正しくは「『各集合』の合併上の整列順序を考え、 その部分集合として『各集合』に導入された整列順序に関する最小元を選ぶ」 で良いと思います。

• 関数ってなあに

  モカちゃんが突然「関数ってなあに」と聞いてきたのです。関数ですか...。 困りましたなあ。はてさてどうやって説明すれば良いのだろう。前提条件とし て集合を持ち出すと却って分かりにくくなりそうだし、そもそも集合の話を始 めるとどんどん話が膨らんで行きそうな自分が恐ろしい(笑)。

  そんなこんなで悩んでいたらモカちゃんから強烈なつっこみが。

  パパほんとは分からないんだ(^^。

  いや！少しは分かっているつもりなんですが、こういうのを子供に分かりやす く説明するのは本当に難しいです。なかなか良い説明が思い浮かばないのです。 仕方がないので思いついたまま、実際はもう少し会話的でしたが、内容的には 次のように答えたのです。

  二乗するという「機能」を考える。例えば 2 を二乗すると 4、3 を二乗する と9。一般に数を二乗するとまた確定した数になる。モカちゃんは今まで算数 や数学で扱う「もの」は数や図形だと考えていたと思うけれど、このような 「二乗する『機能』」を一つの「もの」と考えたものを関数と言う。
  同様に「一を加える」とか「二倍する」という「機能」を「もの」と考えれば 一つの関数が得られる。図形に対してその面積を考えることを一つの「もの」 と考えるのも関数。

  ここで「何のことか全然分かんないよ」とストップがかかり、以降の説明は断 念したのですが、いやはやどのように説明すれば良いのだろう。一番良いのは、 「いずれ分かるであろう」と放置しておくことかな。子供というのは知識を論 理的な順番ではなく、直感的に循環論法もいとわず「一気に」習得すると思わ れるので、その辺りの折り合いをつけるのが大変なのです。

  さらに難しいのは、そもそも子供というのは先生が説明すると真面目に聞くの ですが、親の説明は真面目に聞かない場合が多いということです。まあこれば かりはどうしようもないです(笑)。

  (関連項目)
  続・関数ってなあに
  関数について

• 健康診断

  今日は健康診断。昨年より状況は良くなり、大体問題なしという結果でした。 昨年血糖量が若干高かったので、この一年間食べる量を減らし、4Kg ほどやせ たのが良かったのかもしれません。ただし例年通り白血球数が異常に多く 14000(8500 以下が正常)でした。本来ならば要精密検査(E)らしいのですが、 「20年間この値ですが特に問題なく生きてます。」と言ったところ、要観察 (C)に格下げしてもらえました。

  そうそう！例年の行事で モカちゃんに提出物の代理採取をお願い したのです。驚くべきことに昨年までの要求金額は百万円だったのに、今年は たったの千円(笑)。現実感が出てきました。やはり月千円ちょっとのお小遣い では経営が大変なのかも知れません。お小遣い以外にも必要に応じて結構上げ てるんですが。

  ＃千円の要求に一瞬血迷いかけましたがさすがに自分のを提出しました(^^。

• コーエンの本をぼちぼち

  最近の平日はぼちぼち コーエンの本 を読んでいます。完全性定理のあたりまで読みましたが、この定理の証明は何 度読んでもだまされたような気がします。というか少なくとも表面的には「こ んなに簡単で良いの？」という感じ。

  そうは言うものの、理論が無矛盾であればモデル(理論の実体)が存在するとい う事実は本当に素晴らしいと思います。数学者も論理を通じて具体的な対象を 扱っているということを実感させられる定理です。ゲーデルの業績では不完全 性定理が特に有名ですが、本当は完全性定理の方が深い内容を表現しているの ではと思えるほどです。

  余談ですが、購入して数日間は値段が値段だったので、もったいなくて持ち歩 けませんでした。でも最近はそんなことどうでもよくなって鞄に入れて持ち歩 いています。

  ＃ 訳者が内容に関してではなく、コーエンの哲学に対して反論する
  ＃ 注釈がちとうるさい。正直言って訳者の哲学には関心がないので。

• 子供のお使い

  昨日までの出張で GPS を使用した時刻合わせを検証する必要が生じたのです。 GPS で時刻合わせする場合、位置推定方式と位置固定方式というものがありま す。位置推定方式の場合、現在の位置を入力する必要はないのですが、3次元+ 時刻ということで、GPS衛星を4つ以上捕捉する必要があります。一方位置固定 方式の場合、GPSの衛星を一つだけ捕捉すれば良いのですが、事前に位置情報 をGPS受信装置に教える必要があります。

  今回はGPSの捕捉が難しい場所だったので位置固定モードを使用しました。緯 度経度情報は、一緒に行った私と同じ大学出身で物理学理学博士の M さんに 事前に調べてもらい、その場で入力する段取りだったのです。そしていざ入力 段階になり M さんからメモをもらったところ、次のように記載されていたの です。

  緯度  35°1' 3''
  経度  139°4' 5''
  

  そして入力する私が作ったプログラムが読み込むファイルには

  LATITUDE=N3540.1324
  LONGITUDE=E13929.3412
  

  という感じの記述があったのです。ところがいまいち変換単位が分からなかっ たので「Mさーん、どういう風に入力すればいいの？」と聞いたところ、「ま んまで大丈夫ですよ！」ということだったので、私が入力した値は次の通り。

  LATITUDE=N3513.0000     # 35°1' 3''
  LONGITUDE=E13945.0000   # 139°4' 5''
  

  なんか小数点以下が全部ゼロになって変だなと思わないではなかったのですが、 「そのまんま」で良いということなので、この状態で計測を開始したのです。

  ところがちっとも時刻が合わないのですよこれが(笑)。

  この期に及んでも私は「M さん変ですよ！座標間違えていません？」なんて人 を疑っていたのですが、設定をちらっと見た M さんいわく。

  かがみさん。いくらなんでも分と秒は二桁なんですからゼロを省略しちゃだめですよ。

  と怒られてしまいました。そうか！数字の上に付いてるプライムやセカンドは 分と秒だったのね。「そのまんま」と言われた瞬間思考の対象から抜けました。 というわけで正しく

  LATITUDE=N3501.0300     # 35°1' 3''
  LONGITUDE=E13904.0500   # 139°4' 5''
  

  と入力し直したところ、正しい時刻が得られるようになったのですが、いやは やいくら「そのまんま」と言われても、全く内容を解釈しないのでは子供のお 使いと変わりないです。

• 出張

  今日から明日にかけて一泊二日でつくばに出張です。

• Mac mini ではまる

  実は今おうちに Mac mini があります。もちろん最新のものではなく Power アーキテクチャーなのですが、会社でPCをたくさん持っている方が一年ほど前 に購入し、未開封だったものをとても安く譲って頂いたのです。メモリー256M バイト、ディスク容量40Gバイトのものです。

  譲って頂いた理由はそろそろ おうちのサーバーの寿命が近そう だからです。徐々にサーバーとしての環境を整えようと考えているのですが、 実際の運用でキーボードとディスプレイは繋がないので、Aqua(Mac OS/X の GUI)は必要ありませんし、無駄にメモリーを消費するだけだと考え、とりあえ ず実験として生の Darwin を導入してみることにしたのです。まず こちらのページから Darwin 8.0.1 ppc の ISO イメージをダウンロードしてCD-ROMに焼き込むこと から作業開始です。その後実質新品の Mac mini にご家族様 PC で使っている ディスプレイとキーボード・マウスを接続し初めてのブートです。さすがに一 度位は Mac OS/X(Panther)を立ち上げないと申しわけない気がしたので、 CD-ROM を挿入しないで起動し、30分くらい遊んでから Darwin のインストー ルを開始しました。

  ところが CD-ROM からブートはするのですが、インストールしようとすると全 部書き込みエラーになってしまうのです。CD-ROM ブート直後シェルに落ちる 方法があるので状況を確認したところ、インストールを試みたパーティション が(root でも)書き込み禁止になっていました。というか /dev/disk0s1,...,/dev/disk0s10 位まで色々あってどこにインストールすれ ば良いか分からないのですよ(笑)。仕方ないので無謀にも fdisk(Mac にもあ るとは知らなかった)で適当にいじって再度挑戦したところ、インストール(ファ イルのコピー)自体は問題なく完了したのですが、ちっともブートしません。

  完全にはまりのモードに入ったようです。

  色々実験して結局半日くらいはまっていたと思うのですが、さすがに疲れてき まして、Web を探索したところ Darwin 7.0.1 の具体的な導入例が見つかりま した。そこで 7.0.1 の CD に焼いて再度挑戦です。ところがこんどは CD か らさえもブートしません。

  さすがに嫌気がさして本日は作業を中止することにしたのですが、「このまま の状態で放置するのも可愛そう」ということで、Mac OS/X を再インストール したのです。ところがこんどは

  「このディスクには Mac OS/X はインストール出来ません」

  という感じのメッセージが表示され一瞬青くなったのです。幸いにしてインス トーラーから Disk Utility を起動して再フォーマットしたところ、後は問題 なく進行したのですが、いやはや一時は再起不能にしてしまったかと思いました。

  いずれにしても一度じっくり作戦を練り直す必要がありそうです。というか　 Mac OS/X そのままで使おうかという安易な考えに傾いてきたのも事実です。 OS の更新で使用する必要がありそうな画面とキーボードは VNC でなんとかな りそうだし。メモリー不足がやや心配ですが、画面を長期間アクセスしなけれ ばどうせスワップに落ちるのでなんとかなるのでは。現行のサーバーも前回の トラブル後はしごくご機嫌が宜しいので、しばらく猶予がありそうです。慎重 に考えることにします。

• モカちゃんの体育大会

  今日はモカちゃんの中学生始めての体育大会の日だったのです。お天気が心配 だったのですが、幸い朝から持ち直し、予定通りの開催となりました。リレー の選手となったモカちゃんが頑張ったからかどうか分かりませんが、結果は総 合優勝でした。仲間同士で大泣きしたそうな。

  一日で真っ黒に日焼けしたモカちゃんですが、帰宅後ちょっと体がだるいとい うので熱を計ったところ、37度2分ほどありました。日焼け熱だと思います。 だるいと言ってる割に、ネットで優勝じまんしているのはもちろんです。

• 自宅サーバー崩壊近し

  本日未明自宅サーバー(FreeBSD/R30)に ssh でログインしようとしたのですが、 connection refused となってしまいログイン出来ません。試しにPowerBookか らホームページ(物理的には直近ですが)へアクセスしても全く応答がないので す。むむむのむ！どうしたのだろう、とふたを開けて画面を確認したところ次 のメッセージが大量に出ていたのです。

  spec_getpages:(#ad/0x20006) I/O read failure: \
                 (error=6) bp 0xca420578 vp 0xd6630 b40
                 size: 0, resid: 0, a_count: 8200, valid: 0x0
                 nread: 0, reqpage: 0, pindex: 0, pcount: 3
  

  あややや、またディスク不良ですか。いやだな〜と思いつつコンソールからロ グインしようとしたのですが、ログイン出来ません。というか何回かログイン を試みていたら勝手にリブートしました(笑)。仕方がないので、お願いだから 立ち上がって下さい、と祈りつつ待っていたら幸い fsck も正常に完了しログ インすることも可能になったのです。

  ただし起動直後に下記の様な不吉なメッセージが。

  ad0: WRITE command timeout tag=0 serv=0 - resetting
  ata0: resetting devices .. done
  

  現在はなんとか動作しているのですが、本日夕方からのログとか受信メールも 消滅していました。ただしメールは再受信出来たようです。/var/ 以下が特に やられたような。ディスクのセクター不良という感じではなく、コントローラー もしくはメモリー関連の問題のような気がします。

  その後、

  # cat /dev/ad0 >/dev/null
  

  を実行したところ、これは問題なくパスしました。当面大丈夫かも知れません。 R30は購入してから4年半で一年間はメイン機として使用し、その後三年半サー バーとしてノンストップです。非常に頑張っているとは思いますが、さすがに そろそろ代替機を準備した方が良いのかもしれません。ホームページとメール だけならともかく、その他CVSや写真サーバー等の用途もあるので。

  ＃本当に壊れちゃった場合は当面レンタルサーバーに退避するかも知れません。
  ＃お隣の X24 は 180MHz 動作ですからねえ(笑)。

• 余因子展開を教えてもらう

  先日の行列式ねた ですが、Sさんからつっこみがありまして、こういう場合余因子展開を使えば もっと簡単であることをLaTeXソース付きで教えて下さりました。

  

  なるほど！これだと手計算でも出来そうです。実を言いますと余因子展開(大 学の時習った先生は「とりつめ行列展開」と言ってた) らしきものは思い出し たのですが、おとといの段階では逆行列を求めるときしか使えないと思い込ん でいたのです(愚)。

  こんな基本的な事実も忘れてしまっているとは全く情けない。というより計算 した経験が一度もないという方が問題なのかも知れません。学生時代は「線型 写像の特殊な基底に依存した表現なんて不純だ」と思ってましたから。といい ますか代数の最初の方はブルバキで勉強したので、可換環上のModuleの特殊な 場合が線型空間という認識だったりしました。今になれば、このあたりもっと 柔軟に考えてれば良かったのは分かるのですがねえ(笑)。

  貴重なご助言ありがとうございました。

• 「コーヘン・連続体仮説」届く

  本日届いていました。あたりまえですが古典的な雰囲気。さらに連続体仮説の 独立性否定の無矛盾性の話だけ書いてあるのかと思っていたら、ZFCの体系・完全性定理・不 完全性定理・ゲーデルのL等、歴史順に記述されているのは予想外でした。

  それにしてもP.Cohenの最初のアイディアからたった数年で、驚くほど代数化 が進んだものだと感じます。「示標空間」の要素というのはココロとしては名 称で、「限定陳述」は$Delta_{0}$論理式のことらしい。ざっと眺めただけな ので間違っているかも知れません。

  「今の知識」があれば何について書いてあるのか大体見当がつくのですが、知 らないで読んだらちんぷんかんぷんであることは間違いありません。全体的に 読み物風な記述なのですが、紙とノートなしできちんと理解するのは無理です。 一通り眺めたらしばらく本棚の飾りにして、もう少し知識が増えた段階で読み 直すと面白いかも知れません。

  

• 行列式で大混乱

  会社でHさんが「かがみさん、4次の正方行列の行列式を簡単に求めるのってど うするんでしたっけ？」と聞きにきました。4次の行列式と言われてもそんな の計算したことないのに困ったな〜、と思いつつとりあえず次の提案をしたの です。

  ほら！2次や3次のときみたいにたすきに掛けて足したり引いたりすれば(殴)。

  ところが案の定「仕事で使うんだから真面目に答えてください！」と怒られて しまいました。やはりうそだとばれてしまいましたか。いや〜信じられちゃう ととても困るのですが。

  仕方がないので(すごく面倒になっている)、「すべての4次の巡回に対して乗 算を行い足したり引いたりすれば」と提案したのですが、「それが面倒だから 聞きにきたんですよ」とまたまた怒られてしまいました。実を言いますとこの 段階ではやり方を思い出せなくて、必死になって考えつつ時間稼ぎをしていた のです。

  やっと「特定の行なり列を定数倍して他の行なり列に加算しても行列式の値は 不変である」という事実を思い出し、上半三角行列に変形する方法を説明した のですが、Hさんはそれでも面倒そうな雰囲気なのです。そこで「これが面倒 ならば何らかの特殊性がない場合コンピューター使わないと無理ですよ」と答 えたのですが、Hさんは「要素が数値ではなく数式なんでさらに面倒なのです。」 と言うのです。

  「それなら40万円位予算を取って Mathematica でも買えばよいのでは」とまたまた無責任な回答をしたのですが、彼にとって は意外だったらしく、「式のまま計算できるソフトがあるのですか？」という 反応があったのです。さらにうまいこと私のPowerBookに Maxima がインストールされていることを思い出し、「じゃあやってみましょう。入力 する式を書いて持ってきて下さい。」ということになったのです。
  行列を表現する方法と行列式を求める方法を調べて入力したのが次の結果。

  (C1) determinant(matrix([a, b], [c, d]));      ← 練習
  (D1) a d - b c                                 ← よさそう
  (C2) determinant(matrix(                       ← 読み上げてもらい入力
          [omega^2, 2*h*omega,           1,                 0],
          [      0,         1,     alpha*t,       (1-alpha)*t],
          [      1,         0, -beta*(t^2), -(1/2-beta)*(t^2)],
          [      0,         0,           0,                 1]));
                   2  2
  (D2) - BETA OMEGA  t  + 2 ALPHA h OMEGA t - 1  ← よさげなそうな
  

  うーむ、遊びに使ったことはありますが、始めてMaximaが実用的な用途で役に 立ちました。それはともかく上の式を見るとほとんど上三角行列になっていて、 一番左の 3行目の 1 だけ真面目に考えれば良いのでは(笑)。そうはいっても 手計算だと間違えやすそうなのも事実です。いったい何の式なのだろう？

  とにもかくにも面目を保ち、Hさんも「こんど私もMaximaをインストールしよ う」と満足された様子だったのでした。

• 二女帰宅する

  大学一年になったばかりの二女ですが、先週の金曜日から部活の遠征で北海道 へ旅行していました。まだ新米なので試合には出られないのですが、お手伝い ということで一緒に連れて行ってもらったらしいのです。

  選手だと自腹を切らなければいけないのに、二女の場合は「試合に出ないので」 飛行機代と宿代は部費から出るそうな。ちょっと得した気分です。

  本日未明零時過ぎに藤沢駅に着いたのですが、うれしいことにおみやげを買っ てきてくれました。 有名な白い恋人。 事前にお餞別を上げたのが功を奏したのかも。いやいや決して メールで要求をしたなどどいうことは、ほんの少しあるかも知れません(^^。

• L と Diamond

  [集合論雑記目次]

  今後集合論雑記に詳細な証明を記載することは少なくなると思います。勉強記 録とか覚え書きとかそんな位置づけです。

  いつまでもさぼっている訳にはいかないので、先週からゲーデルの の初歩的な部分の勉強をしていました。本当は forcing の勉強で「選択公理の 否定のZFからの無矛盾性」の部分を読んでいたら、 の概念が必要になったのでそのついでだったのですが。
  の定義は一見分かりやすく、案外簡単に分かるであろうと考え、先週の土日位 で終わらせるつもりだったのは甘かったのです。スコーレムの定理・反映の原 理や内部モデルのごく基本的な事実も必要なのにしっかり忘れていたし。

  興味深かったのは、不完全性定理の証明でも似たような構成があったと思うの ですが、「ごく基本的な関数」の組み合わせで 論理式による構成を表現し、最終的に を構成している部分です。 というのは の世界での原始帰納的関数みたいなもの ( そして が帰納的関数 ) ですから、類似性が生じるのは当然なのでしょうが、初等的な事実(不完全性 定理だって証明は初等的だ！)から深い内容を導きだすゲーデルの洞察に改め て驚くばかりです。

  が存在して次の条件を満たす。

  (1)
  (2) のとき は の定常集合。

  そして (2)により は可算集合に関する情報を大量に持っているので、真面目に考えなくても で が成立するのは当然な感じがする(証明も簡単)。実際 を持ち出すまでもなく

  圧縮レンマで使用する 文の定義は私の所有している文献に具体的な記述がありません。もしかして 「周辺の条件が成立する」事実をコード化した感じなのかも。当分この事実に関し てはそういうものだと考えることとします。

  や に関してはもう少し整理出来たら何か書くかも。

  全部が問題なのですが、今後特に問題になりそうなのが、実数の Topology, Borel, Lebesgue-measure 等に関する勉強不足。Tree のことも全部忘れてい るし。さらに一番大変そうなのが Ramsay 関連。

  そもそも学生時代も層の理論とか Scheme(Spec(A)の開集合を張り合わせて作っ た層・代数多様体を抽象化したもの)を、具体的な複素多様体とかこれまた具 体的な Elliptic curve とかの知識不足な状態で勉強していたら、直感的な裏 付けが乏しくなってきて分からなくなってしまったのです。今度はその轍を踏 まないようにしないと。具体的でごちゃごちゃした部分をおろそかにすると必 ず後で行き詰まるのです。

• 懺悔

  昨日会社のHさんが来て「かがみさん私は罪を犯しました」と言うのです。事 情を聞いたところ、なんとふろしきだか座布団のおまけに目がくらんで、サントリー (Wikipedia東北熊襲発言の項) のお茶を 6つも買ったとのこと。

  かがみ	えーそんな大罪を...。そりゃいくら懺悔しても罪は消えませんよ。
  Hさん	両親がおまけを欲しいって言ってたので。
  かがみ	済んでしまったことは仕方がないとして、ちゃんと中身は捨てたんでしょうね。
  Hさん	それが全部飲んじゃったんですよ。
  かがみ	それはまずい！！サントリーの飲料を飲むと脳が腐ります。 東大出身理学博士の才能もこれでおしまいです。
  Hさん	え〜〜〜。
  かがみ	ところでふろしきってどうして六種類もあるの？
  Hさん	松竹梅なんです。
  かがみ	それなら三種類じゃない？
  Hさん	松竹梅ごとに色違いで二種類あるんです。
  かがみ	そうですか。ところで松竹梅って言えば中国の奇書にそんなのがあったような...。
  Hさん	そんなの知りませんよ。
  かがみ	ほらもう脳が腐り始めている...。あっ間違えた！金瓶梅だ(笑)。

  その後は金瓶梅の話になったのですが、ものがものだけにここに内容は書きに くいのです。

  いずれにしてもサントリーという会社はまともな商品を作れないので、ついに おまけで人をだますようになりましたか。極悪です。

  関連項目 「くまそはにわ」

• モカちゃんけがする

  家に着いたらモカちゃんが「パパーちょっとこれみて〜」と言うのです。何の ことかと思ったら、膝に大きなすりむき傷が。話を聞くと体育の時間にリレー の練習をしていたとき、次の走者にバトンを渡そうとした瞬間に転んでしまっ たそうで、とってもとっても痛そうなのです。

  もちろん病院に行くほどの怪我ではないので、学校の保健室で消毒して、ガー ゼで治療した程度なのですが、ほんとにこの子は生傷が絶えませんなあ。大分 暖かくなってきたので、痛みよりもお風呂に入れない方が大変そうです。ネッ トで怪我じまんをしていたのは言うまでもありません。

• 続コーヘン・連続体仮説

  買っちまった(^^。

  明倫館書店[ご注文メール]
  ------------------------------------------------------
  ISBN : 4489003390
  書名 : 連続体仮説
  副題 : Ｓｅｔ　Ｔ
  著者 : P.J.コーヘン著　近藤基吉他訳
  出版社 : 東京図書
  発行年度 : 1991年　新装版　1刷
  判型、装丁 : Ａ5
  書籍代 : \12,000
  ------------------------------------------------------

• どうでもよいはなし

  本当にどうでも良い話なのですが、普通に数学を習っていると、集合の合併は とか、数が多い場合は と書かれることが一般的だと思います。初めて を見たとき案外分かりにくかったのです。最初の二つのイメージは「寄せ集め たもの」という感じですが、最後のもののイメージは、シャボン玉の中にシャ ボン玉がたくさん入っていて、さらにその中にたくさん...。という状況で、 中に入っているシャボン玉の一番外側がぱちーんとはじけた感じです。

  なども、合併を取ると小さくはならない気がしていたので、最初は結構悩んだ のでした(笑)。

  (おまけ) でない自然数に対して は だけ引き算をする演算子←今気がついた。そういう意味で は limit ordinal と考えた方が自然なのかも。

• コーヘン・連続体仮説

  先日会社のHさんとインターネット古書のページを眺めていたら、なんと 「コーヘン・連続体仮説」なる文字 が目に入ったのです。コーヘンというのはもちろん P.Cohen のことで、こん な本が訳されていたとは全く知りませんでした。時代的には学生時代本屋さん とかで見たことがあるはずなんですがねえ。

  とっても欲しいです(笑)。

  でも残念ながら即座に売れてしまったようです。さらに調べたところなんか楽 天のオークションに7,700円位で出ているようなのですが、さすがに楽天に会 員登録する訳には行きません。Yahoo!!のオークション使っているじゃないか！ というつっこみもあるかと思いますが、個人的には Yahoo!! まではなんとか 耐えられても、楽天となるとさすがにまずい気がするのです。サラ金からお金 借りるのと同レヴェルという感じでしょうか。

  原書(Set theory and the continuum hypothesis) の方を調べてみたところ Amazonにusedが一冊出品 されているようなのですが、$125というのはさすがにちと高いです。いずれに してもこまめにチェックすれば、入手出来るチャンスもあるかも知れません。 気長に待つことにします。

• つくば出張

  きょうはつくば出張です。

• 二女化学式ではまる

  二女がレポート書きをしていたのですが、ワープロで化学式の入力の仕方が分 からなくて困っているようでした。要するにこんな感じ (実際にはもう少し難 しい化学式だったと思います) の下添字を上手に書けないというのです。

  

  LaTeX使えばいいじゃん！とつっこみを入れたくなるのを押さえて、数式の入 れ方を調べたのですが、いやはや世の中の人ってこんな面倒な入力方法で、さ らに苦労した割にはとっても見栄えの良くない数式や化学式を印刷していたの ですか。

  私の場合も計測関連の仕事柄、お客様から数式付きの仕様書を頂くこともある のですが、ほとんどの場合つっこみどころ満載なのです。それはともかくとし て、自分が提出する書類で見栄えの良くない数式を書くのは我慢ができません。 仕事でもほとんどの書類はLaTeXで作成するので問題ないのですが、たまに特 定ワープロフォーマット提出指定のお客様もいらっしゃるのです。

  私のワープロドキュメントは基本的にテキストファイルの拡張子を .doc に直 すだけなので、「通常のワープロだととっても見栄えが悪くなりますよ〜」と 脅迫するのですがなかなか理解して頂けません。それでも数式の見栄えが良く ないのは我慢出来ないので、事前に文書で必要な数式を含むPDFファイルを LaTeX で作成し、それを切り取り小さいPDFなり画像に変換していちいち文書 内に埋め込む作業をするのです。通常の数式やギリシア文字はもちろんのこと、 例えば数式としての一文字だけの とか もいちいち埋め込むのでとっても時間がかかるのです。

  人力 mimeTeX です(笑)。

  市販のワープロソフトも HTML での mimeTeX の様に、何らかの「コマンド+ LaTeX」の文法を受け付け、さらにLaTeXと同等の見栄えを実現してくれればも う少し使う気にもなるのですが、なかなか難しいのが現実であるとは感じています。

  余談ですが、LaTeXで作成したPDFの仕様書をお客様に納品すると、「なかなか 見栄えが宜しい」とほめられることもあるのです。ところが「ちょっと自分た ちで直したいので元ファイルも下さい(ワープロで作ったと思い込んでいる)」 と言われた場合、「本当に大丈夫ですか？」と確認してLaTeXのソースを渡す のですが、たいていの場合お客様はびっくり仰天されるのです(笑)。

  ＃次の年から「仕様書はMS-Wordで納品すること」なんて制約が入るとやだな...。

• 連休最終日

  五日間の連休も今日で終わりです。なんか数学三昧の生活をしていたような。 その割に進んでないけど。それはそうとたいしたことないのですが、モカちゃ んが風邪をひいてしまったようです。どうせなら連休の最初の方に罹ればよかっ たのに。いやいや！遊んでから病気になる方が本人としては得なのかもしれな い(笑)。連休中、友達とカラオケとかに行ってたようなので、そのときもらっ てきたのかも知れません。

  明日から仕事なのですが、何をしなきゃいけないのか忘れてしまいました(笑)。 残件がたくさんあったような...。今日は気にしないで会社に行ってから思い 出しましょう。

• インターネットからの贈り物

  「連続体濃度がアレフ２より大きくなって欲しくない理由」 をとても興味深く読ませて頂きました。実はここ数日、これからの集合論の勉 強の方向性に関して悩んでいたのです。つまり基本的な事柄の理解は重要なの ですが、当然ながら総括的に勉強する能力も時間もないのです。従ってなんら かの目標を決めて、それに必要なパーツの理解を進める方向にしようと考えて はいたのですが、肝心の具体的な目標がなかなか定まらなかったのです。

  ところが本日上のリンクを読ませて頂き、手持ちの本を調べてみたところ、 JechのSet Theory 609ページに

  Theorem 31.23(Todorcevic and Velickovic).

  なる魅力的な見出しが...。難しいであろうし不可能である可能性が強いこと は分かっているのですが、しばらくこの定理を理解するために必要な概念を拾っ て勉強してみたいと考えています。具体的には、強制法の初歩の初歩程度は理 解したつもりなので、そちらの方面をさらに進めることから始めたいと思います。

  私のような趣味と好奇心で勉強しているものにとって、ネットからの刺激はと ても重要です。学生時代は勉強することが義務ですし、当然周りからの刺激も 多いので、自分が進むべき方向性を決定するのは比較的容易な場合が多かった と思います。ところがそのような環境にないと、いくら興味があるし好きであ るとは言っても、分からない部分を理解するにはそれなりのストレスもあるの で、モティヴェーションを持続させるのが非常に難しいのです。インターネッ トの普及で、「昔勉強したことをもう一度やり直してみよう」と考え実行して いる人は私だけではないと思います。

  「ゲーデルの夢」に関する最近の動向を教えて頂けたのは、まさに「インター ネットからの贈り物」であると感じています。

• モカちゃんブログを始める

  モカちゃんが「無料のブログ始めたいのだけれどどこがいいの〜」と聞きに来 ました。どこがいいのかと聞かれてもあまり良くわからないのですが、さすが に Yahoo!! とかましてや livedoor というのもなんなので、「 『はてなダイアリー』 あたりが無難なのでは」と答えました。

  そこでさっそくアカウントを作り始めたのですが、ユーザーIDはどうしようか とか、画面のデザインは何を選べば良いのかあたり結構迷っていたようです。 デザインの選択に関しては、文字が読みやすいのを選ぶようにとアドヴァイス して、とにもかくにも何か書き始めたようです。本当は見に行きたいのですが、 アクセス数が少ないうちに見に行くとばれてしまい絶対怒られるので、ある程 度アクセス数が増えて目立たなくなったらのぞきに行くことにしましょう。モ カちゃんもたまにこの日記を見に来るのでお互い様です(笑)。

  私が下手すぎると言うこともあるのですが、モカちゃんの文章は私よりはるか に上手です。また奥さまゆずりだと思うのですが、一目見て他人の性格を把握 する能力は驚異的で、精神的に私より大人である部分も多いと思います。 さらに「ぱどタウン」でも (子供 同士で争いごとがエスカレートする場合も多い)、必ず自制した行動を心がけ ていました。従ってネットでの行動に関して全く心配していません。良く言わ れるプライバシーに関する心配ですが、正直言いましてそれほど神経質になる 必要はないと思います。書いている内容に問題がなければ、場合によって本名 がが分かっても全く心配する必要はないはずです。そもそもこの日記経由で本 名を知っている人も多そうですし。ただし最近ちょっとコンピューターの前に 座っている時間が長すぎるかなとは思っています。

  しばらく様子を見て、どうしても解決が難しそうな問題が発生した場合には何 らかのアドヴァイスすることにします。

• 強制法入門PDFファイル

  [集合論雑記目次]

  集合論雑記の強制法に関する部分をまとめたPDFファイルを作りました。誤り のご指摘やご意見等大歓迎です。メールでお知らせ下さい。

  集合論雑記強制法に関する部分でいくつか誤りと論理的な順序等の問題が発見 されたので、まだ全部ではありませんが日記の該当場所にそのむねは明記しま した。

  http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.pdf
  http://evariste.jp/kagami/diary/0000/forcing-1.0.tex (EUC)

  再配布改変等はまったく自由です。著作権は放棄します。といいますか私の個 人的に公開した記載物に関し、著作権という概念は存在しないものと思って下 さい。例えば著者名のみを書き換えて再配布されても文句は言いません。ただ し本文で引用した著書の著者もしくは関係者から「引用が多すぎる」等の苦 情があった場合、それが直接私自身への苦情でない限り責任を持ちません。
  配布・内容の改変等については 2006年6月8日の記事 を参照して下さい。

• しらたまちゃん電池最終報告

  最近 しらたまちゃん(Apple Wireless Mouse) のニッケル水素電池が一週間しかもたなくなってしまいました。 一月ほど前まで は10日程度使えたので、やはり温度が高くなったため放電する量が増えてしまっ たのでしょうか。

  結局 eneloop をもう一組買いました(笑)。

  二週間以上もちます。でも eneloop でないほうが四つも余ってしまいました。 愚かとしか言いようがありません。コストですか？ もうどうでもいいです(笑)。

  コスト比較表 にコメントを追加。これにてしらたまちゃんの電池ねたは封印いたします(^^。

• エルデシュクイズ

  今日はクイズです。来週から関口宏さんの「東京フレンド パーク」のルール が変更になります。ゲームをしてコインを集めるところまでは変わらないので すが、コインを 3つ以上集めた場合、今までのようにダーツではなく次の最終 ゲームの挑戦権を得ます。

  カーテンで隠され中が見えない部屋が 3つ並んでいます。3つの部屋の中の一 つには「パジェロ」が入っていて、他の二つの部屋の中は「たわし」です。関 口さんはどの部屋に「パジェロ」が入っているかを事前に知っています。

  挑戦者は三つの部屋の中から一つの部屋を選びます。

  ここで関口さんは、挑戦者が選んだ部屋以外から「たわし」が入っている部屋 (少なくとも一つある)のカーテンを開けます。はずれ部屋を一つ教えてくれる 訳です。さらにこの段階で挑戦者は一度だけ場所を移動することが可能です。 移動しなくてもかまいません。いずれにしても挑戦者が立っている場所の部屋 の商品をもらえるのです。

  [問題] 挑戦者はパジェロが欲しい場合、場所を移動するべきかどうか？

  正解を知りたい人は エルデシュの伝記 を買いましょう。個人的にはお薦め本です(^^。

  この問題に関してのみ、エルデシュと同じ解答でした(笑)。

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