2006年12月

トップページに戻る谷山浩子さんのページ連絡先 kagami@evariste.que.ne.jp
2006年11月 2007年1月更新履歴と日記の先頭に戻る日記の目次集合論雑記目次
たかたにさん Y.Kumagaiさんはやしさん redcat_mathさん tri_iroさん
Stromdorfさんてなさくさん渕野さんの伯母野山日記
最近のコメント(50件) Twitter (@kagami_hr)

02/25 aiueo 01/01 かがみ 01/01 ゼルプスト殿下 01/01 かがみ 01/01 ゼルプスト殿下 05/10 かがみ

2006年12月31日(日)

おおそうじ
してます。ですが収集がつきません(笑)。うーむ、一年間全く掃除をしないとこれほどの惨劇になるとは。そもそも掃除をするにはそれなり計画性というか、先を見通す才能が必要なのではと思うのですが、全く欠如してます。で、現在最大の問題は、掃除をする場合一度ごみや必要なものを仕分けしたり、乱雑なものを整理したり、その他色々作業領域が必要となるのですが、

余りに散らかっていて作業領域を確保できない(笑)

ということなのです。ゆえに未だ作業領域を確保するにはどうすればいいんかいな、と考えるだけで、本質的な部分は全く進展していません。はい。
さらに掃除ができないことは遺伝するらしく、子供達も普段全く片付けないので同様の状況なのです。てゆうか長女と二女は逃げたし。
予定では昨日終了しているはずだったのですが、ごみの中から昔読んだ本が出てきて、逃避行動を兼ねてそれを読み始めてしまった、というのはお約束過ぎなのです。あっ、モカちゃんが漫画読んでて奥さまに怒られてる(笑)。
コメント
_miya [ゴミ領域にあるものは、仕分けしないで一気にゴミ箱に入れないと、片付きませんね。で...]

_かがみ [おそうじ挫折して年越しました。こりゃだめかも(笑)。]

2006年12月30日(土)

集合論の公理について考えたこと
私が集合論と呼ぶ場合、特に注意しない場合 ZFC の体系なのですが、次の二つの公理に関し、色々な意見が見られるようです。
1. 選択公理
2. 正則の公理
数学という学問は、一般に考えられているのとは逆に、その具体性が際立った特徴の一つであると思います(*) もちろん世の中一般から見れば、どこが具体的なんだというつっこみがあるのでしょうが、実際にはその内部での思考の過程が際立って具体的な道筋を通ることが、他の学問との大きさ差異であると考えています。証明って、形式的にも思考的にも本当に具体的ですから。そして、少なくとも現代の状況として、集合論は数学に具体的な基盤を与えるという役割を十分果たしているし、この状況は当分継続すると思われます。さらに集合論そのものの研究自体、数学の内部でも特に具体的な対象を扱っていると感じています。
(選択公理) さすがにきちんと数学を勉強して、それでも選択公理に関して否定的な意見を持つ人は少ないと思うのですが、何かと論議を呼ぶ公理であることは確かなようです。正直なところ、無限公理を認めないという、数学という学問自体を否定する立場ならばともかく、ひとたび無限公理を認めるからには、選択公理は無限を具体化させる本質的な公理だと思うのです。この辺りは抽象代数 (に限らずその他の分野でも) からいくらでも実例をとれるのですが、何と言うか (代数) 構造に対して、具体性のくさびを打ち込む概念であると思います。無限を認めるならば必然的に選択も認めるべきである、というのが私の考えです。
(正則の公理) この公理に関しては、確かに「ないと困る」という実利的な面もあると思うのですが、外延性の公理に対して具体性を与えるという意味で、やはり本質的な公理かと。外延性の公理で内部を調べて行った場合、やはりどこかできちんと裏打ちされないと。そしてその具体性が $\in~$ -induction に結実しているのだと思います。ただ不思議なことに、この公理は確かに今のところ、集合論の内部を研究する場合以外にはほとんど使われないということも事実のようです。それを言うと置換公理もそうですが、一応順序数は普通に考えるということで。うーん、いまいち説得力に欠けますか。でもひとたび $V=\bigcup_\alpha~V_\alpha~$ を見ちゃうと(笑)。それより最近の問題はつぎ。
(構成という反動主義について) 最近気になるのは、論理学に関してそれなりの知識があると思われる人が、おそらく計算機理論 (計算理論ではない) や工学的視点からの、なんというか偏見があるのかと思いますが、構成的でない数学を否定しようとする風潮が散見されることです。あっ、私自身は構成的な数学の研究をどうのこうの言ってるわけではなく、「構成的でない分野を研究しても無意味だ」という一部の意見に対して反論、というかこんなの無視すれば良いと思うのですが、まあ何か書いておこうかと。本当のところ、こういう場合「数学をちゃんと理解して下さい」位しか言いようがないのですが、正直、見苦しい条件や証明で「構成化」された記述より、非構成的でもエレガントな記述や証明の方が美しいし、そもそも私にはそのような非構成的記述の方が具体的に見えるのです。そしてこの辺りの感覚ってとても大切だと自分では思っています。構成のみを認める人って、構成的に考えるべきでない概念を無理矢理構成的に考え、肝心な具体性を失っているような気がします。そして、そのような極端な人の意見を聞くと、まるで時代が 100年戻ってしまったような感覚を覚えます。
(*) 例えばブルバキは抽象的な記述の代表のように言われていますし、彼らも抽象的な枠組みの重要さを強調していることは事実です。ただし、原論の内容を読んでみると、実際には極めて具体的な記述であると感じるのは、今の観点から見てしまっているからでしょうか。
コメント
_yoriyuki [まず傲慢な言い方かも知れませんが、実際に数学に対して創造的な貢献をする能力という...]

_Stromdorf [　実は私も自分のWebサイトで構成主義数学を実際に展開しているので、ちょっと意見...]

_かがみ [yoriyukiさんこんばんは。ちょっと誤解されているのではないかと。まず選択公...]

_かがみ [Stromdorfさんこんばんは。どうもお久しぶりです。Stromdorf のと...]

_Stromdorf [お返事ありがとうございます。　排中律が自然に見える、とのことですが、確かに対象が...]

_かがみ [Stromdorfさん、あけましておめでとうございます。私自身は無限領域に対して...]

_yoriyuki [Stromdorfさんが私の言いたかったこともよりうまく仰られているので、いくつ...]

_yoriyuki [あともう一言だけ。数学的に美しいとか、醜いとか言われるのはたいてい慣れの問題です...]

_かがみ [yoriyukiさん、明けましておめでとうございます。コメントありがとうございま...]

_yoriyuki [>ブルバキについてブルバキは読んだことがないのです。とはいえ、数学上の構造...]

_Stromdorf [　新年明けましておめでとうございます。　もうこれ以上議論するのもヤボかなあと思っ...]

_通りすがり [私は数学に対しては全く創造的な貢献をしてきませんでしたが・・・（ちなみに私は数学...]

_通りすがり [ああ、それから古典論理を否定するつもりも毛頭ありませんが、例えば線形論理とかなん...]

_かがみ [通りすがりさん、コメントありがとうございます。全然反応になっていませんが、今回の...]

2006年12月29日(金)

仕事おさめ
本日で今年の仕事はおしまいです。会社は午前中掃除して、その後みんなでお菓子を食べて、お昼頃に解散です。年賀状書きがぜんぜん進んでいないことはお約束すぎるのでナイショです。
コメント

2006年12月27日(水)

お正月予定
もうすぐお正月です。お正月と言えば年賀状。ですがまだ書いていません。わわわっ、あの誓いはどうなってるのだろう(笑)。で、昨年というか今年のお正月はうるう秒ということで出勤を余儀なくされましたが、地球さん正確に回って下さい、というお願いが通じたのか、来年はうるう秒なさそうです。十二月三十日に突然方針変更がなければ。たぶん。
なので十二月三十日から一月八日 (成人の日) まで十連休を予定。代休はたくさんあるのです(笑)。
コメント

2006年12月26日(火)

ゲーデルの圧縮レンマ途中経過
$L~$ のことと絶対性等に関して全く分かっていないことが露呈した最近の圧縮レンマ関連の話題ですが、気を取り直して現行調べた途中経過など。
( $V=L~\rightarrow~\mathrm{GCH}~$ について) これに関しては $Y\subset~X\in{L_\alpha}~$ なる $Y~$ に関し $Y\in~L_\beta~$ となる $\beta~$ を正則基数とすれば、 $L_\beta~|=~\text{ZFC}-\text{P}~$ なので、その場合の圧縮レンマの証明は問題ないと思われます。従って $\text{GCH}~$ に関しては、基本的に今までのストーリーで大丈夫そう。
(一般の場合の圧縮レンマについて) Jech本によると次の条件を満たす推移的な集合 $M~$ をadequate と言うらしい。
(1) $M~$ はゲーデル演算(goedel operation)に関して閉じている。
(2) $U\in{M}~$ のとき $\{G_i(x,y)\,:\,x,y\in{U}\}\in{M}~$ ここで $G_i~$ はゲーデル演算。
(3) $\alpha\in{M}~$ のとき $\{L_\xi\,:\,\xi<\alpha\}~\in~M.~$
そして $\alpha~\rightarrow~L_\alpha~$ は adequate な(推移的)集合に関し絶対的。また極限順序数 $\gamma~$ に関し $L_\gamma~$ は adequate. さらに文 $\sigma\in~\mathrm{\Pi}^0_2~$ が存在し
$(\langle~M,\in~\rangle||-\sigma)~~\leftrightarrow~(M=L_\gamma~~~\text{~for~some~limit~ordinal~}\gamma).~$
うーん $\sigma~$ って何だろう。 $\forall{x}\exists{\alpha}(x\in~L_\alpha)~$ のことなのだろうか。いや、そんなに簡単なら本に書いてあるような気が。
これは前回 ( L_αの絶対性(12月22日) ) 誤り (というか全然証明になってないこと) を指摘して頂き、さらに証明の概略を教えて頂いた内容にかなり近いと思われます。Jech本によると上の定理は detailed analysis of absoluteness of $L_\alpha~$ と書いてあり証明略なので、さすがに私の力では無理と思われますが、いずれにしてもゲーデル演算による $L~$ の構成をきちんと勉強し、少なくとも何が問題なのか認識できればと。テキストを読む場合、問題意識を持って読むことの重要性を改めて痛感。前回読んだときはゲーデル演算完全にスルーしていましたし、adequate に関しても、「良くわからん」で飛ばしましたから。
(*) 現在自信喪失状態で limit ordinal $\gamma~$ に対し $L_\gamma~$ で (3) が成り立つことさえ自明なのかどうか不明状態。直感的には自明感強いですが、もしかすると $\alpha<\gamma~$ のとき $\alpha+\omega~\le~\gamma~$ という事実は必要かも。いずれにしてもしばらくは (他のことも勉強しますが) 山ごもりして、お正月終わり頃には進展報告の予定です。紹介して頂いた参考文献 Constructibility, Keith J. Devlin) は今のところ入手困難な感じです。
(後記) さすがに (3) はほぼ自明に成り立ちそうです。
コメント
_i-land [参考文献についてですが，調べてみたところ以下のウェブサイトを通じて 30 US ...]

_かがみ [i-landさんこんにちは。あっ、わざわざ調べて頂きありがとうございます。さっそ...]

2006年12月25日(月)

クリスマス
昨日は野暮用ありて会社だったのですが、おうちに帰ってから鳥とケーキを食べました。モカちゃんが欲張って、写真に写ってる一番大きい鳥を取ったのですが、生焼け状態で一人だけ焼き直して食べるはめになったのは内緒です(^^。

コメント

2006年12月24日(日)

覚え書き
Kunen本での記号等についての覚え書き。
- ZF^-はZFから正則の公理を除いた体系。
- $\mathrm{WF}~$ : 整順な集合からなるクラス。正則の公理の下での $V~$ のこと。
- $R(\alpha)~$ : rank が $\alpha~$ 未満の整順な集合からなる集合。正則の公理の下での $V_\alpha~$ のこと。
- 関係 $R\subset{{V}\times{V}}~$ が集合的等に関しては「推移的崩壊とAFA」参照。
- 関係 $R\subset{A\times{A}~$ がクラス $A~$ で集合的で $x\in{A}~$ のとき
  $\mathrm{pred}(A,x,R)~=~\{y\in{A}~:~R(y,x)\}~$
  $\mathrm{pred}^0(A,x,R)~=~\mathrm{pred}(A,x,R)~~$
  $\mathrm{pred}^{n+1}(A,x,R)~=~\bigcup\{\mathrm{pred}(A,y,R)~~\,:\,~y\in\mathrm{pred}^n(A,x,R)\}~$
  $\mathrm{cl}(A,x,R)~=~\bigcup\{\mathrm{pred}^n(A,x,R)\,:\,~n\in\omega\}~$
  $R~$ として $\in~$ を思い浮かべると分かりやすい。特に $A~$ が推移的なクラスのとき $\mathrm{pred}^{n}(A,x,\in)~=~\bigcup^{n}{x}~$ であり、 $\mathrm{cl}(A,x,\in)~$ は $x~$ の推移的閉包。
コメント

2006年12月23日(土)

再勉強
ゲーデルのLの基本はもちろんのこと、論理式の絶対性に関してもいいかげんな知識というか認識だったので、現在 Kunen本の四章から勉強中です。そもそも二年程前相対化 (relativization) の定義を初めて見たとき、単に束縛の領域を制限するだけなので、特に難しそうに感じなかったのが、何と言うか鈍感というか。
本当はとても難しい概念で、きちんと自分のものにしないと、本を読んでいる分にはともかく、ちょっとしたことでも自分で考えると必ず間違えるのです。
半年くらい前の推移的崩壊から超べきへの流れのときもそうだったのですが、やはり専門家の方のご指摘や面白い話題、それから現在勉強中の方の集合論関連のブログははとてもためになり、その辺りをキーポイントとして勉強を進めると、必ず新しい楽しみが増えることは今までの経験から分かっています。というわけで、集合論雑記の更新はしばらく行わないと思いますが、うーん、どうなんでしょうね。最近内容があっちこっちに飛んでますねえ。まあ自分が好きで書いてるので、その辺はどうでも良いのですが(笑)。
今の知識だとあれです。強制や超べきによる内部モデルの勉強を始めた時から感じてはいたのですが、やはり論理式の解釈がモデルにより変化するというのが面白く、ただし、ちょっとでもいいかげんなことをすると必ず間違えるという。楽しくも厳しい世界であります。
コメント
メタ言語
半月程前のことですが、いつもお世話になっている方のブログのコメントに、まあどうでも良いことを書いたのです。内容は次のような感じ。
なんたらかんたら ← ここまで KAGAMI
で、このコメント欄に書いた内容は即時に反映するのではなく、次回のブログで管理人様がコメント付きで披露して下さる運用なのです。私自身はこの日記でも良く実名を出したりして、名前が出るのは全然問題ないですが、一応意図としては「← ここまで KAGAMI」の部分は署名としてのメタ記述であり、「なんたらかんたら」の部分が掲載されるかなー、と思ってたのです。
ですがそのまま掲載されていました(笑)。
理由を推測すると三つ程考えられます。
1. メタ言語の意図が通じなかった。
2. コメントの内容をそのまま掲載するのが管理人さんのポリシーである。
3. 管理人さんのしゃれである。
おそらく2番がほんとうのところかと思いますが、もしかすると3番かも(笑)。難しいのは、こういう場合、本来の記述とメタ記述を区別する一般的な記法が存在しないわけで、そうはいうものの署名なしでつっこみを書くのは趣旨に反するし、まあ上の場合「← ここまで」というのが掲載時意味不明となるので、次回からは単に「なんたらかんたら (KAGAMI)」と書くようにします(^^。
コメント
_Fu [わー、ごめんなさい。いや、その、勝手に他人のコメントを改変したらまずいかなあ……...]

_Y.Kumagai [か〜なり昔に簡易なスパム対策として件名を「◯◯◯←消さないでください」としていた...]

_かがみ [Fuさんこんばんは。いや、その、全然気にしていないというか、勝手にねたにしてこち...]

_かがみ [Y.Kumagaiさんこんばんは。たしかにこういう場合の記述法は難しいですねえ。...]

2006年12月22日(金)

L_αの絶対性
集合論雑記目次
どうも自分で考えたことはいまいち、というか今日の場合は特に自信なしです。できればつっこみ希望ということで。
(命題)
$\beta,\,\gamma~$ を順序数 $\beta<\gamma~$ とするとき ${L_\beta}^{L^\gamma}~=~L_\beta~$
(証明) での帰納法による。に対しを仮定します。が極限順序数の場合中間の等号は帰納法の仮定、それから合併の絶対性 (これは任意の推移的集合に関して成立) を使用しました。
次に $\beta~=~\alpha~+~1~$ の場合ですが、 ${L_\beta}^{L_\gamma}~$ は $p_1,p_2,\cdots,p_r~\in~L_\alpha~(=~{L_\alpha}^{L_\gamma})~$ に対する $({\varphi^{L_\gamma}})^{L_\alpha}~(x,p_1,p_2,\cdots,p_r)~$ で ${L_\alpha}^{L_\gamma}~$ 定義可能な $L_\gamma~$ の集合からなります。ところで $({\varphi^{L_\gamma}})^{L_\alpha}~(x,p_1,p_2,\cdots,p_r)~$ と ${\varphi^{L_\alpha}}~(x,p_1,p_2,\cdots,p_r)~$ は明らかに同じ論理式なので ( この辺りまで帰納法の仮定による ${L_\alpha}^{L_\gamma}~=~L_\alpha~$ は暗黙に使っています) ${L_\beta}^{L_\gamma}~=~L_\beta.~$
なんか簡単すぎるような。まだ見落としあるのかなあ。というかそもそも根本的に間違えているとか。
(追記) というか上の事実が下の関連項目の $L_\gamma~$ ではなく、 $R~$ で成立しなくては(汗)。上の証明が同様に成立する条件としては...。
1. 順序数が非有界であることが内部で成立する
2. 順序数の上限未満の順序数はすべてその集合の要素
3. $\alpha\in{R}~$ に対し $L_\alpha~\in~R~$
最後の条件は自明ではなさそう。というか循環論法になりそう。いかん、混乱してきた(愚)。あとで。
(あと) 圧縮レンマのところでの $R~$ に対して次の帰納法を考えます。
$\alpha,\beta\in{R}\,\alpha<\beta~$ に対して $L_\alpha~\in~{R}~\wedge~L_\alpha^R~=~L_\alpha~$
すると上の論法でをに置き換えたものが成立しそう。えーっと、上で定義可能な要素全体の集合が再びの要素になる事実も使用します。それがないと、例えばがある順序数未満の集合の場合を排除出来ません。これは初等性と推移的崩壊の性質から導かれます。たぶん。どうなのだろう？
(関連項目) 2006年12月15日ゲーデルの圧縮レンマ
(追記) コメント欄でi-landさんに指摘して頂いたように、上記は一番肝心な部分をスルーしています。全く証明になっておりません。一度基本に戻りもう一度出直します。

コメント
_i-land [まず，constructible hierarchy (この場合 $\\{ L_...]

_かがみ [こんにちは。ご指摘されると本文の「証明」は全然だめです。正直簡単 (安易) すぎ...]

2006年12月19日(火)

17という数
一般に大学以上の数学の書籍や論文には 0, 1, 2, 3 以外の具体的な自然数が現れることはそれほど多くないのです。ある意味「ひとーつ、ふたーつ、みっつ、たくさーん、とってもたくさーん」の世界です(笑)。
ところがその中で 17だけは特異な地位を占めているような感じがします。
1. 最初の自明でない定規とコンパスで作図可能な素数正多角形。
2. ゲーデルが定義した最初の自由変数のゲーデル番号。対角化定理の証明で「17」に対する「代入」が行われる。
3. コーヘン本の強制法で論理式の三変数ランクを定義するが、証明の途中でその三番目の引数が偶然 17となる。
4. 米国の徳用サイズガムに入ってる枚数。
神秘数です(笑)。
コメント
_はやし [いや、ほんと、何で17枚なのか、いまだよく分からずにおります。]

_かがみ [というか徳用でないサイズは五枚入りとか。それはないですよね(笑)。それともライバ...]

_通りすがり [5.雑誌の名前「セブンティーン」（ｗ]

2006年12月18日(月)

明日から出張
明日から二泊三日で出張です。
コメント
なんとなく到達不可能
昨日のダイアモンド原理の証明を眺めていて、なんとなく $L~$ での $\omega_1~$ (最小の非可算基数) が到達不可能であるような感覚に陥ったのはどうしてだろう。やはりそれなり認識しやすいと思われる可算の世界から見るととても大きく見えるのでしょうか？
コメント

2006年12月17日(日)

Lとダイアモンド
集合論雑記目次
えーっと諸般の事情にて $L~$ に Suslin直線が存在する(not SHと称する)ことを調べていて、現在頭の中が爆発中なのですが、副産物として $L~$ で $\Diamond~$ 原理が成立する証明を読んだので、本日はそちらの紹介です。この証明にもゲーデルの圧縮レンマを使います。というかコーヘン強制法の紹介といいつつ、ゲーデルの $L~$ がらみの話ばかりになっているのはご容赦の程を。
( $\Diamond~$ 原理)
$(A_\alpha)_{\alpha<\omega_1}~$ が存在し次の条件を満たす。
(1) $A_\alpha~\subset~\alpha~$
(2) 任意の $A\subset{\omega_1}~$ に対し $\{\alpha<\omega_1\,:\,A\cap\alpha~=~A_\alpha\}~$ は $\omega_1~$ の定常集合
$(A_\alpha)_{\alpha<\omega_1}~$ を $\Diamond~$ 列と呼びます。
(定理)
$V=L~\rightarrow~\Diamond~$ 原理が成り立つ
以降 $V=L~$ を仮定し、さらに $L~$ 上に整列順序が存在することは既知とし、その順序を $<_L~$ と表すことにします。
(補題)
$\langle~M,\in~\rangle~\prec~\langle~L_{\omega_2},\in~\rangle~$ を可算な初等的部分構造とするとき $M\cap\omega_1~$ は可算順序数。
(証明) 例えば $\varphi(x)~$ を「 $x~$ は最小の非可算順序数」という論理式とすると $\exists{x}(\varphi(x))^{L_{\omega_2}}~$ が成り立ち初等性により $\exists{x}(\varphi(x))^M.~$ $\gamma\in{M}~$ を $\varphi(\gamma)^M~$ を満たす対象とすると、再び初等性により $\varphi(\gamma)^{L_{\omega_2}}~$ が成立するので $\gamma=\omega_1.~$ 従って $\omega_1~\in~M~$ が成り立ちます。同様に $\omega\in{M},\,~\omega\subset{M}~$ も成立します。今 $\alpha\in{M},\,\alpha<\omega_{1}~$ とすると $M|=\alpha\text{~is~countable}.~$ が成り立ち、 $f:\,\omega~\rightarrow~\alpha,\,f\in{M}~$ を全射とすると $f~$ は $L_{\omega_2}~$ でも全射。従って $L~$ で全射。さらに $\omega\subset{M}~$ だったので $n\in{\omega}~$ に対し $f(n)\in{M}~$ が成立し $\alpha\subset{M}.~$ つまり $\beta\in\alpha\in{M\cap\omega_1}~$ のとき $\beta\in{M\cap\omega_1}~$ が言えるので $M\cap\omega_1~$ は可算順序数。
(定理の証明) $\alpha<\omega_{1}~$ に対し次の性質を満たす列 $\langle~A_{\alpha},C_{\alpha}~\rangle~$ を定義します。
(1) $A_\alpha\subset\alpha,~~C_\alpha\subset\alpha~$
(2) $C_\alpha~$ は $\alpha~$ で閉非有界で $\forall{\xi~\in~C_\alpha}~~(A_\alpha~\cap~\xi~\neq~A_\xi).~$
(3) ただし (2) の条件を満たす $A_\alpha,C_\alpha~$ が存在しない場合 $A_\alpha~=~C_\alpha~=~\alpha~$
(4) $\langle~A_\alpha,C_\alpha~\rangle~$ は (1) (2) (3) を満たす $<_L~$ に関する最小の要素。
すると $(A_\alpha)_{\alpha<\omega_1}~$ が $\Diamond~$ 列となります。仮にこの事実が成立しないと仮定すると次の条件を満たす $X\subset\omega_1,C\subset\omega_1~$ が存在します。
(5) $C~$ は $\omega_1~$ で非有界で $\forall{\xi\in{C}}(X~\cap~\xi~\neq~A_\xi)~$
(6) $\langle~X,C~\rangle~$ は (5) を満たす $<_{L}~$ 最小要素。
任意の $\alpha~\in~C~$ に対し $\langle~X\cap\alpha,~C\cap\alpha~\rangle~$ が (2) の条件を満たすことはすぐに分かります。さらに $\{\langle~A_\alpha,C_\alpha~\rangle~\,:\,{\alpha<\omega_1}\}~$ と $\langle~X,C~\rangle~$ が $L_{\omega_2}~$ の要素となることもすぐに分かります。 $M~$ を $L_{\omega_2}~$ の可算初等的部分構造とします。補題と同じ論法 (一意性に $<_L~$ 最小であることを使う) により $\{\langle~A_\alpha,C_\alpha~\rangle~\,:\,{\alpha<\omega_1}\}~$ と $\langle~X,C~\rangle~$ は $M~$ の要素となることも分かります。さらに補題により $M\cap\omega_1~=~\rho~$ は (本当の) 順序数となります。そして $\pi:~M~\rightarrow~L_\gamma~$ を推移的崩壊とすると
$\pi(\omega_1)~=~\rho~$
$\pi(\{\langle~A_\alpha,C_\alpha~\rangle~\,:\,{\alpha<\omega_1}\})~~=\{\langle~A_\alpha,C_\alpha~\rangle~\,:\,{\alpha<\rho}\}~$
$\pi(\langle~X,C~\rangle)~=~\langle~X\cap\rho,C\cap\rho~\rangle~$
が成立します (推移的崩壊の定義をごちゃごちゃすれば良いです)。 $\rho~$ は本当は可算ですが「 $L_\gamma~$ の中」では最小の非可算基数です。あっ、なんというか、 $<_L~$ に関してではありませんが、下降帰納法っぽくなってきました。
今までの作り方から $\langle~X\cap\rho,~C\cap\rho~\rangle~$ は (5) (6) の $\omega_1~$ を $\rho~$ に置き換えたものを $L_\gamma~$ で満たすことになります。
(5') $C\cap\rho~$ は $\rho~$ で非有界で $\forall{\xi\in{C\cap\rho}}((X\cap\rho)~\cap~\xi~\neq~A_\xi)~$
(6') $\langle~X,C~\rangle~$ は (5') を満たす $<_{L}~$ 最小要素。
ところで $\rho~$ の部分集合は「本当の」 ( $L~$ での) 部分集合であることは明らかで、閉非有界性に関しても「本当に成り立つ」ことは容易に分かります。従って(5')(6')は $L~$ で成り立ちます。よって (2) から $X\cap\rho~=~A_\rho.~$ ところが $C\cap\rho~$ は $\rho~$ で非有界で、 $C~$ は閉じているので $\rho\in{C}.~$ これは(5)に反します。
本日は補題の部分はKunen本、証明の部分はJech本からのほとんどコピーになってしまいました。
(参考文献) Kenneth Kunen 著 Set Theory Thomas J. Jech 著 Set Theory
(関連項目) 2006年12月15日ゲーデルの圧縮レンマ
コメント

2006年12月16日(土)

グーグルの集合論検索
先日おうちの集合論雑記がグーグルから抹消されたことを書きましたが、これはグーグル八分というより、ポリシーに変更があり、それが大失敗したものと思われるのです。
グーグルでの「集合論」検索
最初の Wikipedia はともかくとして、二番目と三番目は間違いなく「ト」系です。さらに面白いのは、検索ページの下の方に、「数学集合論」なるサブカテゴリーみたいなのが選べるようになり、おお、堂々の第一位は (区) です(笑)。さすがです！地力があります！！というか、このポリシー変更って、集合論を「学問」として扱っているページなり書籍を集め、ブログや日記系を抹消というか無視しようとする意図が感じられます。そして大失敗している。おうちの内容に関し、集合論がらみでは絶対に検索させないという決意さえ感じます。
まあ、ちゃんと分かった段階で書いているつもりですが、どうしても本の内容そのまんまに近い記述が多いことは事実なので、どこかからクレームが入ったのかも知れませんが、「日記やブログ系の集合論 (学問) →トンデモ→排除」という短絡的なポリシーを採用した可能性の方が高いです。他の分野はどうなっているのでしょうか。
しかし、改めて眺めると、いやはや「ト」までは行かないとしても、間違ってるかもしくはほとんど分かってない記述の多いこと多いこと。まあ私自身ほとんど分かっていないのは認めざるをえませんし、分からないことが悪いわけではないのですが、それにしても...。
というわけで、グーグルの検索に関し、おうちはしばらく、もしくは永遠に浮かび上がりそうにありませんが、幸いそれなりリンクを頂いているので、特にアクセス数が減っているということはありません。

コメント
_通りすがり [いや、実はネットでは勉強家よりトンデモ探索家のほうが多いんですよ（ｗ]

_かがみ [通りすがりさん、こんにちは。トンデモ探索は私も嫌いではないのですが、それにしても...]

_通りすがり [ためしに「相対論」でググると・・・２、３番目がwikipedia１、４番目はまと...]

2006年12月15日(金)

久々のお休み
とりあえず仕事は一段落。とりあえずですが。なので明日と明後日は三週間ぶりのお休みです。

コメント
ゲーデルの圧縮レンマ
集合論雑記目次
コーヘン本の $V=L~\rightarrow~\mathrm{GCH}~$ のことを書いていたら、今までいまいち良くわからなかった Kunen本に書いてあるゲーデルの圧縮レンマの証明の真意が分かった気がするので、自分のメモも兼ねて。
(ゲーデルの圧縮レンマ)
$\alpha~$ を極限順序数とし、集合 $M~$ が $\langle~M,\in~\rangle~\prec~\langle~L_\alpha,\in~\rangle~$ を満たすとき $M~$ の推移的崩壊は $L_\gamma~$ ( $\gamma~$ は極限順序数)となる。
(証明) 次の論理式 $\varphi~$ を考えます。
$\forall{x}\exists{\beta}(x\in{L_\beta})~$
$\alpha~$ は極限順序数なので $\langle~L_\alpha,\in~\rangle~|=~\varphi.~$ 初等性により $\langle~M,\in~\rangle~|=~\varphi.~$ $M~$ は推移的崩壊の条件を満たすので、その推移的崩壊を $R~$ とすると、もちろん $\langle~R,\in~\rangle~|=~\varphi.~$ ところが $R~$ の推移性と $\beta~\rightarrow~L_\beta~$ の絶対性により、 $\gamma~$ を $R~$ の順序数の上限とすると $R=L_\gamma.~$
というか今まで良くわからないで半年以上悩んでいたのがあれなんですが、まあ結果的に分かれば良いということで(笑)。この辺り突然直感的につかめるようになったのは、正直「記述不可能性」の勉強をしたのがかなり効いていると思います。
(参考文献) Kenneth Kunen 著 Set Theory
(関連項目) コーヘンオリジナル強制法(二回目)
(追記 2006年12月18日) i-land さんからご指摘があり、上の証明で $\beta~\rightarrow~L_{\beta}~$ の絶対性に関しては自明ではありません。定理の結論自体は合っていると思いますが、さらに詳細な分析が必要そうです。しばらく時間がかかるかも知れませんが、後できちんとした証明に修正したいと考えています。とりあえず $\alpha~$ が正則基数の場合は大丈夫そうです。

コメント
_i-land [初めまして。オランダで集合論を専門に勉強している学生です。くるるさんの webs...]

_かがみ [始めまして。お名前は何度か拝見したことがあります。誤りをご指摘頂きありがとうござ...]

_i-land [お早い response ありがとうございます。主張自体は合っているのでご安心く...]

2006年12月14日(木)

つくば出張
今日はつくば出張です。
コメント

2006年12月13日(水)

コーヘンオリジナル強制法(二回目)
集合論雑記目次
今日は枕ということと、これと類似の証明は強制の方でも必要になるので、 $V=L~$ の仮定の下で一般連続体仮説が成立することが、コーヘン本でどのように証明されているかの雰囲気を紹介します。かなり翻訳しているので、間違いがあれば、それはすべて私自身の責任です。まず次の事実は既知とします。
(スコーレムの定理)
$\varphi~$ を論理式 $M~$ を無限集合とする。このとき $M\subset{N},\,|N|=|M|~$ を満たす集合 $N~$ が存在し $\varphi^N~\leftrightarrow~\varphi~$ が成立する。
(絶対性)
関数 $\alpha~\rightarrow~L_{\alpha}~$ は $\Delta_1~$ 関数である。従って任意の推移的な集合に関し絶対的である(←これは私の誤りと思われます)。
( $V=L~$ のとき一般連続体仮説が成立することの証明) $X\in{L_{\alph}},~Y\subset{X}~$ のとき $Y\in{L_{\gamma}}~$ を満たす $\gamma~$ で $|\gamma|=|\alpha|~$ となるものが存在することを示せば十分です。まず $Y\in{L_\beta}~$ を満たす $\beta~$ が存在することは明らかです。今のところ $\beta~$ は $\alpha~$ よりはるかに大きくなる可能性があります。
ここで集合 $S=L_{\alpha}~\cup~\{\beta\}~\cup~\{L_\beta\}~\cup~\{Y\}~$ を考えます。そして「 $L_\beta~$ を周知の方法で構成する超限帰納の手順が存在し、その $\beta~$ 番目の値が丁度 $L_\beta~$ である」こと(この事実を $\beta~$ は $L_\beta~$ を構成するということとする) を主張する論理式と外延性の公理の合接を $\varphi~$ とします。もちろん $\varphi~$ は $V(=L)~$ で真となります。
従って $S\subset{T},\,|T|=|S|~$ を満たす集合 $T~$ が存在し $T|=\varphi~$ が成り立ちます。ところが $T~$ は外延的(になるように作った)なので推移的崩壊 $\pi:\,T~\rightarrow~R~$ を考えることが可能です。このとき $L_\alpha~$ はすでに推移的なので $\pi(L_\alpha)=L_\alpha~$ が成り立ち $Y~\subset~X~\subset~L_\alpha~$ なので $\pi(Y)=Y.~$ $\gamma=\pi(\beta)~$ とおくと関数 $\alpha~\rightarrow~L_{\alpha}~$ の絶対性と $R~$ の作り方から $R~$ で $\gamma~$ 番目に構成された集合は「本当の」 $L_\gamma.~$ 従って $Y\in{L_\gamma}.~$ そして $R~$ の推移性により $|\gamma|\le~|R|~=~|S|~=~|L_\alpha|~=~|\alpha|.~$
本来の圧縮レンマほど一般的ではありませんが、直感的にとても見通しが良い証明だと思います。もちろん $T~$ の中での $\beta~$ による $L_{\beta}~$ の構成は論理的には成立していますが、中身はすかすかです。それを押しつぶして $R~$ を作るとすかすかがびっしり詰まって $\gamma~$ という小さい容器に収まるようになるわけです。
全然関係ない話ですが、グーグルの集合論関連検索で、おうちが全然出なくなりました。もしかしてこれってグーグル八分？特に心当たりありませんが、どうしたのでしょうか。
(参考文献) コーヘン「連続体仮説」
(関連項目) コーヘンオリジナル強制法(一回目)
(追記 2006年12月18日) 上の $\alpha~\rightarrow~L_{\alpha}~$ の絶対性は結果としては正しいかも知れませんが、「推移的集合に対し成立」という部分は誤りと思われます。後で修正致します。
コメント

2006年12月12日(火)

祝・PowerBook購入二周年
実はちょっと時期が過ぎてしまったのですが、いま使っているPowerBookを購入して丁度二周年経過しました。頑張ってます！！まだまだ使えそうです。なんというか、これを購入して、開発の道具としてではなく、普段の実用に耐えるというか、便利な道具としてのコンンピューターの存在を知りました。まだまだ現役で頑張ってもらうつもりです。最低後一年。たぶん。
(関連項目) 始めての PowerBook

コメント
コーヘンオリジナル強制法(一回目)
集合論雑記目次
先日予告した通り、コーヘン (P.Cohen) の「連続体仮説」日本語訳ををたね本として、オリジナルに近い強制法について楽しむ企画の一回目です。今日は書籍の内容のおおざっぱな概要を紹介します。最初に「連続体仮説」の章立て。
- 第1章論理学に置ける一般的考察
- 第2章 Zermelo-Fraenkel の集合論
- 第3章連続体仮説と選択公理の整合性
- 第4章連続体仮説と選択公理の独立性
第1章ではまず形式言語とモデルの定義を行い、完全性定理の証明が行われます。完全性定理の証明はゲーデル流ではなく、Henkin の方法を採用しているようです。次に後で重要な役割を果たすスコーレムの定理が証明されます。その後、理論の実例として Z₁という自然数の体系、 Z₂ という有限集合の体系を考察し、二つの体系の同値性が証明されます。そして原始帰納的関数、一般帰納的関数が定義され、さらにテューリングマシンの定義も行われます。関係ない話で恐縮ですが、テューリングマシンに関して、私は一生理解出来ないと思います。これだけは勘弁して下さい。苦手です。
その後帰納的関数の理論を使用し Z₁もしくは Z₂における不完全性定理の証明が行われます。この部分は正直真面目に読んでいません。はい。真面目に読むとここだけでもかなり読み応えがありそうです。面白そうなのは超自然数の体系で加法、乗法双方が帰納的になることはありえないことの証明が記載されていることで、この部分に関しては後できちんと読んでみたいと考えています。
第2章は集合論の紹介ですが、予備知識なしで理解するのは難しいと思います。というか、特に難しいことが書いてある訳ではないのですが、非常に簡潔なので。順序数と基数、正則性に関することが主題であると思われます。さらにスコーレムの定理の再考が行われ、有限個の公理に対する可算モデルの存在が証明されます。
第3章はゲーデルのLの定義と、V=Lが連続体仮説と選択公理を導くことの証明です。他の章もそうですが、この章は特に分かりやすく、現在でもLの分かりやすい入門としての価値を失っていないと思います。特に連続体仮説の整合性の証明における、ゲーデルの圧縮レンマに対応する部分は直感的でとても分かりやすく記述されます。次回はこの証明の紹介から始めたいと考えています。
第4章はいよいよ本願の強制法です。やはりコーエン程の天才でも、いや、天才だからこそと思いますが、先人、特にゲーデルの業績を縦横無尽に駆使し、天才の一撃とも言える強制概念により、「一般(Generic)」(構成的にならない) 集合を付加した集合のユニヴァースを見事に構成するのです。あっ、まだ半分くらいしか読んでないのでほんとはあれなんですが、今は、まあそんな感じということで。正直この章は、後に整理された強制法の知識がないとかなり難解であると思われます。目標としては、コーヘンの強制法の紹介を行いながら、現代的に整理された強制との関連をおしゃべりできたら良いなと考えています。
全体的に、やはり天才の著作と言うか、一気に本質にせまり、さらにその本質を平易に説明している、歴史的に絶対なくしてはならない著作だと思います。このような著作の版権を持ちながら、絶版状態にするのは犯罪に近い行為だと個人的には思います。
それでは次回は枕ということで、Lで連続体仮説が成立することの証明の概略について記載します。
コメント

2006年12月11日(月)

強制法入門ちょっと変更
集合論雑記の方にも記載しましたが、強制法入門の Generic拡大の基本定理の部分に証明をつけました。論理的には全部内部 Generic名称で押し通したので、この部分はおまけなのですが、やはり証明がないとかっこわるいということで。
というか、証明をつけられなかったのには理由があって、参考にした Kunen本には、割と最初の方に証明が書いてあるのですが、おそらく強制に関する諸定理を証明する前だからだと思うのですが、非常に煩雑な証明方法なのです。特に等号に関する部分は「等号の定義」に戻ってて、実は半順序を使った強制法での等号の定義はかなり面倒なのです。で、理由は良くわからないのですが、半年前は簡単な証明を思いつかず、そのまま放置していたのですが、なぜか今日の帰りの電車(こればっかですな)の中で考えたら出来たと思われるのです。本文で言うと12 ページの最初の部分です。なんか都合が良すぎる感じもしないではなく、うーん、間違えてないと良いのですが。というかどうしてこんな簡単なこと半年前に分かんなかったのだろう。もしかしてコーヘン本読み始めたからできたのでしょうか？でも全然関係がない場所ですし。謎ですな。
というわけで、ヴァージョンを1.1に上げてファイル名も forcing-1.1.pdf に変更しました。検索の関係で古いファイル名(forcing-1.0.pdf)でアクセスされるお客様もいらっしゃるようなので、古い方のファイル名にシンボリックリンクも張っておきました。
コメント

2006年12月10日(日)

予告というか予定
実は昨日今日とまたまた会社なのですが、それはおいといて、「コーヘン本の強制法をみんなで楽しみましょう」の企画を考えています。みんなで楽しむと言っても、私がまあ著作権なんたらに抵触しないと思われる程度にオリジナルに近い強制法について書いて、つっこみがあればうれしいな、というものです。
ですが、最近の仕事の量を考えると、なかなか時間が取れないというのが現状で、おそらく開始するのはお正月になると思います。さらに「あくまで予定」ですので、最初の方はなんとか大丈夫だと思うのですが、途中で挫折したらごめんなさい。
(おまけ) 今年は元旦に届くように年賀状を書くこと(笑)。
コメント

2006年12月8日(金)

LaTeXiT
先日LaTeXで書いた数式をPDF化したものを OmniGraffle に張り付けているという話を書きましたが、うれしいことに Sさんからつっこみがありました。なにやら LaTeXiT なるプログラムがあり、LaTeXのちょっとしたフロントエンドらしいのですが、ちょこちょこっと数式を書いたのをその場で画像にすることができ、それをドラッグすると OmniGraffleにくっつくそうなのです。
http://macwiki.sourceforge.jp/cgi-bin/wiki.cgi?LaTeXiT
http://ktd.club.fr/programmation/latexit_en.php
スクリーンショットの左側が LaTeXiT の画面で、下に入れた数式コマンドが、上の方に画像化されています。でもってこの画像を、えいや！っとドラッグして右の OmniGraffleに持って行くと、たしかにくっつきます(^^。これは便利です。さらに驚くべきことに、OmniGraffle側の画像をダブルクリックすることにより、LaTeXiT が起動し、編集し直すことも可能なのです。編集結果は直ちに張り付けた側に反映します。なにやらアプリケーションの関連づけが行われているようです。
LaTeXiTのプリアンブルはデフォルトのものが記述されているのですが、環境や好みに合わせ、この部分は変更することが可能です。今のところ日本語に関しては化けてしまうようですが、用途からしてたいした問題ではありません。それにしても世の中便利なものを考え、さらに実装する人がいるものです。お忙しいところ教えて頂きありがとうございます(^^。
コメント

2006年12月7日(木)

自宅回線不調
昨日から今朝まで会社で仕事していたのですが、夜の十時頃突然自宅サーバーに入れなくなりました。ADSLモデム件ルーターは ping に反応するようなので、外の世界のトラブルではなさそうです。
むむむっ、これはまた自宅サーバーが壊れてしまった？とても面倒、と思いつつ、おうちに電話して奥さまに調査依頼です。幸いサーバー(FreeBSD/X24) は無事なようで、せっかくなので ADSLモデムに ping を投げてもらったところ、ごくまれにしか応答がないとのこと。さらにモカちゃんの話によると、おとといあたりからネットワークの調子が良くなく、ネットワークのケーブルを「むにむに」してたということなのです。
うーん、これはサーバーのネットワークポート、配線、ハブ、ADSLモデム等色々不調の原因が考えられ、自宅に帰らないと切り分けは無理です。さらに、サーバーや ADSLモデムの不調の場合非常に面倒なことになります。
仕方ないので、朝まで evariste.jp のホストをレンタルサーバーへ向け、仕事を再開です。ところがまれに自宅の外に出れるパケットがあるらしく、一時間くらいすると、evariste.jp が自宅に戻ってしまうのです(笑)。そんなこんなで朝帰りしたところ、右上図(R30はすでにお亡くなりですが)の ADSLモデムとご家族様 PC に繋がってるハブのランプが激しく点滅していました。このハブが壊れたようです。まあハブ一個ですむならば一安心です。ただし朝帰りでまた買いに行く気力もないので、現在サーバー側のハブから出ているアップリンク用のケーブルを直接 ADSLモデムに接続しています。なので、ご家族様 PC はネットワークへ接続出来ない状況ですが、まあいいや(笑)。明日あたり適当なのを買ってくる予定です。
(関連項目) さよなら R30 こんにちは X24

コメント

2006年12月6日(水)

不条理、逆理、矛盾
人生には色々な苦悩がつきものですが、なんといっても一番不条理を感じるのは「自分の眼鏡が行方不明になり探さなければいけない」という状態です。本を読みながらそのまま寝てしまい、翌朝目をさますと大体こういう状況に陥ります。
これほんとに不愉快です。そもそも私の視力は0.01位で、眼鏡が無い状態ではごく近傍のもの以外はほとんど認識不可能です。
良く見えるときは探す必要がないが、見えないときには探す必要がある。
不条理というか完全な矛盾です。ラッセルやゲーデルもびっくりの「めがねの逆理、もしくはめがねの不完全性定理」が証明出来そうです。そういえばゲーデルはかなり度が強そうな眼鏡かけてる。もしかして上の矛盾した状況に関する深い数学的洞察により不完全性定理を証明したのかも知れません(ト)。
というわけで眼鏡を探す状況に比べれば、「メガネをかけたまま顔を洗ってしまった」ことなんて、どうってことないです(笑)。
コメント
_はやし [いやどうってこと大ありですよ！]

_かがみ [どうってことありですか。それは失礼しました。あっ、でも、メガネの表のレンズは奇麗...]

2006年12月5日(火)

お祝い事
いつも一緒に鴨南蛮を食べに行く、会社のHさんがご結婚されました。写真は社長からの贈り物のお花です。おめでとうございます。

コメント
_H [花についているタグを見ますと、10度以上の環境におくべし、とあります。最近寒くて...]

_かがみ [こんにちは。どうもおめてとうとざいます。お花ですが、コンピューター暖房というか、...]

2006年12月4日(月)

自由変数って
述語論理やモデル理論を勉強すると、必ず自由変数と称するものが出てきます。で、最近というか昔から思っていることは、私は自由変数というものが何なのかわかってないのではないかということなのです。
例えば「 $\forall{x}\varphi(x)~\rightarrow~\varphi(t)~$ 」が公理で「 $|-\varphi(x)~$ のとき $|-\forall{x}\varphi(x)~$ 」が推論規則という違いは分からないでもないし、第二の推論規則を公理にしたらまずいことも分かるのですが、なんとなくうーん、という感じなのです。いや、良くわからないけど慣れてしまい違和感無く使用している概念も沢山あるのですが、自由変数に関しては特にしっくりしません。どうせ最後は束縛されるのだから、いっそなくても良さそうな気もしないではないのですが、「ただ一つの自由変数からなる論理式の列 $(\varphi_n(x))~$ 」を考える推論等色々あるので、ないと困りそうです。
というか論理学の基本やモデル理論、あと不完全性定理関連明らかに勉強不足。もちろん集合論方面の具体的な理論の方に興味があるというのが一番で、関連が深いとはいえ、他の方面に手を出す能力も時間もないという面もありますが、やはりここは少し勉強した方が良いかなとも考えています。
で、これからの集合論雑記の予定ですが、「記述不可能性」に関するいくつかの結果を証明抜きで記載し、その後、「コーヘン連続体仮説」からオリジナルの強制法に関しての話題を書きたいと考えています。その間に、識別不可能性関連のねたを仕込む予定。ただしまだ真面目に読んでないので、最初っから全然分からなかったらごめんなさいということで(笑)。
コメント

2006年12月3日(日)

仕事
昨日今日と会社で仕事してます。
コメント

2006年12月1日(金)

木構造の一般向け説明
えーっと、一般の人に木構造の説明をすることになりそうなのですが、さすがに
半順序構造 $\langle~T,~\le~\rangle~$ で任意の $x\in{T}~$ に対し $\{y\in{T}\,:\,~y<x~\}~$ が整列順序集合
というのはまずそうです。あっ、どうせ有限の場合しか扱わないので、整列順序の部分は全順序でも良いのですが、どちらにしろこういう形式化は却下です。つか、目立たない場所に書いとくつもりですが。なので一大決心し苦手な図を書きました(笑)。

というか、こういう絵を書くのはとても簡単で、 OmniGraffle のアウトライン機能を使用し、右のスクリーンショットの左側のごとく、インデントで木構造を表現すれば勝手に右側の図に反映されると言う。ほんとらくちんです。まあ LaTeX と OmniGraffle のみですべてのドキュメントを作っている身としては、たまに OmniGraffle の宣伝をしたいとうのが本音です。万が一なくなってしまったら大変な損失ですから。
余談ですが OmniGraffle の図中に数式入れたい場合、LaTeX で数式を記述し、それをちっちゃい PDF にしたものをはめこんでいるのです。さらにその (OmniGraffleの) 出力を LaTeX に埋め込むことが多いという。いったいなにをやっているのだか(笑)。
コメント

2004年7月6日から 18346 アクセス

2006年11月 2007年1月更新履歴と日記の先頭に戻る日記の目次
 集合論雑記目次
 はてなリング数学の輪
 トップページに戻る谷山浩子さんのページ