2007年1月

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2007年1月31日(水)

惨劇
昨日までつくば出張でしたが、そこで大変な惨劇が起きたのです。お客さまのところには休憩室のような部屋があり、ソファーや自動販売機が置いてあり、到着が少々早かったので、そこでお茶を買ってのんびり飲んでたのです。ところでお茶を飲むと大をしたくなる場合が多いというのは、人類普遍の原理と思われます。なので、大をしに行ったのですが、そのときコートのポケットに半分以上残っているお茶を入れてったのです。
で、コートを着た状態で大を行う場合、これも人類普遍の原理ですが、惨状を避けるためコートをたくしあげる行為を行います。そのときですよ！そのとき

お茶がつぼに落ちました(笑)

あわわわっ、お茶で良かった。いや！それよりなんとかしなければ。いくらなんでも放置したままというわけには行きません。仕方がないので、手を入れて、取り出し、紙で拭いて、さらに中身を捨てて (これは小と似たような物なので問題なさそう) それなり証拠隠滅を行い近くのゴミ箱に入れときました(殴)。それにしても自分の家で何らかの事故が発生し手を入れるのはそれほど不快ではないのですが、公共の場所のはやはりやなものです。
おうちに帰ってから奥さまに話したところ、「洗ったのを捨てないで飲めば良かったのに」というつっこみが入りましたが、いやはやさすがにそれはご勘弁を(^^。
(追記) お茶がどぼんしたのは、事前なのか事後なのかというつっこみが多数ありましたのでお答えします。事前です。いや、ほんと事後だったら大変過ぎますよ(笑)。
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2007年1月29日(月)

出張
今日から明日にかけて恒例のつくば出張です。
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黒マックバックアップ作戦
ノートPCに限りませんが、それなり重要なデーターが入ってるPCのバックアップはまじめに考える必要があります。で、私の場合、今まで突然ハードディスクが壊れてしまった経験がなく、壊れる場合もそれなり予兆があったので、なくすと困るデーターを紛失したことは一度もないのです。そうは言うものの油断していると今度こそ痛い目に合うかも知れません。
今まではそれなり大きいファイルを含むディレクトリーは、夜中に tar で固めて自宅サーバーへ転送、明らかにテキスト系 (.c .h .cc .hh .sh .tex .html 等) のファイルはこれまた定期的に tar で固めてレンタルサーバーへ転送していたのです。この方法は何も考えずにそれなりの安全性が保証されるという点で悪くはないのですが、いくつか欠点もあります。
- tar で固めるのと転送にかなり時間がかかる。自動なので特に問題はないのですが、出張にで泊まりなどの時、tar で固めるところまで行ったのに肝心の転送ができない、というみっともないことが発生したりするのです。
- 夜中にスケデュールを組むので PC を 24時間つけっぱなしにする必要がある。出来れば新しい MacBook は少し休ませてあげたい。
- /home/kagami/ 以下全部バックアップするわけでないので、もれが発生する可能性がある。
- 画像ファイル (特に貴重なものを除く)、音楽ファイルなどはバックアップの対象になってないが、やはりなくすと後が面倒そう。
そこで別の方法を検討してみたのですが、考えてみるとおうちには 40G の2.5 インチUSB外付けハードディスクがあります。実を言いますと、この外付け箱はいまいち PowerBook と相性が悪く、USBハブを経由しても、まれに固まることがあったのですが、MacBookとは相性が良いです。どこが違うのでしょうか？とにかくこれを利用することにしました。現在 /home/kagami/ 以下の容量は 11G バイト位で、その 6割程度が音楽ファイルという状況です。外付けハードディスクの容量に関して、当面は全く心配ありません。一週間に一度程度のバックアップを行うつもりですが、毎回全部バックアップするのも面倒です。そこで、使ったことがなくいまいち自信がなかったのですが、rsync を利用することにしました。使い方面倒なのかな〜、と思って man で調べたりWeb 上で実例を参照したりしたところ、実際にはとても簡単に利用できそうです。
(手順書)
1. USBハードディスを刺す。
2. 次のコマンドを記述したシェルファイルを実行する。なんか Mac OS が私を所有者としないファイルを作る場合もあるので、root で実行しないとまずそう。
```
#!/bin/sh
RSYNC='rsync -av --delete'
$RSYNC /home/kagami/ /Volumes/KAGAMI-Hiromichi/kagami
```
  /Volumes/KAGAMI-Hiromichi/ は刺したときに自動マウントされるハードディスクのマウントポイントです。
3. USBハードディスクを抜く。
あれま！簡単に出来ました(笑)。最初は三十分近くかかりましたが、二回目以降は差分のみですので、ファイル検索のみの時間で大丈夫です。これならずぼらは私でも一週間に一同程度は出来そうです。自分の環境がすべて保存されるのがなかなか宜しいのです。
その他、毎日バックアップしたい重要なファイル群として .c .h .cc .hh .sh .outliner .graffle .php .awk .cgi Makefile .tex .html あたりが考えられるのですが、こちらは find で検索し tar で固めればたいした容量はなさそうなので、昼間にでもレンタルサーバーへ送ることにしましょうか。それとも USB メモリーでも良いかな。
いずれにしても、この運用にて MacBook 君は夜中に眠れることになります。ヒンジの関係でふたをするべきかどうかが最大の悩みどころです(^^。
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2007年1月28日(日)

そろそろDevlin本
実はまだ Kunen本の iterated forcing の途中なのですが、いつまで読み始めないのも良くないので、並行して DevlinのConstructivility を読み始めようかと思います。で、リンク先は Amazon ですが、 ちゃんと勉強する目的で購入される場合 、リンク先のコメント欄を参考にした方が良いです。というか貴重な文献ですので、興味があり、さらに今後それなり長く集合論とかかわりを持つ可能性がある方は、無理してでも買ってしまった方が良いのでは。
ただし、普段からこの日記を読んで下さっている方で、私の知り合いの方には無関係な話ですが、絶対に転売目的で購入したりしないように。まあもうからないと思いますが(笑)。
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2007年1月27日(土)

イーサネットげた
この前まで使っていた PowerBook ですが、キーボードは一つなくなり、ハードディスクは不調、さらいお客さまのところでのネットワークテストでイーサネットケーブルを入れ替えさし替えしてたら、中のつめが取れてしまったのです。なのでケーブルをさすことは可能ですが、さしてもゆるゆるなのです。特に実害があるわけでもないのですが、極めて不愉快です。そうはいうものの、私物 PC を業務で使用する宿命で、誰にも文句は言えません。
ところで、新しい黒マック (MacBook) で上記のような事態に陥ることはぜひ避けたいものです。そこで、「こういうがないかいな〜」とお願いすれば必ず出てくるという「会社のドラえもん」とも言うべき A さんのところにお願いに行って作ってもらったのが、写真のイーサネットげたです。
つまりお客さまのところでネットワークケーブルを抜き差しする必要が生じた場合、上のげたをネットワークポートに一回だけさし、げた側で抜き差しを行うわけです。これは便利です。さすが A さん！便利です(えっ)。
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2007年1月25日(木)

連続体仮説へのリンク
Fu さんの連続体仮説シリーズへのリンク集です。私がこのようなことを書くのも失礼かも知れませんが、とても直感的に見通しが良く、分かりやすく記述されています。
一から強制法
 二から強制法
 三から強制法
 拡大モデルと真偽の絶対性
 連続体仮説の独立性証明

個人的な意見ですが「三から強制法」において $F~$ の構成は記載した方が良いかも。強制拡大モデルの要素が元のモデルからぼんやり確定できる雰囲気を良く表していると思うからです。
コメント
_Fu [こんばんは、 Fu です。わ、どうもありがとうございます。厳密さよりも感覚とかイ...]

_かがみ [Fuさんこんにちは。とても楽しく読ませて頂きました。特に最後の「連続体仮説の独立...]

2007年1月24日(水)

MacBook購入後十日程
黒マック購入後大体十日程経過しました。ひとまず感想のまとめなど。

画面が大きい
12インチのPowerBookとさほど変わらないのではと思っていましたが、以前は単体での使用で、画面の狭さを感じる場合が多かったのが、MacBookの13.3インチで大分解消されました。この違いは大きいです。まあ会社でのデュアルディスプレイ使用時には全然関係ないですが。

重い
さすがに 2.3Kgは重いです。PowerBookより少し重いのでは。まあ重いPCの持ち歩きには慣れてるから良いのですが(笑)。

外筐体は頑強そう
いかにもかっしりして、さらにねじれません。少なくとも外部に関しては PowerBookより壊れにくそうです。もちろん内部の部品に関しては全く未知数です。

キーボードは思ったより良い
いまいちキャラメル感があって、特に日本ではいまいちの印象があるかも知れませんが、タッチ自身はなかなか充実感と軽快感が良くミックスし、個人的には気に入っています。

Spotlight検索がとても便利になった
これは単なる速度の問題なのですが、仕事上検索を行う場合が多いのと、普段ドックに表示していないアプリケーション、もしくはファイルを開くためにも使用するため、速いにこしたことはありません。

iSightは意外と遊べる
基本的にこういう監視カメラっぽいのはきらい (監視カメラを作る会社の倫理感や人権意識の崩壊を実地で見たということもあります。まああの人達にはもともとそういう感性はなかったのでしょうが) なのですが、じまんするために人様を呼びつけたとき、Photo Booth で写真を撮ると面白いです。用途と言ってもそれだけなのですが(笑)。

さすがにグラフィック性能は劣る
例えば大量のウインドウで散らかっている状況で Expose を使用すると分かりますが、移動がぎくしゃくする場合があります。まあ実害は無いのですがややかっこわるいことは事実です。

ヘッドフォンの音はPowerBookより劣る
これに関してはマシンの価格を考えると仕方がないかと。どうせヘッドフォンを使う場合、 UA-4FX 経由なので実害はありません。

致命的な不満はなく、というか非常に満足しています。三年間程大切に使用するつもりです。可愛がってあげなくっちゃ。余談ですがキーボードぼろぼろ、ハードディスクひん死状態の PowerBook は半年位したら修理に出して、それなり使えるようにしたいと考えています。奥さまか、場合によってはモカちゃんが重宝すると思います。
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2007年1月23日(火)

風邪引いた
熱が 38度程。体はそれほどきつくないのですが、明日は休みですな。
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2007年1月22日(月)

強制でSuslin木を削除
$M~$ を集合論のモデルとし $\kappa\in~M~$ を正則基数とします。また $M~$ に $\kappa~$ -Suslin木 $\langle~T,\prec~\rangle~\in{M}~$ が存在すると仮定します。容易に想像がつくように $\mathbb{P}=\langle~T,<~\rangle~$ -generic (ただし $<~$ は $\prec~$ を逆にした順序) $G~$ を考えると「鎖が伸びて」 $M[G]~$ で $\langle~T,\prec~\rangle~$ は $\kappa~$ -Suslin木ではなくなります。さらにこの Generic は基数を保存することも証明できます。まず準備として well pruned 木 (良く枝刈りされた木) という概念を導入します。
(定義) $\mathrm{ht}(T)=\kappa~$ である木が well pruned とは次の条件を満たすこと。
$\forall~\alpha<\kappa~\forall~x\in{T}~~(\mathrm{ht}(x)<\alpha~\rightarrow~\exists{y\in{T}}(x<y~\wedge~~~\mathrm{ht}(y)=\alpha))~$
$T~$ を $\mathrm{ht}(T)=\kappa~$ である木とするとき、 $|\{y\,:\,~x<y\}|=\kappa~$ である $x\in{T}~$ 全体の集合 $T^'~$ を考えると
$T^'~$ は well pruned であり「 $T~$ は $\kappa~$ -suslin木 $\leftrightarrow~T^'~$ は $\kappa~$ -suslin木」
であることは容易に分かります。従ってもともとの $T~$ を well pruned と仮定します。
(定理)
$M~$ を集合論のモデルとして、 $\kappa\in~M~$ を正則基数とする。 $\langle~T,\prec~\rangle~\in~M~$ を well pruned Suslin木とする。 $\langle~T,\prec~\rangle~$ の逆転順序を $\mathbb{P}=\langle~T,<~\rangle~$ とし、 $G~$ を $M~$ 上 $\mathbb{P}~$ -Generic とするとき次が成立する。
(1) $M[G]~$ で $G\subset{T}~$ は $|G|=\kappa~$ を満たす鎖である。
(2) $M[G]~$ は $M~$ の基数を保存する。
(証明) $D_\alpha~=~\{x\in{T}\,:\,~\alpha~\prec~\mathrm{ht}(x)\}~\in~M~$ とおくと $T~$ が well pruned であることにより $D_\alpha~\subset~\mathbb{P}~$ は稠密。従って $G\cap~D_\alpha~\neq~\emptyset~$ となるので (1) はほぼ自明です。さらに $\kappa~$ が正則で元の木が Suslin であることにより $\mathbb{P}~$ は $\kappa~$ -c.c を満たすので $M[G]~$ は $\kappa~$ 以上の基数を保存します。 $\kappa~$ 未満に関して残念ながら $\mathbb{P}~$ は $\kappa~$ -closed ではありません。しかし $G~$ が $M[G]~$ で $\kappa~$ -closed 的な性質を持つことを利用すると、次の事実が分かります。
$f\in~M[G],~X\in{M},~\alpha<\kappa~$ として $M[G]~$ で $f:\,~\alpha~\rightarrow~X~$ のとき $f\in~M~$
実際 $f\in~M[G]~$ は $M~$ から $X~$ への関数なので、任意の $\xi~<~\alpha~$ に対し $\exists~{z\in~X}~(f(\xi)~=~z)~$ が $M[G]~$ で成立します。従って $f~$ の名称を $\dot{f}~$ とするとき $p\in~G~$ が存在し
$\forall~\xi<\alpha(p||-~\exists~z\in\check{X}(\dot{f}(\xi)=\check{z}))~$
が成立します。後はおおざっぱに $G~$ の減少列 $(p_\xi)_{\xi<\alpha}~$ と $X~$ の列 $(x_\xi)_{\xi<\alpha}~$ を $p_\xi~||-~\dot{f}(\xi)=\check{x}_\xi~$ を満たすように「とれば」良いのですが、モデルの中での「列」を扱うため、ここはいくらかの注意が必要です。
$M[G]~$ での選択公理と超限帰納により $G~$ の減少列 $(p_\xi)_{\xi<\alpha}~$ と $X~$ 要素の列 $(x_\xi)_{\xi<\alpha}~$ で次の条件を満たすものが構成可能です。
$\forall{\xi<\alpha}(p_\xi~||-~\dot{f}(\xi)~=~\check{x}_\xi)~$
で、この段階で $(x_\xi)_{\xi<\alpha}~\in~M~$ は全く明らかではありません。ところが $|G|=\kappa~$ だったので $r~\in~G~$ が存在し $\forall{\xi<\alpha}(r~\le~p_\xi)~$ を満たします。このとき $\forall{\xi<\alpha}(r~||-~\dot{f}(\xi)~=~\check{x}_\xi)~$ 成り立つので、 $f=\{\langle~\xi,x~\rangle~\in~\alpha~\times~X~\,:\,~~r~||-~\dot{f}(\xi)~=~\check{x}\}~\in~M.~$ なんか $(x_\xi)_{\xi<\alpha}~$ がいまいち必要なかった気がしますが、とにかくこの段階では $(x_\xi)_{\xi<\alpha}~\in~M~$ も分かります。
えーっと何を示そうかとしてたのかというと、そうそう $M[G]~$ は $\kappa~$ 以下の基数も保存するわけです。
あっ、なんというか強制による手作り感がなかなか楽しいです。
(参考文献) Kenneth Kunen 著 Set Theory
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2007年1月21日(日)

実3次対称行列の固有値
実は仕事で実3次対称行列の固有値 (これは実数になる) と固有ベクトルを求める必要があります。調べると色々な方法があるようですが、今回の用途では高速性が重視されます。良いアルゴリズム (できれば C, C++, Java っぽいサンプルも) をご存知の方は教えて頂けるとうれしいです。
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2007年1月20日(土)

ダイアモンドを作る
集合論雑記目次
今日は手作りダイアモンドのお話です。 $L~$ を直接使わないで、強制により基数に高い圧力をかけ、それによる圧縮によりダイアモンドを作る作戦の概略です。この手法で人造ダイヤを作ればぼくもあなたも明日から大金持ちです(笑)。
まず $M~$ を CH が成り立つとは限らない集合論のモデルとします。 $M~$ の中で $I=\{\langle~\alpha,~\xi~\rangle~\,:\,~\xi~<~\alpha~<~\omega_1~\}~$ として半順序集合 $\mathbb{P}~=~\mathcal{F}(I,2,\omega_1)~\in~M~$ を考えます。 $I~$ の高々可算な部分集合から $2~$ への関数全体の集合です。順序は通常通り $p~\le~q~\leftrightarrow~q~\subset~p~$ で定義されます。
(ダイアモンド作成定理) $G~$ を $M~$ 上 $\mathbb{P}~$ -Generic とするとき $M[G]~|=~\Diamond.~$ 特に $M[G]|=\mathrm{CH}.~$
証明には $\lambda~$ -closed という概念を使います。
(定義) 半順序集合 $\mathbb{P}~$ が $\lambda~$ -closed とは次の条件を満たすこと。
任意の $\alpha<\lambda~$ に対して $\mathbb{P}~$ の要素の減少列 $(p_\xi)_{\xi<\alpha}~$ は $\mathbb{P}~$ において下界をもつ。言い換えると $\exists~p\in\mathbb{P}~\forall~{\xi<\alpha}(p~\le~p_\xi)~$ が成り立つ。
(定理) $\mathbb{P}~$ が $\lambda~$ -closed を満たすとします。 $G~$ を $M~$ 上 $\mathbb{P}~$ -Generic として $A,B~\in~M,~|A|<\lambda~$ のに対し、 $f\in~M[G]~$ を $A~$ から $B~$ への関数とします。このとき $f\in~M.~$

(証明の概略) 適当な基数 $\mu~$ と $A~$ との間の $M~$ での全単射を考えれば $A=\mu~<~\lambda~$ の場合に証明すれば十分です。 $f:~\mu~\rightarrow~B~$ の適当な名称 $\dot{f}~$ をとり、 $p_0~\in~\mathbb{P}~$ を $p_0~||-~\dot{f}:\,\check{\mu}~\rightarrow~\check{B}~$ を満たすものとします。ここで少々おおざっぱですが、強制での存在記号の解釈をきちんと行えば、 $M~$ の列 $(p_\alpha)_{\alpha\le\mu},\,~(b_\alpha)_{\alpha<\mu}~$ を構成可能です。
$p_{\alpha+1}~\le~p_{\alpha}~$
$p_{\alpha+1}~||-~\dot{f}(\check{\alpha})~=~\check{b}_\alpha~$
極限ステージでの $p_\alpha~$ は今までに現れた $(p_\xi)_{\xi<\alpha}~$ の下界 (ここで $\lambda~$ -closed を使う)。
するとまたまたおおざっぱな記法ですが $p_{\mu}~||-~\langle~\alpha,b_\alpha~\rangle_{\alpha<\mu}~=~\dot{f}~$ が証明でき $f\in~M~$ が成り立ちます。
特に $\alpha<\lambda~$ から $\kappa~\le~\lambda~$ への cofinal-関数は $M~$ の要素になるので $M[G]~$ は $M~$ での $\lambda~$ 以下の基数を保存します。
(ダイアモンド作成定理の証明) まず $\omega_1~$ の正則性により $\mathbb{P}~=~\mathcal{F}(I,2,\omega_1)~$ が $\omega_1~$ -closed であることはすぐに分かります (関数族の合併を考える)。従って $G~$ を $M~$ 上 $\mathbb{P}~$ -Generic とすると $\omega_1^{M[G]}~=~\omega_1^M,\,~~\mathcal{P}(\omega)^{M[G]}~=~\mathcal{P}(\omega)^M~$ が成立します。さらにいつもの通り $f=\bigcup{G}~$ とすると $f~\in~M[G]~$ は $I~$ から $2~$ への関数となります。ここで
$f_\alpha(\xi)~=~f(\alpha,\xi)~\quad~(\xi<\alpha<\omega_1)~$
と定義すると、なんと都合の良いことに $(f_\alpha)_{\alpha<\omega_1}~$ が ( $\omega_1~$ の部分集合の特性関数とみなしたとき) $M[G]~$ での $\Diamond~$ 列になるのです。実際この事実が成立しないと仮定すると $p_0~\in~G~$ と名称 $\dot{B},\,\dot{C}~$ が存在し
$p_0~||-~(\dot{B}\subset\omega_1~\wedge~~\dot{C}\subset\omega_1~\wedge~\dot{C}~$ は閉非有界 $\wedge~\forall{\alpha<\omega_1}(\dot{B}|\alpha~\neq~\dot{f}_\alpha)~$
が成立します。ここで $\dot{f}_\alpha~$ は $f_\alpha~$ の名称、 $\dot{B}|\alpha~$ は $\dot{B}~$ を特性関数とみなしたときの $\alpha~$ への制限とします。そしてここから特に Kunen本の丸写しとなりますが、次の $M~$ の要素の $\omega~$ 列を構成可能です。
$(a)\,\beta_n~=~\mathrm{supt}(p_n)~$
$(b)\,\gamma_n~>~\beta_n~$
$(c)\,p_{n+1}~\le~p_n~$
$(d)\,p_{n+1}~||-~\gamma_n~\in~\dot{C}~$
$(e)\,\mathrm{supt}(p_{n+1})>\gamma_n~$
$(f)\,b_n~:~\beta_n~\rightarrow~2~\wedge~p_{n+1}~||-~~(\dot{B}|\beta_n~=~\check{b}_n)~$
ここで $\mathrm{supt}(p)~$ は $p\in\mathbb{P}~$ に対し $\mathrm{dom}(p)~\subset~\{\langle~\alpha,\xi~\rangle~\,:\,~\xi<\alpha<\beta\}~$ を満たす最小の $\beta<\omega_1~$ です。 $\dot{C}~$ が強制関係で (閉) 非有界であることと、強制関係での存在記号の意味により (a) 〜 (e) は自然に進行します。また (f) は $\mathbb{P}~$ が $\omega_1~$ -closed であることにより構成可能です。今
$\gamma~=~\lim_{n\in\omega}\beta_n~=~\lim_{n\in\omega}\gamma_n~$
$p=\lim_{n\in\omega}p_n~$
$b=\lim_{n\in\omega}b_n~$
とします。 $\mathrm{supt}(p)~=~\gamma~$ , $p||-~\dot{B}|\gamma~=~\check{b}~$ , さらに $\dot{C}~$ が上記強制関係で閉 (非有界) であることにより $p|=~\gamma~\in~\dot{C}~$ も成り立ちます。 $p~$ は $\{\langle~\gamma,~\xi~\rangle~\,:\,\xi<\gamma\}~$ で定義されないので、 $q(\gamma,~\xi)~=~b(\xi)~$ と拡張した $q\in\mathbb{P}~$ を考えます。ここで面白いことに $q||-~q\in\dot{G}~$ であることにより、 $q||-~\check{b}~=~\dot{f}_\gamma~$ が成立します。従って $q||-~\dot{B}|\gamma~=~\dot{f}_\gamma.~$ ところが $q||-~\gamma\in\dot{C}~$ が成立するので矛盾です。
$L|=\Diamond~$ より易しい感じがするのが不思議です。さらに、最初に書いたように $M~$ が CH を満たさない場合、 $M[G]~$ において $2^\omega~$ は圧縮されているわけです。
(参考文献) Kenneth Kunen 著 Set Theory
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2007年1月19日(金)

結局五十肩
Jech本の持ち過ぎかと思っていましたが、ちっとも痛いのが直らないので、病院へ行ってきました。
正真正銘の五十肩だそうです(笑)
さらに有効な治療法はないそうで、時が経過するのを待つしかないと。普通は半年くらいで治まるそうです。まあ、服、特にこの時期ですと、セーターを着たり脱いだりするのが大変なのですが、我慢できない程痛い訳ではないので、サロンパスをもらってきただけです。左腕を横や上方向に持ってくのが大変なので、重いのを持ったりするのはどうということないのです。ただ、もしも、右の方も痛くなったりすると、電車でつり革をつかめず面倒なことになりそうです。まあなんといいますか年ですなあ(^^。
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2006年12月30日の記事について
通りすがりさんからコメントが入りましたので、そろそろ自分なりにまとまらないことをまとめておかないといけないかなと思いまして。
くるるさんのところ (明けましておめでとうございます) でも議論が盛り上がっているようですが、今回色々な方に教えて頂き、自分自身の数学の基礎に関する認識のなさを痛感したことは事実です。去年 12月30日の日記には、何を血迷ったか、色々余計なことを書いてしまいましたが、私の数学って、結局のところ、論理がどうのこうのというより、古典的な代数系の思考に限定されているような気がします。そしてその世界での整合性を感じ取れれば満足できているような。
じゃあどうして集合論が好きなのかと言われると、その辺りは「巨大基数の集合論」を手にしてからのなりゆきとか、実際に勉強した範囲では、論理的というより、代数的な装いを感じることができる場合が多いという面もあると思います。とにかく今まで勉強した数学で一番面白いと感じていることは確かですし、学生時代に勉強した事柄 (これは最後の方は全く分からなくなった) より直感的に把握できているとも思います。
で、肝心の議論の方なのですが、もはや話について行けなくなっています(弱)。
それでは引用されている本を読めば良いのでは、とのご指摘を受ける可能性があるのはもちろんですが、正直今勉強している事柄が十分難しく、他に手を伸ばすゆとりが全くありません。
それから私って数学の本を読むスピードがとても遅いのです。すぐ忘れるし。紙に書きながらでないと絶対に理解できないという面もあります。なので、誠に申しわけなく、さらに情けないのですが、数学の基礎的な部分や、ましてや哲学的な考察についての議論に関しては、沈黙しようと思いますし、見識のない余計なことを書いて人様に迷惑をかけない方が良いと考えています。
コメント
_通りすがり [かがみさんの態度は普通のものだと思いますよ。ええ。＞私の数学って、結局のところ、...]

_かがみ [通りすがりさん、こんばんは。私自身の数学の考え方や手法が、もちろん能力不足という...]

2007年1月17日(水)

だらだらと
未だ Kunen本の強制の部分の復習中です。 $M~$ の半順序集合 $\mathbb{P}~$ 上 Generic $G~$ による拡大 $M[G]~$ において、 $2^\kappa~$ が大きくなり過ぎないことを示すのに、 $\kappa~$ の部分集合が nice name と称する $\mathbb{P}~$ -名称で表現可能であることを使うところが、なんとなく $\Diamond~$ 的な感じがしました。それから、この辺り (強制の繰り返しを含む) はきちんと把握したいので、Devlin本を読み始めるまであと一月くらいかかるかも知れません。
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2007年1月16日(火)

まくら
下の写真は何でしょうか？

これは竹枕ですね。夏の暑い日、少々固いのが難点ですが、なかなか快適です。実はこれが今大活躍なのです。何に活躍しているかと言いますと、MacBookを膝の上で使う時、この上に敷物を乗せて使うのです。
以前 Y.Kumagaiさんところで
私はMacBookで人生初の低温火傷を負いましたけど
という記事を読ませて頂きましたが、いやはやまさかそんなに熱くなることはないであろうし、そもそも私の膝は熱に強いはずと思っていましたから (←根拠なし)
ところが本当に火傷しそうになりました(笑)。こりゃ軽く膝上 50度を超えるのでは。
というわけで、竹枕の登場です。やや安定感に難ありですが、放熱も良さそうですし、なんといっても膝が熱くなる心配が全くありません。愛用してます！！おすすめです(笑)。
コメント
_Y.Kumagai [本当に危ないですよ!!それにしても、ローカルディスクを検索しないと見つけられない...]

_かがみ [いやー、ほんとに熱いです。Y.Kumagai さんの記事を読んでなかったら、油断...]

2007年1月15日(月)

円周率計算してみた
新規 PC を購入したとき恒例円周率計算です。昔 ThinkPad で行ったときは五千万桁が限界でしたが、はてさて今回はどうなるでしょう。
まずは世界最高速多倍長ライブラリーの評判が高い、 Bruno Haible先生作成 cln ライブラリーのインストールです。事前に gmp ライブラリーのインストールが必要です。さらに次のような感じのスクリプトを作成しておくと便利です。
```
LDFLAGS="-lstdc++ -L${prefix}/lib -L/sw/lib" \
CPPFLAGS="-I${prefix}/include -I/sw/include" \
CFLAGS="-O2 -fno-exceptions -finline-limit=1000 -I${prefix}/include -I/sw/include" \
CXXFLAGS="-O2 -fno-exceptions -finline-limit=1000 -I${prefix}/include -I/sw/include -L${prefix}/lib -L/sw/lib/" \
./configure --with-gmp --infodir=${prefix}/share/info --mandir=${prefix}/share/man \
LDFLAGS="-lstdc++ -Wl,-read_only_relocs,warning -L${prefix}/lib -L/sw/lib" \
make  all
```
コンパイルは信じられないくらい順調に進み、三十分以内で完了しました。以前は cln のコンンパイルというと、半日かがりだったのですが、思ったより速くてびっくりしました。
で、肝心の一億桁挑戦ですが、あっさり終了しました。
real time: 6079.998 s, run time: 5830.981 s (計算)
real time: 1946.874 s, run time: 1877.414 s (十進数に変換)

三時間かかっていません。
というか計算時間はともかく、どうしてこんなに速く十進数に変換出来るのだろう。謎です。実メモリーの使用量はモニターで見ていた感じ最大 1G バイト程度でした。さらに CPU を一つ独占し続けましたが、なんといってももう一つのコアーがあるので、他の作業にほとんど影響を与えません。素晴らしい。ただし、Mac OS X は使用済みのメモリーをどんどん swap に書き出すらしいので /var/vm/ 以下はなかなか素晴らしい状況でした。
```
$ ls -l /var/vm/
total 8388608
drwx--x--x   14 root  wheel         476  1 11 03:15 app_profile
-rw------T    1 root  wheel  2147483648  1 13 06:22 sleepimage
-rw------T    1 root  wheel    67108864  1 13 06:44 swapfile0
-rw------T    1 root  wheel    67108864  1 14 01:51 swapfile1
-rw------T    1 root  wheel   134217728  1 14 02:01 swapfile2
-rw------T    1 root  wheel   268435456  1 14 02:14 swapfile3
-rw------T    1 root  wheel   536870912  1 14 02:19 swapfile4
-rw------T    1 root  wheel  1073741824  1 14 02:50 swapfile5
```
sleepimage というのは、ハイバネーション用らしいのですが、普段は使われません。なんか設定を変えたり、スリープ中に電池がぎりぎりになると使われるという話もありますが、真偽不明です。アプリケーションもユニヴァーサル化されているし、なかなかのディスク大食い OS であることは確かです。
いつも思うのですが、個人的な目標を達成してしまうと、とたんに興味を失うので、円周率の計算もこれが最後になるかも知れません。まあ十億桁の可能性がでてきたら、再度楽しみ始めるかも知れませんが(笑)。
コメント

2007年1月14日(日)

分からん
昨日書いた、MacBook で Mew での APOP, SMTP 認証がともにうまくゆかない件ですが、まじ分からないです。設定を見直したり、fink で別の emacs を入れたりしてもだめ。tcpdump で回線内容をみてもまともそう。ただしパスワードの実体は暗号化されているので、正しいかどうか不明です。チャレンジレスポンスなので毎回変わるし。そもそも Web にそれらしき記事がないのも不思議。
仕方がないので、しばらく AppleMail を使うことにしました。Mew を使いたいときは自宅サーバーのを使うことにします。
結局受信は fetchmail で行い、送信は ssh トンネル使用なので無認証(笑)。
(メモ) fetchmail はデフォルトで含まれる。Postfix の自動起動は /etc/hostconfig に
```
MAILSERVER=-YES-
```
を追加。
(mew の設定)
```
;; To use local mailbox "mbox" or "maildir" instead of POP
(setq mew-mailbox-type 'mbox)
;;(setq mew-mbox-command "incm")
;;(setq mew-mbox-command-arg "-u -d /var/mail/kagami")
(setq mew-mbox-command "/home/kagami/bin/checkmail.sh")
```
(checkmail.sh の中身)
```
#!/bin/sh

/usr/bin/fetchmail -as
/usr/local/bin/incm -u -d /var/mail/kagami
```
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Lでのダーツ
ゲーデルの $L~$ というか、もっと一般に $\mathrm{CH}~$ が成立する世界でダーツを行うのです。 $\mathbb{R}^2~$ の原点中心半径1の円の内部 (境界はどうでもよい) $C~$ をねらって矢を投げることとします。それなりに上手な二人 AさんとBさんが競争するとして、どちらが勝つでしょうか？上手なので矢は必ずどこかには当たるものとします。
ただしルールは少々変則で、まず $C~$ を整列し、その順序による $C~$ の列挙を $(c_\alpha)_{\alpha<\aleph_1}~$ とします。CH が成り立っているので $|C|=\aleph_1~$ です。そしてこの順序に関し「大きい」場所に矢を当てた方が勝ちです。すでに怪しげな雰囲気がただよっています(笑)。
まず $A~$ さんが投げます。当たった場所を $c_\alpha~\quad~(\alpha<\aleph_1)~$ とすると、 $X=\{c_\xi~\,:\,~\xi<\alpha~\}~$ は可算です。B さんは $C-X~$ に矢を当てれば勝ちです。ところが $X~$ は可算集合なのでルベーグ測度 0 です。従って B さんが投げた矢はほとんど確実に $C-X~$ の点に当たります。B さん必勝です。まあ後で投げた方が有利なのは事実なのですが、よもや必勝とは！！さらにこの議論は逆に展開することが可能で、A さんが必勝であることも推論できます。変ですねえ(^^。
詳しくは Devlin先生のこちらの解説をお読みください。
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2007年1月13日(土)

MacBook購入
買いました。黒マック。実は一昨々日届いていたのですが、一昨日と昨日出張で余り使っていません。というのは大嘘で、届いた晩は徹夜しました(笑)。いやはや、その後出張で一日会議だったので、眠かったこと眠かったこと。さらに翌日 (昨日) は残っている代休を使って一日遊ぼうと思っていたら、会議が二日目に持ち越しとなり、かなりの衝撃を受けました。だたし会議先のお客さまのところで多いにじまんしたのはもちろんです(^^。
購入したのはデフォルトにメモリーを追加した 2Gバイトヴァージョンです。最近の OS やアプリケーションはメモリー大食いですし、いくら CPU が速くてもメモリーが不足すると余り意味がないので、こんなものかなと思います。
現在ブラウザ、メール関連と、emacs, LaTeX, OmniOutliner, OmniGraffle が動作する状況です。まあ実際にこれ以外あんまり使わないのですが(笑)。ただしメールには重大な問題と、LaTeX + OmniGraffle には軽微な問題が発生しました。これに関しては後述します。
それではまだまだ経験不足ですが、ちょっと使ってみた感想など。
- やっぱり速いです。さすがクロック 2Gのデュアルコアーです。実際問題として、PowerBookの速度で困ったことはないのですが、アプリケーションの立ち上がりや LaTeX での長い文書のコンパイルに関しては多いに助かります。まだ使っていませんが、人様から頂いた Word や Excel の文章を読むときに使うNeoOffice 起動時に特に威力を発揮するのではないかと。
- 画面はピカピカ系で、最初違和感がありましたが、すぐに慣れました。今まで使用してた Powerbook より少々大きく十分な見栄えです。専用のグラフィックチップを搭載していないので、描画速度にやや不安があったのですが、ゲームをしない限り全く問題ないと思われます。うーん、もしゲーム好きだったら MacBook Pro がうらやましかったかも(^^。
- キーボードがやや安っぽいかなと思ってました。というか PC-6001 のイメージです(ふるっ)。ところが実際に使ってみると、さすがに PowerBookに比べるとやや高級感に欠けますが、十分な使いやすさです。
- WX310Kを Bluetooth で繋いだ時、切断中に落ちることがなくなった。これはとても良いです。それからなんか速くなった気がするのですが、さすがに気のせいでしょうか。
うーむ、感想と言っても、今のところ激速なのに驚いているところなので、気の効いたことは余りかけないですねえ。申しわけありません。次に現行の問題点。
- Mew での APOP, sendmail の認証がともにうまくゆかない。
  前と同じ設定ファイルなのに、これは本当に謎です。片方だめならともかく両方だめなのです。現在通常は Mew を使用して、別ユーザーでApplemail でもメールを取り込み、こちらは Spotlight での検索が非常に重宝なのですが、面倒だからいっそのこと Applemail のみに乗り換えるかどうか検討中です。
- OmniGraffle で作成した PDF ファイルを取り込み LaTeX ファイルから作成した dvi ファイルを dvipdfmx で変換すると、とりこんだ画像がうまく処理されず、画像の部分が空白の箱になる。
  これについては Web にも色々な情報が上がっているのですが、現行では、いまいち根本的な解決法が難しそうです。dvipdfmx にソースレヴェルのパッチをあてる方法はあるらしいのですが、日本語 TeX 環境をソースからビルドするのはさすがに面倒です。実際には OmniGraffle が出力した PDF ファイルを Preview で保存し直せば使えるようになるのですが、この方法も自動化が難しく面倒そうです。さらに OmniGraffle に EPS ファイルを出力させ、それを LaTeX ファイルに食べさせる方法もあるのですが、今度は dvipdfmx の実行に長大な時間がかかるようになり、これでは CPU が激速になった意味がありません。
  どうしたもんかいな、と色々物色したところ /usr/bin/pstopdf というプログラムがもとから入ってるようで、こちらで EPS を PDF に変換すると、速度的にも品位的にも問題がなさそうです。なので個人的にはこちらは解決です。
その他気がついたことがあったら、ぼちぼちということで、しばらくお遊びが続くと思われます。
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_はやし [おお！　黒マックお買い上げ、ですか！で、やっぱり、PC-6001とか、その手のや...]

_かがみ [はやしさん、こんばんは。買いましたよ！いや、ほんとは半年くらい我慢する予定だっ...]

_miya [僕も同じようにメモリは2GBにしました。ちょっとセレブかなと思ったのですが、記事...]

_かがみ [miyaさんこんばんは。おおっ、結局おんなじ構成となりましたか！これで miy...]

2007年1月12日(金)

会議は続く
まだつくば。結局昨日の会議は二十一時過ぎまで続き、さらに今日への持ち越し議案ありです。なので昨日から泊まりで今日もつくばなのです。
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2007年1月11日(木)

出張
今日はつくば出張です。
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2007年1月10日(水)

Constructibility 届く
昨日届いていました。あっと驚く航空便です。切手に 12ドル80セントと書いてあるので、なんというか事務手続き費用等を考えると、本自体はほとんど無料という感じです。
実は一月くらいかかると思って、その予定で勉強のスケデュールをたてていたので、とても困っています(嘘)。
あれです！仕事とかで「どうせ相方さんこんなに早くできないだろう」と勝手に考え~~さぼってたら~~他の仕事をしていたら、「もうできました」と言われてあせるのとおんなじです(笑)。
これは真面目に勉強するしかありません。そうはいうものの、現在 forcing の繰り返しに関する基本をまとめたいのと、今度の土日は昨日のコメントのような事情があり、読み始めるまで少々時間がかかるかも知れません。夏くらいまでに読破出来たら大成功ということで。
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2007年1月9日(火)

続 PowerBook 不調
ハードディスクが一度止まったPowerBook ですが、今朝起きたら固まっていました。一度電源をいれ直したところ、普通に立ち上がりましたが、下記のログが残っていました。
```
# cat /var/log/system.log
Jan  9 05:11:59 power kernel[0]: IOATAController device blocking bus.
Jan  9 05:12:26 power kernel[0]: IOATAController device blocking bus.
Jan  9 05:12:26 power kernel[0]: jnl: flushing fs disk buffer returned 0x3c
Jan  9 05:24:39 power kernel[0]: IOATAController device blocking bus.
...
Jan  9 06:12:38 power kernel[0]: jnl: flushing fs disk buffer returned 0x3c
Jan  9 06:13:11 power kernel[0]: IOATAController device blocking bus.
...
```
こりゃだめですな。夜中の自動バックアップから誘発されているらしいことは分かるのですが、もう信用出来ません。前に書いたようにハードディスクを交換するのは大変そうですし、そもそも、あと半年のためにお金をかけるのもあれですし。どうしよう。考え中です。かんがえちゅう！！
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_たかたに [かんがえちゅう!!と強調しているところをみると、既にお買い上げなんですね? おめ...]

_かがみ [なんのことでしょうか(笑) でもっておそらく本日届くと思うのですが、受け取る人が...]

2007年1月8日(月)

英語で恥をかく
最近このねたばかりで申しわけないのですが、先週注文した Devlin の Constructibility を発送したという通知が来ないので、念のためメールで確認したのです。もちろんちゃんと返事をもらえたのですが、その内容は、

何を質問しているのか良くわかりませんが、とにかく発送しました(笑)

という感じのものだったのです。うーむ、英語は読むのも得意ではなく、基本的に数学書、もしくはコンピューター関連の本しか読めないのですが、書くのはさらに苦手。そこでネットの翻訳ソフトの出力をそのまま送ったのですが、さすがにまずかったですか。てゆうか中学ではかなり優秀な成績で、さらに高校までの成績もそれほど悪くなかったのにどこでおかしくなったのだろう。まあそれはある意味数学に関しても同様なのですが、ちょっと油断すると物事だめになるもので。今後英語でものを書くときは、ちゃんと人様にお願いすることにしましょう ← ちがうって！
余談ですが前に調べたときは見つからなかったのですが (もしかして綴りを間違えた？) Amazon で入手可能なようです。ただしお値段が 182ドルです (たかっ)。下の方のレヴュー欄にも
```
It's really an good book but too expensive.
You can buy it in www.aslonline.org.
It just be $40 and there is a discount for ASL member.
```
と書いてあります。ちなみに私が購入した価格は送料込みで 30ドルです。でも、もしこれを最初に発見したら、ここで購入したことは間違いないので、お手数をかけましたが、見つけ損なったのは良かったかも。150 ドルの差額を考えれば、英語で恥をかく位なんてことありません(笑)。
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_i-land [こんにちは。実は，僕も上のレビューを見て ASL に辿り着いたのでした。（笑）英...]

_かがみ [i-landさんこんにちは。Googleで直接検索したときは amazon.co...]

2007年1月7日(日)

連休終わり近し
あわわわっ、永遠とも思えた十連休も明日で終わり。お約束の昼夜逆転生活です。それにしても怠惰な生活を(笑)。
集合論の方は Kunen本と Jech本の L に関する部分は一通り読みましたが、該当の部分に関して分かったのかどうだか。Constructibility が届くまでもう一度読み直した方が良いかも知れません。Jech本を眺めていたら後ろの方に J_αに関しての記述がありましたが、全く分かりません。あれっておおざっぱに L_α の構成を、べき集合に制限しないで行うということなのでしょうか。いずれにしても、今まで読んだ本を読み直してみると、極限順序数 γ に対する L_γの構造はかなり難物らしく、どの本を見ても、詳細は Devlin本を参照と書いてありました。
で、休み中に強制の繰り返しを一通り、さらに MA+nonCH の整合性までと思いましたが、こちらは間に合いませんでした。というか、個別の正則基数のべきが cofinality の条件を満たす任意の基数と等しくできるところまでで、Easton forcing の前までくらいしか勉強してません。収穫と言えば、今までどうしても generic の内部名称にこだわっていたのですが、generic 拡大についても自然に考えることができるようになったことでしょうか。これに関しては色々教えて頂いたり、集合論関連のブログを読ませて頂いたのが、とてもためになりした。
というわけで、あさってから仕事なのですが、昨年より効率が上がる勉強方法を考えないと、破綻することは明らかです。キーポイントは一時間半近く乗る帰りの電車の中でしょうか (行きは寝てしまうのでだめ)。前日までに定理や証明の流れの概略をメモして、それを電車の中で詳細化する。もし分からなくても一度考えて分からない部分は記憶に残るので。専用の集合論メモ帳でも作ろうかな。
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2007年1月6日(土)

BBSプチ変更
Y.Kumagaiさんのところで、画期的なスパムコメント排除アルゴリズムが発表されたので、さっそくまねをしました(笑)。おうちの場合一日に二十件くらい英語のスパムコメントが入る程度で、さらに、本文に２バイト文字が含まれない場合拒否しているので、現在捕捉率 100% なのですが、もし日本語のスパムが入るとひとたまりもありません。
でもって、効果の程ですが、一部の例外を除き全部捕捉されました。わわわっ、なんちゅう手抜きボットプログラム。まるで私が書いたみたいです(笑)。
(実例) 例えば構造体をシリアライズしたい場合、「一つのフィールドは一行に書いて下さい」とお願いして、ほとんど構文解析しないプログラムを書くことが多いとか。さらにそういうのが全国に出回ってる(汗)。
一つだけ謎があって、上の方の「最近のコメント」をリファラーとして、GET なしでPOST してくるやからがいるのですが、それだけは上の方法で捕捉出来ません。試しにダミーの POST 入れときましたが、はてさて効果があるものかどうか。まあ今のところどうでも良いのですが(^^。
コメント
_Y.Kumagai [効果が出たようで嬉しい限りです。ボットがおバカで助かりました(苦笑) ちなみに、...]

_かがみ [なるほど、どこかにフォームが記録されているのですか。色々考えますなあ。で、実は、...]

_かがみ [というわけで、CGI の名前を変えて、さらに「最近のコメント」にはおとりを入れま...]

2007年1月5日(金)

PowerBook 不調
購入後二年経過した PowerBook ですが、最近とみに不調なのです。
1. お客さんのところで通信のテストをして、色々なネットワークケーブルを入れ替えさし替えしていたら、イーサネット口の爪がとれてしまった。
2. キーボード不調。不調状況と原因ですか？えーっと、上矢印キーの下にごみが入っったので無理矢理はがそうとしたら、吹っ飛んでさらに行方不明になったという。基本的に矢印キーは使わないので、実害はないのですが、すんごくかっこわるいのです。
3. 先程突然動作が一時的に止まるようになった。ハードディスクがかたかたとリトライしている感じの音あり。一度電源を落とし再起動したところ、ちゃんと動いているが、今後どうなるか分からない。
うーむ、さすがに二年間ほとんど無休で自宅と会社持ち歩き、さらに一日十二時間以上の使用では無理ありますか。ハードディスクを交換するのが一番良いのでしょうが、ネットで調べるとこれがなかなか難しそうで、私が行うと元に戻すことは不可能そうです。もちろん会社の器用な人にお願いすれば良いのですが、とりあえず dd で検査したところ問題なしです。さらに不思議なことに、 OS 付属のディスクユーティリティーを実行すると固まるのです。以前はちゃんと実行できたのですが。ただし DVD で起動して実行すると問題なし。もしかするとハード的な問題ではなく、何らかロック機構に問題が発生しているのかも知れません。再インストールした方が良いかも。なので、しばらく様子を見て、まあ本当にだめになったら黒マックを検討することにしましょう。
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_miya [不調と嘆かれているのに、いささか不謹慎ではありますが、明後日には、晴れて黒マック...]

_かがみ [おおっ、ついに明後日となりましたか。おめでとうございます。でもって OS は L...]

2007年1月4日(木)

風邪
たいしたことないですが、少々熱あり。数学の勉強はなんとか。ということはいつもと変わらんですか(笑)。それから昨年の12月30日に頂いたコメントに対する返事ですが、しばらくお待ちください。しばらくがかなり長くなるかも知れませんが。すみません。
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2007年1月3日(水)

Constructibilityを注文
教えて頂いた Association for Symbolic Logic から返事が来まして、 FAX や E-mail での注文も受け付けるということです。なのでさっそく注文しました。
Constructibility. K. J. Devlin. (1984, 425 pp.) ISBN 3-540-13258-9
E-mail の場合クレジットカードのセキュリティーについては保証出来ませんよ、との確認がありましたが、本来余り気にしない方なので、メールで注文しました。また、送料は表示されている価格に含まれるそうです。
というわけで今年はLで色々楽しむことができそうです。現在の勉強状況ですが、Kunen本のLに関する部分、ダイアモンドプラス以外は一通り完了です。お正月の後半は Jech 本の該当部分と、あと強制の反復についてぼちぼち勉強する予定です。i-landさん、どうもありがとうございます。
(関連項目) 2006年12月26日ゲーデルの圧縮レンマ途中経過
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2007年1月2日(火)

年賀状
いや、その、今書いてます(汗)。
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2007年1月1日(月)

元旦
新年あけましておめでとうございます。さっそくですが今年の目標とか。
まず仕事ですが、今年は尋常でない量が待ってます。偉大なる経営理論の実数値極大年です(笑)。でも収入は増えません。たぶん。てゆうか下手に増えて仕事も増えるのはたまらんというのが本音です。
次は数学。こちらは昨年同様ということで。Keith J. Devlin著 Constructibility を入手できるかどうかでかなり変化がありそうです。あっ、でも強制の反復はきちんと勉強する予定です。Jech本の真ん中より後の方をぽつらぽつらと楽しんで読めるようになるのが目標です。
日記の方も昨年通りということで。そう言えばもうすぐ五年です。思いのほか続いています。昨年後半は数学の話題のみになってしまったので、今年はもう少し話題の範囲を広げたいところですが、数学のことを考えだすと他のことに全く興味関心がなくなるので、それなり周期が発生するのは仕方ないかな。
というわけで本年もよろしくお願い致します。
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_miya [おめでとうございまうす。ついにというか、やっとというか、今月のはじめの間にMac...]

_かがみ [あけましておめでとうございます。おおっ、ついに黒マックのお買い上げですか。素晴ら...]

2004年7月6日から 18346 アクセス

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