昨日の続きです。用語記号等はすぐ下ですが、 0# (zero-sharp) 六回目 Kunenの定理 (準備編)を参照して下さい。
少しだけ復習すると $ i:\, L_\kappa \rightarrow L_\kappa $ が critical point が $ \gamma $ である初等的埋め込みで昨日の定義での $ X_\alpha \quad (\alpha \lt \omega_1) $ 上恒等写像です。そして $ M_\alpha = H^{L_\kappa}(\gamma \cup X_\alpha) \quad (\alpha\lt \omega_1) $ として推移的崩壊
$ \pi_\alpha :\,M_\alpha \rightarrow L_\kappa $とその逆写像
$ i_\alpha : \,L_\kappa \rightarrow M_\alpha \prec L_\kappa $を考えたのでした。 $ \gamma_\alpha = i_\alpha(\gamma) $ とします。 $ i, \, i_\alpha $ は次の性質をもちます。
(命題 1)
(1.1) $ i $ は $ M_\alpha $ 上恒等写像(証明)
(1.2) $ \gamma_\alpha \in M_\alpha $ は $ M_\alpha $ で $ \gamma $ より大きな最小の順序数
(1.3) $ \alpha\lt \beta $ のとき $ i_\alpha $ は $ M_\beta $ 上恒等写像。特に $ i_\alpha(\gamma_\beta)= \gamma_\beta $
(1.4) $ \alpha \lt \beta \rightarrow \gamma_\alpha \lt \gamma_\beta $
(1.1) は $ i $ が $ \gamma \cup X_\alpha $ 上恒等写像であることにより得られる。実際 $ M_\alpha $ の要素をスコーレム項により $ t^{L_\kappa}(\xi_1,\cdots \xi_n) \quad (\xi_i \in \gamma \cup X_\alpha) $ と表すと $ L_\kappa $ でのスコーレム関数は存在記号を標準整列順序に対する最小元で置換したもの であり、その整列順序が絶対的であることと、 $ i $ の初等性により $ i(t^{L_\kappa}(\xi_1,\cdots,\xi_n)) = t^{L_\kappa}(i(\xi_1),\cdots i(\xi_n)) $ が成り立つからである。大分長くなりましたが、いよいよ次の準備と命題で Kunen の定理の証明の実 質的部分は完了です。(1.2) であるがまず $ \gamma \subset M_\alpha $ であることに留意すると $ \gamma \le i_\alpha(\gamma) $ であり、 $ \gamma $ と $ \gamma_\alpha $ の間には順序数が存在しないことが分かる。ところが $ \gamma $ は $ i $ の critical point であったので $ \gamma\lt i(\gamma). $ 従って (1.1) により $ \gamma \notin M_\alpha $ である。
(1.3) は次のように証明される。 $ x\in M_\beta $ とする。(1.1) と同様に $ M_\beta $ をスコーレム項で表現することを考えれば、 $ i_\alpha $ が $ \gamma \cup X_\beta $ 上恒等写像であることを示せば良い。 $ \gamma $ 上で恒等的であることは明らかなので、 $ \xi \in X_\beta $ とする。ところが定義により $ |X_\alpha \cap \xi| = \xi $ が成り立ち $ \xi $ が基数であることを考慮すると $ i_\alpha(\xi)=\xi $ がなりたつ。
最後に (1.4) であるが、 $ M_\beta \subset M_\alpha $ なので (1.2) により $ \gamma_\alpha \le \gamma_\beta. $ 再び (1.2) より $ \gamma \lt \gamma_\alpha $ なので $ \gamma_\alpha=i_\alpha(\gamma) \lt i_\alpha(\gamma_\alpha) $ であるが (1.3) により $ \gamma_\beta=i_\alpha(\gamma_\beta) $ である。従って $ \gamma_\alpha \neq \gamma_\beta $ (証明終)。
$ M_{\alpha\beta} = H^{L_\kappa}(\gamma_\alpha \cup X_\beta) $ とします。 $ M_\alpha $ の場合と同様に推移的崩壊
$ \pi_{\alpha\beta} : \, M_{\alpha\beta} \rightarrow L_\kappa $を考えることができ、その逆写像 (もちろん初等的埋め込みとなる) を
$ i_{\alpha\beta} : \, L_\kappa \rightarrow M_{\alpha\beta} \prec L_\kappa $とします。 $ \alpha $ が大きいと $ M_{\alpha\beta} $ も大きくなり、逆に $ \beta $ が大きいと $ M_{\alpha\beta} $ は小さくなります。また右下の可換図式が成立します (id は埋め込みの意味)。
(命題 2)
(2.1) $ \xi\lt \alpha $ または $ \beta\lt \xi $ のとき $ i_{\alpha\beta}(\gamma_\xi)=\gamma_\xi $(証明)
(2.2) $ i_{\alpha\beta}(\gamma_\alpha)=\gamma_\beta $
(2.1) $ \xi \lt \alpha $ の場合 $ \gamma_\xi\lt \gamma_\alpha $ なので主張は明らか。 $ \beta\lt \xi $ とすると $ \gamma_\xi \in M_{\beta+1}. $ 従って (1.1) の証明と同様に $ \delta \in M_{\beta+1} $ に対し $ |M_\beta \cap \delta| = \delta $ なので $ i_{\beta}(\gamma_\xi)=\gamma_\xi $ であることがわかり右の可換図式 (可換図式をつかうまでもなく $ i_\beta $ が $ i_{{\alpha}{\beta}} $ の制限なので) により $ i_{\alpha\beta}(\gamma_\xi)=\gamma_\xi. $(定理 Kunen)(2.2) であるが、まず $ M_\beta \subset M_{\alpha\beta} $ であることにより $ \gamma_\beta \in M_{\alpha\beta}. $ さらに $ \gamma_\alpha \subset M_{\alpha\beta} $ なので $ i_{\alpha\beta}(\gamma_\alpha) $ は $ M_{\alpha\beta} $ において $ \gamma_\alpha $ 以上である最小の順序数である。従って $ \gamma_\alpha \le i_{\alpha\beta}(\gamma_\alpha) \le \gamma_\beta $ が成り立つ。従って $ M_{\alpha\beta} $ に $ \gamma_\alpha \le \delta \lt \gamma_\beta $ を満たす $ \delta $ が存在しなければよい。今このような $ \delta $ が存在したと仮定し、スコーレム項により $ \delta = t^{L_\kappa}(\xi,\eta) $ と表現できたとする。ただし $ \xi $ は $ \gamma_\alpha $ の要素の列であり、 $ \eta $ は $ X_\beta $ の要素の列であるとする。すると次の充足関係が成立する。
$ L_\kappa \vDash \exists{\xi\lt \gamma_\alpha}(\gamma_\alpha \leq t(\xi,\eta) \lt \gamma_\beta) $$ \pi_\alpha $ を適用すると、初等性と $ \pi_\alpha(\gamma_\alpha)=\gamma,\,\pi_\alpha(\xi)=\xi, \, \pi_\alpha(\eta)=\eta $ であることにより$ L_\kappa \vDash \exists{\xi\lt \gamma}(\gamma \leq t(\xi,\eta) \lt \gamma_\beta) $がなりたつ。ところが存在記号の $ \xi $ を一つ固定すると $ \xi \lt \gamma $ なので再び $ t^{L_\kappa}(\xi, \eta) \in M_\beta. $ これは (1.2) に反する (証明終)。
$ I=\{ \gamma_\alpha\,:\, \alpha\lt \omega_1 \} $ は $ L_\kappa $ に関する識別不可能集合である。従って $ 0^{\sharp} $ が存在する。
(証明 2007年10月10日書き直し) 下記てなさくさんの前回 (10月8日) のコメントでのご指摘により書き直しました。
$ \varphi(v_1,\cdots,v_n) $ を論理式として $ \gamma_{\alpha_1} \lt \cdots\lt \gamma_{\alpha_n} $ と $ \gamma_{\beta_1} \lt \cdots \lt \gamma_{\beta_n} $ をそれぞれ $ I $ の要素の増大列とする。 まず $ \gamma_{\delta_n} \in I $ を $ 1 \le k \le n $ に対するいずれの $ \gamma_{\alpha_k},\gamma_{\beta_k} $ よりも大きな要素とする。関数 $ i_{{\alpha_n}{\delta_n}}, i_{{\beta_n}{\delta_n}} $ による変換を考えると $ i_{{\alpha_n}{\delta_n}}(\gamma_{\alpha_n})=\gamma_{\delta_n} \, i_{{\beta_n}{\delta_n}}(\gamma_{\beta_n})=\gamma_{\delta_n} $ であり、 $ 1 \le k \le n-1 $ に対し $ i_{{\alpha_n}{\delta_n}}(\gamma_{\alpha_k})=\gamma_{\alpha_k} \, i_{{\beta_n}{\delta_n}}(\gamma_{\beta_k})=\gamma_{\beta_k} $ であることと $ i_{{\alpha_n}{\delta_n}}, i_{{\beta_n}{\delta_n}} $ の初等性により \[ \begin{gather} L_\kappa \vDash \varphi(\gamma_{\alpha_1},\cdots, \gamma_{\alpha_{n-1}} \gamma_{\alpha_{n}}) \leftrightarrow L_\kappa \vDash \varphi(\gamma_{\alpha_1},\cdots, \gamma_{\alpha_{n-1}}, \gamma_{\delta_{n}}) \\ L_\kappa \vDash \varphi(\gamma_{\beta_1},\cdots, \gamma_{\beta_{n-1}}, \gamma_{\beta_{n}}) \leftrightarrow L_\kappa \vDash \varphi(\gamma_{\beta_1},\cdots, \gamma_{\beta_{n-1}}, \gamma_{\delta_{n}}) \end{gather} \] が成立する。次に $ \gamma_{\delta_{n-1}} \in I $ を $ \gamma_{\delta_{n-1}} \lt \gamma_{\delta_n} $ であり $ 1 \le k \le n-1 $ に対するいずれの $ \gamma_{\alpha_k},\gamma_{\beta_k} $ よりも大きな要素とする。このとき上と同様な理由と $ i_{\alpha_{n-1}\delta_{n-1}}(\gamma_{\delta_n})=\gamma_{\delta_n}\, i_{\beta_{n-1}\delta_{n-1}}(\gamma_{\delta_n})=\gamma_{\delta_n} $ であることにより \[ \begin{gather} L_\kappa \vDash \varphi(\gamma_{\alpha_1},\cdots,\gamma_{\alpha_{n-1}} \gamma_{\alpha_{n}}) \leftrightarrow L_\kappa \vDash \varphi(\gamma_{\alpha_1},\cdots, \gamma_{\delta_{n-1}}, \gamma_{\delta_{n}}) \\ L_\kappa \vDash \varphi(\gamma_{\beta_1},\cdots, \gamma_{\beta_{n-1}}, \gamma_{\beta_{n}}) \leftrightarrow L_\kappa \vDash \varphi(\gamma_{\beta_1},\cdots, \gamma_{\delta_{n-1}}, \gamma_{\delta_{n}}) \end{gather} \] が成立する。以下同様に \[ \begin{gather} L_\kappa \vDash \varphi(\gamma_{\alpha_1},\cdots, \gamma_{\alpha_{n-1}} \gamma_{\alpha_{n}}) \leftrightarrow L_\kappa \vDash \varphi(\gamma_{\delta_1},\cdots, \gamma_{\delta_{n-1}}, \gamma_{\delta_{n}}) \\ L_\kappa \vDash \varphi(\gamma_{\beta_1},\cdots, \gamma_{\beta_{n-1}}, \gamma_{\beta_{n}}) \leftrightarrow L_\kappa \vDash \varphi(\gamma_{\delta_1},\cdots, \gamma_{\delta_{n-1}}, \gamma_{\delta_{n}}) \end{gather} \] が成り立ち従って \[ \begin{gather} L_\kappa \vDash \varphi(\gamma_{\alpha_1},\cdots, \gamma_{\alpha_{n-1}} \gamma_{\alpha_{n}}) \leftrightarrow L_\kappa \vDash \varphi(\gamma_{\beta_1},\cdots, \gamma_{\beta_{n-1}}, \gamma_{\beta_{n}}) \end{gather} \] である (証明終)。(参考文献)
Thomas J. Jech 著 Set Theory
Keith J. Devlin, Constructibility
(関連リンク)
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