フォドアの補題の初等的部分構造を使った証明
[集合論雑記目次]
くるるさんに色々教えて頂いた、初等的部分構造使ったフォドアの補題の証明
をまとめておきます。
(x.1 フォドアの補題)
$
\kappa
$
を非可算正則基数として、
$
S \subset \kappa
$
を定常集合とする。また
$
f : S \to \kappa
$
を退行的な関数、すなわち
$
\forall \alpha \in S (f(\alpha) < \alpha)
$
を満たす関数とする。このとき定常な
$
T \subset S
$
が存在し
$
f
$
は
$
T
$
上で定値。
(x.2 補題)
$
\theta
$
を
$
\mathcal{H}(\theta)
$
が今後の議論において必要な有限個の公理を満たし、さらに必要な対象を要素
とするものとする。特に
$
\kappa \in \mathcal{H}(\theta),\, \kappa \subset \mathcal{H}(\theta)
$
が成立しているものとする。
$
X \subset \mathcal{H}(\theta)
$
が
$
|X| < \kappa
$
を満たすとき
$
C = \{ \alpha < \kappa \,:\,
\exists M (X \subset M \wedge
M \prec \mathcal{H}(\theta) \wedge
|M| < \kappa \wedge \alpha = M \cap \kappa) \}
$
は
$
\kappa
$
の閉非有界集合を含む。
(証明)
$
M_0
$
を
$
X \cup \{\kappa\} \subset M_0 \wedge |M_0| < \kappa
$
を満たす
$
\mathcal{H}(\theta)
$
の初等的部分構造とする。そして
$
\gamma_0 = \sup(M_0 \cap \kappa)
$
とする。もし
$
\gamma_0 \in M_0
$
と仮定すると、
$
M_0 \cap \gamma_0 = M_0 \cap \kappa
$
なので外延性の公理により
$
M_0 \vDash \kappa = \gamma_0
$
従って
$
\mathcal{H}(\theta) \vDash \kappa = \gamma_0
$
が成立する。
$
\kappa \subset \mathcal{H}(\theta)
$
と仮定したので、
$
\kappa = \gamma_0
$
が本当に成りたつが、この事実は
$
|M_0| < \kappa
$
に矛盾する。今、増大列
$
(M_\alpha)_{\alpha < \kappa}, \, (\gamma_\alpha)_{\alpha < \kappa}
$
を次のように定義する。
(1)
$
M_\alpha \cup \gamma_\alpha \cup \{\gamma_\alpha \} \subset M_{\alpha + 1} \prec \mathcal{H}(\theta) \wedge |M_{\alpha+1}|<\kappa,\,\gamma_{\alpha+1} = \sup(M_{\alpha+1} \cap \kappa)
$
(2)
$
\alpha
$
が極限順序数のとき
$
M_\alpha = \bigcup_{\xi < \alpha} M_\xi,\,
\gamma_\alpha = \sup_{\xi<\alpha}\gamma_\xi
$
$
\alpha = 0
$
の場合の議論と同様に
$
\alpha < \kappa
$
に対して
$
\sup(M_\alpha \cap\kappa) \notin M_\alpha
$
なので
$
(M_\alpha)_{\alpha<\kappa},\, (\gamma_\alpha)_{\alpha<\kappa}
$
は真の増大列である。さらに
$
\alpha
$
が極限順序数の場合
$
M_{\alpha} \cap \kappa = \gamma_\alpha
$
が成立する。従って
$
D = \{\gamma_\alpha \,:\, \alpha < \kappa \wedge \lim (\alpha) \} \subset C
$
が求める閉非有界集合である □
(補題 x.3)
$
M \in D
$
として、
$
\kappa
$
の閉非有界集合
$
E
$
が
$
E \in M
$
を満たすとき
$
\gamma = M\cap\kappa \in E
$
.
(証明)
$
E
$
は
$
M
$
で
$
\kappa
$
の閉非有界集合なので、特に非有界性に関して
$
M \vDash \forall \alpha < \kappa \exists \beta (\alpha < \beta \wedge \beta \in E)
$
が成立する。従って
$
\forall \alpha < \gamma \exists \beta\in M (\alpha < \beta \wedge \beta \in E)
$
が成立し
$
E
$
は極限に関して閉じているので
$
\gamma \in E
$
□
(系 x.4)
$
S \in M
$
が
$
M\cap\kappa \in S
$
を満たせば
$
\kappa
$
の定常集合である.
(フォドアの補題の証明)
$
S \subset \kappa
$
を定常集合として
$
f: S \to \kappa
$
を退行的関数とする。(補題 x.2) の
$
X
$
を
$
\{f\}
$
として
$
\gamma \in D \cap S
$
に対応する初等的部分構造を
$
M
$
とする。そして
$
\beta = f(\gamma)
$
とすると
$
f
$
は退行的なので
$
\beta \in M
$
である。さらに
$
\gamma \in f^{-1}(\{\beta\})
$
なので
$
T=f^{-1}(\{\beta\})
$
は
$
\kappa
$
の定常集合 □
[1] の (定理 5.4) にやはり初等的部分構造を応用した証明が記載されています。
(追記 2009年3月20日)
コメントでくるるさんに教えて頂いたように (x.2) で
$
\gamma_0=\sup(M_0 \cap \kappa)\notin M_0
$
である事実は、もしそうでなければ
$
\gamma_0 +1 \in M_0
$
が成立し矛盾を生じることから導かれます。従って (x.2) において
$
\kappa\in M_0
$
の仮定は不要です。(x.3) の証明では
$
X=\{f, \kappa \}
$
とすれば良いです。
(追記 2009年3月21日)
この追記を記載する前の時点での (x.2) (1) の
$
M_\alpha \cup \gamma_\alpha \subset M_{\alpha + 1} \prec \mathcal{H}(\theta)
$
の部分は
$
M_\alpha \cup \gamma_\alpha \cup \{ \gamma_\alpha \}\subset M_{\alpha + 1} \prec \mathcal{H}(\theta)
$
の誤りです。たぶん。修正しました。
(参考文献)
[1] 渕野昌,
初等部分構造の手法とその集合論での応用, December 16, 2004
[2] くるるさんのコメント多数
コメント
_てなさく [mimeTeX で |= を \\models の代用にする場合は |\\hsp...]
_てなさく [すみませんURLエンコードで書き直します。うまくいきますように(ー人ー)http...]
_てなさく [しまった一個書き換え漏れが...http...]
_かがみ [あ、おかげさまでかっこ良くなりました。今回の場合 M|=κ=γ という感じで特に...]
_てなさく [実際、|M| = κ = γと書いてあるのかと思ってしまいました。直してもらえて...]
_かがみ [実は私も |M| = κ = γ に見えたのです。さすがにまずいので M| = ...]
_くるる [多分間違いはないと思うんですが、$\\gamma_0\\nin M_0$の証明は...]
_かがみ [あ、ほとんど自明だったのですね。最初の部分の $\\gamma$ も不必要で意味...]
くるるさんに英語圏では
$
\aleph_0
$
を
「あれふのーと (aleph naught)」と呼ぶことが多い
と教えて頂きました。私も実力はおいといて集合論好きの一人です。ここはぜ
ひ「あれふぜろ」ではなく「あれふのーと」と無意識に呼べるようになりたい
ものです。