02/25 aiueo 01/01 かがみ 01/01 ゼルプスト殿下 01/01 かがみ 01/01 ゼルプスト殿下 05/10 かがみ
[集合論雑記目次]
非可算正則基数 $ \kappa $ が次の条件を満たすとき $ \kappa $ を玄妙基数 (ineffable cardinal) と呼びます。[1] には「ineffable cardinal については、巨大基数についての標準的な教科書にも記載がない場合 が多いので、いくつかの基本的な結果についてここにまとめる」という意味の 記述があります。あいにく[1] も特に入手しやすい状況ではないので、例のご とく[1] [2] からの単なる引用ですが、ここに定義と基本性質を記載するのは 無駄ではないと思われます。除夜の鐘を聞きながら玄妙なる瞑想にふけるのも よろし。
玄妙基数 (ineffable cardinal) の定義は「ダイヤモンド原理」の双対みたい な感じもしないではないです。同値な別の定義は弱コンパクト基数の定義を ちょっと拡張したような感じです。また玄妙基数は弱コンパクト基数と同様に $ L $ と共存可能です。
(定義 x.1) 非可算正則基数 $ \kappa $ が次の性質を満たすとき玄妙基数 (ineffable cardinal) であると言う。
$ \langle A_\alpha \,:\, \alpha\lt \kappa \rangle $ をすべての $ \alpha \lt \kappa $ に対し $ A_\alpha \subset \alpha $ を満たす任意の列とする。このとき $ A \subset \kappa $ が存在して $ \{\alpha \lt \kappa \,:\, A \cap \alpha = A_\alpha \} $ は $ \kappa $ の定常集合 □
(命題 x.2) 可測基数は玄妙基数.
(証明) $ \kappa $ を可測基数として、 $ \langle A_\alpha \,:\, \alpha\lt \kappa \rangle $ をすべての $ \alpha \lt \kappa $ に対し $ A_\alpha \subset \alpha $ を満たす任意の列とする。 $ M $ を $ \kappa $ の $ \kappa $ 完備非単項正規超フィルターから作られる超べきとして $ j:\, V \rightarrow M $ を対応する初等的埋め込みとする。このとき $ \alpha\lt \kappa $ に対して $ j(A_\alpha) = A_\alpha $ なので $ j(\langle A_\alpha \,:\, \alpha\lt \kappa \rangle) = \langle A_\alpha \,:\, \alpha \lt j(\kappa) \rangle $ と書ける。ただし右辺の $ \kappa \le \alpha \lt j(\kappa) $ の部分に対応する $ A_\alpha $ は $ M $ のなんらかの要素とする。このとき $ A = A_\kappa \subset \kappa $ が求める集合となる。実際、もとの超べきを正規なフィルターから構成した ことにより、 $ M \vDash (\kappa = [\mathrm{id}]) $ が成り立つので $ A_\kappa $ は超べきの要素として $ [\langle A_\alpha \,:\, \alpha\lt \kappa \rangle] $ として表現できる。従って $ V $ において「ほとんどすべての」 $ \alpha \lt \kappa $ に対し $ A_\kappa \cap \alpha = A_\alpha $ が成り立つ。 $ \kappa $ の $ \kappa $ 完備非単項正規超フィルターは $ \kappa $ の閉非有界フィルターの拡張となっているので、その要素は定常である □
(系 x.3) 可測基数の下に玄妙基数がその「可測基数個」存在する。
(証明) 実際 $ \kappa $ は $ M $ でも玄妙基数である □
(命題 x.4) $ \kappa $ が玄妙基数であることは次の条件 (ここでは「玄妙なる弱コンパクト性」と呼 ぶこととする) が成立することと同値である。
任意の写像 $ f:\, [\kappa]^2 \rightarrow 2 $ に対し定常な $ H \subset \kappa $ が存在し $ f[[H]^2] $ は定値.
弱コンパクト基数の定義は上記の $ H $ が $ |H\vDash \kappa $ を満たせば良いので、この命題により玄妙基数は弱コンパクト基数です。
(証明) まず $ \kappa $ が玄妙なる弱コンパクト性を持つとき、玄妙基数であることを示す。 $ \langle A_\alpha \,:\, \alpha\lt \kappa \rangle $ を「すべての $ \alpha \lt \kappa $ に対して $ \alpha \subset A_\alpha $ を満たす列」とする。まず $ \alpha \lt \kappa $ に対し $ f_\alpha : \, \alpha \rightarrow 2 $ を $ A_\alpha $ の特性関数とする。そして $ \alpha, \beta \lt \kappa $ に対し $ f_\alpha \prec f_\beta $ を辞書式順序で定義する。言い換えると $ f_\alpha \prec f_\beta $ とは $ f_\beta $ が $ f_\alpha $ の拡張の場合もしくは $ f_\alpha(\xi) \neq f_\beta(\xi) $ となる最小の $ \xi \lt \kappa $ (これを $ f_\alpha, f_\beta $ の分岐点と呼ぶこととする) に対して $ f_\alpha(\xi) \lt f_\beta(\xi) $ が成立することである。木のイメージで「右に分岐している方が大きい」とい う感じである。 $ F:\, [\kappa]^2 \rightarrow 2 $ を次のように定義する
$ \alpha, \beta $ の $ \lt $ に対する順序と $ f_\alpha, f_\beta $ の $ \prec $ に対する順序が両立するとき $ F(\{\alpha, \beta\}) = 0. $ 両立しない場合 $ F(\{\alpha, \beta\}) = 1. $仮定により定常集合 $ H\subset \kappa $ で $ F $ に関して等質なものが存在するが、以降の議論では $ F[[H]^2] = \{0\} $ として問題ない。言い換えると $ \alpha, \beta \in H, \alpha \lt \beta $ のとき $ f_\alpha \prec f_\beta $ である。あとは $ H $ の定常部分集合 $ S $ 上手に構成し $ \alpha, \beta \in S, \alpha\lt \beta $ に対し $ f_\beta $ が $ f_\alpha $ の拡張となるようにできれば良い。まず $ \kappa $ は弱コンパクトなので到達不可能。従って $ \xi \lt \kappa $ に対し $ f_\alpha, f_\beta $ が $ \xi $ 未満で分岐する $ \alpha,\beta \in H $ の対は $ \kappa $ 未満であることに注意すると、任意の $ \xi \lt \kappa $ に対し $ \alpha \in H $ が存在し 「 $ \xi\le\alpha $ かつ $ \forall \beta \in H (\alpha\le\beta \rightarrow f_\alpha|\xi = f_\beta|\xi) $ 」 を満たす (縦棒は関数の制限を表します。上向き半分矢印をTeX での書き方が分 からない...)。この条件を満たす $ \alpha \in H $ で最小のものを $ \alpha(\xi) $ と表すと $ C=\{\gamma \lt \kappa \,:\, \forall \xi\lt \gamma (\xi\lt \gamma \rightarrow \alpha(\xi) \lt \gamma) \} $ は $ \kappa $ 閉非有界。従って $S=H \cap C \cap \{\xi \lt \kappa\,:\, \lim{\xi}\}$ は $ \kappa $ の定常集合となる。ところが $ \gamma \in H \cap C $ が極限順序数の場合 $ \xi \lt \gamma \rightarrow \alpha(\xi) \lt \gamma $ であることと $ \xi \lt \gamma \rightarrow f_{\alpha(\xi)}|\xi = f_\beta|\xi \quad (\alpha(\xi)\le \beta) $ であること、さらに $ \alpha(\gamma) $ の最小性により $ \gamma = \alpha(\gamma) $ が成立する。従って $ S $ の任意の2つの要素 $ \alpha \lt \beta $ に対し $ f_\beta $ は $ f_\alpha $ の拡張となり $ S $ が求める集合となる。
逆に $ \kappa $ が玄妙基数であると仮定して $ F: [k]^2 \rightarrow 2 $ とする。このとき $ \alpha \lt \kappa $ に対し $ f_\alpha : \alpha \rightarrow 2 $ を $ f_\alpha(\xi) = F(\{\xi, \alpha\}) $ とすると $ \kappa $ が玄妙基数であることにより $ f: \kappa \rightarrow 2 $ と定常集合 $ S \subset \kappa $ が存在し $ \alpha \in S $ に対し $ f|\alpha = f_\alpha $ が成立する。ところで $ f $ は 0 と 1 の値しか取らないので $ S - \{0,1\} $ で退行的。従って $ f $ は $ S $ の定常部分集合 $ H $ 上で定値となり、これが求める等質集合であることはすぐに分かる □
(系 x.5) 玄妙基数は弱コンパクト □
例のごとく「玄妙基数の下に弱コンパクト基数が大量に存在する」という事実 も成立します。証明は玄妙基数が $ \mathrm{\Pi}^1_2 $ 記述不可能であることと、弱コンパクト性が $ \mathrm{\Pi}^1_1 $ 記述不可能性で特徴づけられることにより自然に得られます。
( 定義 x.6 $ \Diamond_\kappa(E) $ ) $ \kappa $ を非可算な正則基数、 $ E\subset \kappa $ を定常集合とする。次の事実が成り立つとき $ \Diamond_\kappa(E) $ が成り立つと言う。
すべての $ \alpha \in E $ に対し $ A_\alpha \subset \alpha $ を満たす列 $ \langle A_\alpha : \alpha \in E \rangle $ が存在し任意の $ A \subset \kappa $ に対して $ \{\alpha \in E \,:\, A \cap \alpha = A_\alpha \} $ は定常集合 □
$ \Diamond_\kappa(\kappa) $ を単に $ \Diamond_\kappa $ と書きます。 $ \Diamond_{\aleph_1} $ を単に $ \Diamond $ と書きます。
(定理 x.7) $ V=L \rightarrow \Diamond $
証明は 集合論雑記の「Lとダイアモンド」 を参照してください (読み直すとよく分かってない部分もあるみたいです)。
(定理 x.8) $ \kappa $ を玄妙基数とすると $ \Diamond_{\kappa} $ が成り立つ。
証明の方針は $ V=L \rightarrow \Diamond $ と同様なのですが、玄妙基数の定義から想起されるように、こちらの証明の方 がはるかに簡単です。
(証明) 列 $ \langle (A_\alpha, C_\alpha) \,:\, \alpha\lt \kappa \rangle $ を次のように構成します。
(1) $ \alpha \lt \kappa $ に対して $ C_\alpha \subset \alpha $ は $ \alpha $ で閉非有界で $ A_\alpha \subset \alpha $ .ここだけの言葉であるが $ \alpha \lt \kappa $ に対する $ (A_\alpha,C_\alpha) $ が (2) を満たす場合 $ \alpha $ は「良好」であると呼ぶことにする。 このとき $ \langle A_\alpha \,:\, \alpha \lt \kappa \rangle $ が $ \Diamond_\kappa $ の条件を満たす列となるこを示す。 $ A\subset \kappa $ が存在し $ C=\{\alpha\lt \kappa \,:\, A \cap \alpha \neq A_\alpha\} $ が $ \kappa $ で閉非有界として矛盾を導く。まず $ \alpha \in C $ とすると任意の $ \xi \in C \cap \alpha $ に対し $ A \cap \xi \neq A_\xi $ . 従って $ (A \cap \alpha, C \cap \alpha) $ は (2) を満たすので $ C $ の要素はすべて「良好」であることに注意する。そして $ \kappa $ が玄妙基数であることにより、次の条件を満たす $ B \subset \kappa, D \subset \kappa $ が存在することが分かる。
(2) もし (1) と $ \forall \xi \in C_\alpha(A_\alpha \cap \xi \neq A_\xi) $ を満たす対 $ (A_\alpha,C_\alpha) $ が存在すればその対を一つ選択する.
(3) (1) (2) を満たす対が存在しない場合 $ A_\alpha=\emptyset, C_\alpha=\emptyset $ .
$ S = \{\alpha \lt \kappa \,:\, B\cap\alpha=A_\alpha \wedge D \cap\alpha=C_\alpha\} $ は $ \kappa $ の定常集合.ところが $ \alpha\lt \beta $ を $ S \cap C $ の要素とすると
$ A_\beta \cap \alpha = B \cap \alpha = A_\alpha $が成り立つ。従って $ C_\alpha $ が $ \alpha $ で非有界なことと $ C_\beta $ が $ \beta $ で閉じていることを考慮すると $ \alpha = \sup C_\alpha = \sup (C_\beta \cap \alpha) \in C_\beta $ が成り立つ。ところが $ \beta $ は「良好」なので $ A_\beta \cap \alpha \neq A_\alpha $ が成り立つがこれは矛盾である □
$ C_\beta \cap \alpha = D \cap \alpha = C_\alpha $
上記証明 (x.2) は [2], (x.4) (x.8) は [1] の劣化コピーです。誤りが存在 した場合すべて私の責任です。玄妙基数という訳語は [3] 第VI章 演習 [17] によるものです。 その他いくつか記載したい事実もありますが本年は力尽きました。それでは 良いお正月を。
(2009年4月5日付記) (定理 x.8) の証明において (2) の条件は $ \alpha $ が極限順序数の場合に適用し、 $ \alpha $ が後続順序数の場合 (3) を適用するのが正しいです。 そして $ C $ の極限順序数全体を考えれば同様に証明が進行します。この事実は [4] を 参考にしました。[4] は藤田さんの 「記述集合論ノート」 のページからたどることができます。
(参考文献)
[1] J. Devlin. Constructibility. Perspectives in Mathematical Logic, Springer-Verlag, Berlin-New York, 1984.
[2] Thomas J. Jech. Set Theory. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. The third millennium edition, revised and expanded.
[3] ケネス キューネン著, 藤田 博司訳. 集合論—独立性証明への案内. 日本評論社, 2008.
[4] 藤田博司, 玄妙基数と精妙基数, 2009 年
コメント_てなさく [[1]もDoverにリプリントを出してほしい本ですよね。とかなんとかいいながら、...]
_かがみ [Devlin 本は入手不可能というほどではないのですが、高かったり、安く購入しよ...]
前々から こちら記事 (アンドロイドはしあわせか 「空集合の集合」) は知っていました。 変なこと書いてるなと思い放置していましたが、偶然同一の方による 「一階述語論理の公理」 なるエントリーを発見しました。もしかして一階述語論理を人さまに教えてい らっしゃる？ もしそうならば第一の記事も放置することはできません。結構き ついコメントを書きましたが、古い記事なので、はたして反応があるのかどう かは分かりません。
(追記 2009年1月1日) 上記記事は私の誤った解釈であり事実に反します。誤り です。リンク先の Midwest 様に深くおわび致します。詳しくは上記リンク先 「アンドロイドはしあわせか 『空集合の集合』」 のコメント欄を参照して下さい。また本コメント欄において、Midwest 様に対 し事実に反する記載を行ったことについてもおわびいたします。
(お願い) 本記事のコメントは書き込み不可とはしませんが、できれば Midwest 様以外の方はこれ以上の投稿は行わないで頂けるとうれしいです。
コメント_通りすがり [「空集合{}が存在する」という言明は、実は「無が有る」というパラドックスを引き起...]
_かがみ [余りに影響力が大きいとともに、記述する余白がないため隠しといた事実を知られてしま...]
_通りすがり [＞2^0=1 を受け入れられない人が円周率を受け入れるのは不思議な感じがします。...]
_Stromdorf [「一階述語論理の公理」の方ですが、どうも構文論と意味論をごっちゃにしているように...]
_通りすがり [そもそも述語論理の対象領域は空でないから、例化できるｙは常に存在する。それゆえ∀...]
_通りすがり [ところで「φと｛φ｝の違いが分からない」というお友達の話ですが、そもそも「ａと｛...]
_かがみ [違和感というのは少々違和感がある表現だったかも知れません。で、「一階述語論理」の...]
_かがみ [うーん、そこまで思っていたかどうかは不明です。ところろで私の関連する項目(htt...]
_nuc [そういえば perl というプログラミング言語では(0,(1,2)) と ((0...]
_Stromdorf [ あ、別に大層なことを言ってるんじゃなくて、「公理」っていうのは構文論の概念で、...]
_標準モデル [対象領域が必ず空でないという約束事のことですが、確かこのことに関してはB. Ru...]
_かがみ [(Stromdorf さん) Bourbaki がそういう方式で存在公理をパスし...]
_かがみ [(標準モデルさん) 「重箱の隅」と書いたのは後悔しています。上の方にも書きました...]
_通りすがり [＞Russell自身は対象領域が必ず空であると仮定する必然性は無い、という立場で...]
_かがみ [(nuc さん) すみません。Perl って全然知らないのですが、それが対象の有...]
_nuc [これは失礼しました。それは Perl のリストで対象の順序付き有限列を表します。...]
今日は会社の仕事納めです。私はおうちで仕事納めです (え)
お正月のうるう秒出勤もあることなので休みにしちゃいました。 出勤すれば タダ酒飲み放題 で、さらにお昼解散というおいしいお仕事なのですが、片道二時間以上という のがちょっと。そもそもお酒は飲めないのです。でもお菓子食べ放題を放棄し たのはちょっと心残りです。
コメント_Y.Kumagai [今年はお掃除はどうされたのでしょう(^^)]
_かがみ [今年は去年のような事態が発生しないよう、普段から整理整頓に努めました。というのは...]
今日はクリスマスイブです。モカちゃんへのプレゼントは iPod nano です。と いうか中学生の分際で、shuffle 2つ (一つ目は紛失、次のは shuffle は不便 ということで nano にチェンジ)、nano 2つ (一つ目は紛失。今回のは二つ目) とはぜいたくな。モカちゃんの最大の欠点はすぐにものをなくすことなのです。 え、なくしたものをまた買ってあげるなんて教育上良くないって？ まあモカちゃ んだからいいのです。それに、故意でない失敗に対してあれこれ文句を言うの は好きでないのです。
ところで世の中の人はどうして年末に仕事が出来るのだろう。私の場合、例年 12月20日頃、「もうすぐ今年もおしまい。」と思ったとたん完全に店じまい状 態に入ります。仕事してません。まったくやる気が起きません。それなのに今 週の土曜日は「お正月休みを連結集合にするため」に出社です。いや、その方 針は良いと思うのですが、うるう秒の関係でど真ん中に穴が空いちゃうんです よ。連結成分が二つになってしまいます。あ、でも一週間以上引きこもり生活 するより良いかも。お正月の9時過ぎて問題がなかったら、2009年1月1日8時59 分60秒に「送信された」メールを関係者に配布するのはお約束です。
コメント_てなさく [メリークリスマスです。モカちゃんによろしく(^^)/てなさくの場合、iPod n...]
_かがみ [メリークリスマスです。モカちゃんにはなんと伝えましょうか。「パパが尊敬する人でも...]
_はやし [「故意でない失敗に対してあれこれ文句を言うのは好きでない」……これは、ほんとうに...]
_かがみ [あ、なんかクリスマスイブが終わってしまう。遅くなってすみません。でも米国ではあと...]
_てなさく [ものをなくすのは俺ではなくて、元金管楽器プレイヤーの妻のほうですよ。で、エアコン...]
_かがみ [あ、失礼しました。リモコンのことは知っていましたが、文脈から一般論かと思ってしま...]
_通りすがり [「故意でない失敗」 故意にものをなくすのは珍しいと思うが・・・ｗ私のオヤジなら「...]
_かがみ [ですから「故意でない失敗」なのです。で、私自身ものをなくすことは多いのですが、そ...]
_通りすがり [「それ（ものをなくすこと）が原因で他人の命をなくしたことはないと思います。」 も...]
_かがみ [末っ子に甘くなるのは世の常なのです (^^]
_通りすがり [ボクは長男なんですが（−ε−）]
はやしさんに教えていただいた 、 Paul Cohen の Set Theory and the Continuum Hypothesis が届きました。しっかりタイプ打ちです。もっとも、私自身、利便性はともか く、タイプ打ち原稿の雰囲気は好きです。お値段は1,619円と、歴史的な重要性 をかんがみればとってもお得です。日本語訳もあるのですが今は 入手するのが難しい 状態です。「My interaction with Kurt Gödel : The man and his work.」をの部分を読むだけでも購入する価値があるかも知れません。で、実は この本の主題である強制法に関することはちっとも分かりません。始めての強 制法をこの本で勉強するのは、今となっては余り良くないと思うのですが、集 合論の初歩から L の基本までの雰囲気を楽しむにはとても良い本だと思います。 もちろん強制の部分がきもなので、機会があったらもう一度挑戦したいなとは 考えてます。
コメント_てなさく [Doverのラインナップは侮れませんよねえ。黄色い分厚い本の旧版も収録してもらえ...]
_はやし [うーん、やっぱりタイプ原稿そのまんま、つまり、旧版の版下をそのまま流用、ですか。...]
_かがみ [(てなさくさん) たしかに古典的な名著を良心的な価格でリプリントしてて、集合論の...]
_かがみ [(はやしさん) いやあ、あの価格では仕方がないと思います。私の学生時代はタイプ原...]
_かがみ [よくよく見ると、アレフと全称記号、存在記号はタイプではなく、後で埋めた感じです。...]
_はやし [やっとこさ本が届きました。で、見てみました、手書きの m 。……いや、これは見逃...]
_かがみ [極大イデアルっぽい m かっこいいでしょ。で、さっき学生時代にコピーした Gro...]
最近「お〜いお茶 2リットル 6個入り」を Amazon に注文することが多いので す。配送先は会社です。価格は送料込みで1,200円強なので、近くのコンビニや 自動販売機の 500ml 150円のお茶と比較すればコストは1/3程度となります。さ らにうれしいことに私の机の近くに冷蔵庫があるので、お茶わんに移して飲め ば、一日で飲みきる必要もないのです。ところで Y.Kumagai さんのところにコメントを書いた 日に注文したお茶が、なんと自宅に届きました。たしかに配送先を会社にした はずです。「こりゃ Amazon さん何か手違いしたのかな」と思いつつ、自宅に お茶があるのも悪くはないので、そのまま受け取っちゃいました。で、もう一 度会社用を注文して、また自宅に届くのはさすがに困るので、Amazon に連絡す るためにメールを確認したのです。たしかに会社宛になってる。会社宛。
請求先が会社になっていました (笑)あわわわ、カード払いなので会社に請求書は行かないと思いますが、なにかあっ たら大変な不祥事です。さっそく総務に事情を話しに行き、もし請求書が来た らこういう事情で、ということで了承をもらいました。というか 1,200円のお 茶なので笑い話ですみますが、20万円の PC だったりしたら面倒なことになっ ていたかも知れません。なにかを「会社宛」にする場合十分注意する必要があ りそうです。
話はかわりますが、てなさくさんがコメントや、上のリンク先の「て日々」12 月16日に書いて下さった「鏡」の意味がいまいち分からなかったのですが、こ れは初等的埋め込みのことと思って良いのでしょうか。なんか無粋なことを質 問して申しわけありませんが、教えて頂けるとうれしいです。 そういえば可測基数 $ \kappa $ から作った初等的埋め込みを考え、 $ \kappa $ 鏡を合わせ鏡的に $ j(\kappa) $ 鏡に映すと、 $ j(\kappa) $ 鏡の中に $ \kappa $ 鏡が「可測基数未満」に降格して大量に見える感じがします。同じくリンク先 12月16日の「第17話」も結構悩んだのですが、これはなんと言いますか、分厚 い黄色い本ということで了解致しました (内輪ねたですなあ)。というか下の 12月14日のねたが内輪すぎるのかも知れません。
ただ、うれしいことに、「かがみさんの数学の話は意味不明でも面白い」とい う意味の指摘して下さったかたもおられるので、やはりここはもうひとがんば り数学の勉強をして、色々な数学ねたを考えなければと再認識したのです。
コメント_てなさく [ですから可測石のウルトラパワー鏡の中の世界に行ってもκが依然として可測石のままだ...]
_かがみ [あ、なんか最小の可測石のことばかり考えていました。それでは、おかっぱ萌え萌え娘が...]
_てなさく [おかっぱ…o(κ)ですねウハウハ]
_かがみ [というわけで17話から復習を始めました。実は月曜日を休みにして四連休なので、久々...]
_てなさく [可測石の力を身につけた勇者は「えも言われぬ石の魔法使い」に姿を変えて、L国に潜入...]
_てなさく [と書いてからYahoo!辞書で調べてみたら、「えも言われぬ」は indescri...]
_かがみ [「えも言われぬ石の魔法使い」＜難解すぎます。分からなかったです。すみません。でも...]
_てなさく [さらなる続編にも期待していますが、歴史をさかのぼって、たとえば「外延の呪文により...]
_かがみ [歴史をさかのぼるというか、集合論雑記をきちんとまとめた教科書風の PDF を作り...]
_かがみ [V帝国参謀の計画としては(1) 玄妙石を見つける。(2) ダイアモンド石が見つか...]
_てなさく [では、玄妙基数とラムゼー基数についての集合論雑記に期待してます。…と、自分だけ先...]
本記事はフィクションです。実在のいかなる人物とも関係ありません。
| V帝国大王 | 前々からの指令である L国支配計画は順調に進んでるのか？ |
| 家来 | 申しわけございません。V帝国最大のコンピューターが未だ完全に支配する 方法を出力しません。 |
| V帝国大王 | ばかもん。コンピューターごときが L国を支配する解 を出力するわけがない。 |
| 家来 | いっそのこと支配など考えず破壊してしまうというのはいか がでしょうか。 |
| V帝国大王 | ぶわっかもん。このおろかものめが。先祖の言い伝え によると、L 国を破壊するとわが V帝国も消滅してしまうのだ。ただし可測石 (かそくせき) というものを見つけることができれば簡単に支配できるというの も先祖の言い伝えなのだ。 |
| 家来 | お言葉ですが大王様。ラムゼイ石やゼロシャープ石を見つけ れば L国を支配できるという言い伝えを聞いたことがあります。さらに可測石 より簡単に見つかるという言い伝えもあります。 |
| V帝国大王 | たしかにそういう面もあるのじゃ。だがな、もし可測 石を見つけることができれば、我々は L国を支配するのみならず、ウルトラパ ワーを手に入れることができる。もちろん原爆や水爆のような醜悪なウルトラ パワーならば、ウラン石や重水素石のようなその辺にありふれた平凡な石でも 作ることが可能なのだが、可測石で作ったウルトラパワーは清楚で清純なのだ。 破壊の力ではなく知性の力で L国を支配できる。それに、いざというときウル トラパワーを発揮する清楚で清純な少女は、セーラームーン、初期宮崎アニメ の主人公、赤頭巾チャチャ (アニメ版) 以来萌え萌えと決まっているのだ。 |
| 家来 | 大王様。少々たとえが古いのでは。 |
| V帝国大王 | えーい、うるさい。三人の姫も大きくなり最近のアニ メ事情にはうといのじゃ。可測石ほしい。ほしいよお。可測石、可測石、清楚、 清純、萌え萌えの可測石ほしい。すぐにでも探してくるのじゃ。 |
| 家来 | 可測石を見つけた瞬間に V帝国が滅びる可能性あり、絶対に 安全とは言えないことが言えるという言い伝えがあります。到達不可能石や弱 コンパクト石ではだめでしょうか。 |
| V帝国大王 | 残念ながら到達不可能石や弱コンパクト石では L国を 支配できないのじゃ。それに到達不可能石や弱コンパクト石も V帝国を壊滅さ せないとは言えないことが言えるという言い伝えもある。もっともここにある わが V帝国の地図の精密さを考えれば、到達不可能石はまず大丈夫であろう。 ならば今までの経験からして可測石も大丈夫じゃ。たぶん。もし見かけ上滅び ることがあっても、いくつかの変更でさらに美しく復活できるに違いない。実 はわが祖先も一度滅びかけたのだが、その後の人民の努力によりさらに美しさ と知性を増し復活したのじゃ。 |
| 家来 | ゼロシャープ石は世の中に一つしかないし、その外観も一見 してすぐにそれと分かるものではないという言い伝えがあるので、見つけるの が困難なのは納得できます。ですが、もし可測石があるならば、到達不可能石 や弱コンパクト石、さらには L国を支配できるラムゼイ石も驚くほど大量に存 在するはずです。いまだ一つも見つかっていないのは少々おかしいのでは。こ こは、こちらも清楚、清純なウルトラパワーという感じの飛行石を見つけるほ うが現実的なのではないでしょうか。L国は無理かも知れませんがラピュタ王国 を支配することは可能なはずです。 |
| V帝国大王 | うーむ。ラピュタ王国でシータ王女と二人っきり。い いなあ。だがなんとなく谷山浩子の「王国」みたいで暗い感じがする。さらに もしシータ王女を怒らせ滅びの呪文を唱えられてしまうと、目は見えなくなる し、そもそもラピュタ王国自体が崩壊してしまう。却下じゃ。却下。でもシー タ王女と二人っきり。いいなあ。なんか飛行石でもよさそうな気がしてきた。 いやいや飛行石を手に入れてもパズーとかドーラとかが邪魔しにきて、簡単に ラピュタ王国を支配できるとは限らない。やはり支配するのはこの世で一番美 しいL国じゃ。可測石ほしい。ほしいよお。可測石、可測石、可、測、石。清楚、 清純、萌え萌えウルトラパワーキャラの可測石ほしい。 |
| 家来 | 大王様 |
| V帝国大王 | なんじゃ |
| 家来 | もしかしてそれほど可測石にこだわられるのは、清楚、清純、 萌え萌えウルトラパワー少女キャラが登場するアニメを見たいからだけなのでは。 | V帝国大王 | ぶわっかもーん。可測石の探索はあくまでL国支配のた めじゃ。決して、清楚、清純、萌え萌えウルトラパワー少女キャラ願望なんか ではない。でも、とにかく、可測石ほしい。ほしいよお。可測石、可測石、可、 測、石。清楚、清純、萌え萌えウルトラパワー美少女キャラの可測石ほしい。 ごたく並べてないでとっとと見つけにゆくのじゃ。 |
| 家来 | L国支配のみの目的ならば、直接ゼロシャープ石を発見する ほうが安全度もいくぶん高いと思われますし、非服定理が成り立つことにより、 考えようによっては可測石以上に萌え萌えかも知れません。 |
| V帝国大王 | ちらっと見えるほうが萌え萌えな場合が多いので、非 服定理が萌え萌えかどうかは微妙じゃ。そもそも小さいものや数が多いものが 見つけやすいとか分かりやすいとは限らないのじゃ。ニュートリノや暗黒物質、 それから弱い理論のことを考えれば分かるであろう。それにラムゼイ石や可測 石を使えば、オメガ石の任意の断片であるエー部分石を保有する L[エー] 国も 一括して支配できる。とにかく最初の探索は、清楚、清純、萌え萌えウルトラ パワー美少女キャラ可測石あたりから始めるのが無難なのじゃ。可測石を見つ けるためには、非単項オメガ1完備ウルトラフィルターというのを見つければ良 いので、見つかる確率はともかくとして、ゼロシャープ石に比べ、見つけるた めの探検隊は編成しやすいと考えられる。さっさと探検隊を編成し探索にゆく のじゃ。巨大石探索は萌え萌えであるがむずかしい面も多い。ゆめ油断しては ならぬぞ。それから偶然飛行石を見つけた場合、それを持ち帰るのはかまわぬ が、もしドクロ石を発見しても放置じゃ。絶対に持ち帰ってなならぬ。清楚、 清純、萌え萌え美少女キャラではなく、「ブタもおだてりゃ木に登る」キャラ になってしまう。ささ、早く探索にゆくのじゃ。とっととゆくのじゃ。このス カポンタン。 |
いくつかの仮名漢字誤変換を見落としているかも知れません。ご容赦の程お願 いいたします。
コメント_てなさく [鏡の国の王さまに申し上げます。松山市一番町の愛媛県庁の近く、新聞社支社や弁護士会...]
_かがみ [あ、ほんとに「カフェ・ド・カーディナル」というお店があるとは。行きたいです。それ...]
_通りすがり [仙人「ふぉっふぉっふぉ、清楚、清純、萌え萌えウルトラパワー少女じゃと？甘いのう。...]
_通りすがり [この間、久しぶりに松山に行ったので、昔、一番町にあった「タンドール」という名前の...]
_はやし [これ、もちろんシリーズ化するんですよね？ たのしみにしています。]
_てなさく [一番町のインド料理店・・・ラルキーじゃだめですか？]
_かがみ [いやいや、実は萌え萌えウルトラパワー可測石美少女は二次元属性をもつので永遠に萌え...]
_かがみ [萌え巨大石探索シリーズですか。今回の記事は、自分の心の中では「これからもう一度数...]
_通りすがり [てなさんくさん、残念ながらラルキーという店は発見できなかったのだが、もしかしたら...]
_てなさく [（＞通りすがりさま）ラルキーはタンドールとは別系統の店です。かつて、タンドールと...]
_通りすがり [（＞てなさくさま）場所は伊予鉄の大街道の駅の近くで、三越のある通り沿いだったと記...]
近年希な難航状態であったプロジェクトがとりあえず完了しました。難しくは なかったのですがとんでもなく面倒でした。今後いくつかバグが発生する可能 性はありますが、今までの経験からして、ここまでくれば大丈夫です。来週か ら半月遅れで新しいプロジェクトに専念できます。
代休を消化する必要があるので、不本意ながら (嘘) 明日はお休みです。るん るん。今後の数学の方針について色々考える予定です。というか方針を考える より簡単なことでも良いので、証明を読んだり考えたりして楽しみたいと考え ています。
コメント
定期的にこの日記を読んで下さっている方はお分かりかと思いますが、最近数 学の勉強を全然していません。仕事が忙しいということもあるのですが、三ヶ 月くらい前から自分の集合論のごくごく基本的な部分に対する認識不足という か、実力不足を感じ、もうこのくらいで良いかな、と思い始めていたことも事 実です。50歳になるちょっと前に勉強を始めて、完全性定理, forcing, L の基 礎、可測基数や弱コンパクト基数、それからやっとの思いで基本の基本を追い かけただけですが 0# の概念もほんの少し勉強したのだから、特に 非難されることはないと思います。能力の問題はおいといて、年齢と時間の関 係で演習問題までなかなか手が出ないのが痛いみたいです。
本当にもうだめという感じが強かったのです。
ところが昨日 てなさくさんの 2008年12月6日の日記を読んで、とても面白かったととも に、「せっかくここまで勉強したのだから、だめもとでもう少し進めれば、ま た新しい世界が見えるのではないか」と思い始めました。
0#が存在するという仮定のもとでは、 0#という型1の 対象に、Lのみたすべき性質のすべてが「書き込まれている」ことになる。の部分までは、理解していないことは間違いありませんが、とにかく分かって いる感じになれるのはかなりうれしいのです。さらに0#が存在する 場合、もちろん理屈は分かりますが、集合論の内部モデルとして最小のものと はいえ、とても巨大と思われる L の性質が、自然数の部分集合で規定されてし まうというのもアタリマエ感と不思議感が混在して面白いのです。
自分では余り意識していないのですが、集合論の勉強を始てから、集合や論理 に対する考えに大きな変化が生じたに違いありません。「役に立つから」とい う考えはあまり好みませんが、プログラミングにも良い影響を与えていると思 います。
というわけで今の仕事が一段落したら、また本の始めの方から読み直しですが、 特に初等的埋め込みの基本の基本と強制法についてもう一度きちんと勉強し直 したいと考えています。半年くらいブランクがあると、忘れる速度が驚異的な ので、回復に同じくらいの時間が必要かと思いますが、なんとかもう一度挑戦 しようと思います。
コメント_てなさく [わたくしの一昨日の日記は偽装牛肉的(?)にハッタリなので、あまり真剣にとらないで...]
_くるる [そりゃあもう、お仕事の忙しい中そこまで勉強されたのを非難できる人はそうそういませ...]
_かがみ [(てなさくさん) 0^# の存在を仮定することにより、実際それで具体的に分かるわ...]
_かがみ [(くるるさん) 集合論にかんして、ここ数年で色々な言葉は覚えたと思いますが、やは...]
_てなさく [妻のヘタ絵をご覧くださってありがとうございます。かがみさんのご感想は、すぐ妻に伝...]
_かがみ [今後も期待しておりますのでよろしくお伝えください。]
_通りすがり [＞とても巨大と思われる L の性質が、自然数の部分集合で規定されてしまうというの...]
まだまだ残件が多いのですが、一ヶ月以上連続出社して頭が壊れそうです。な ので明日はお休み。代休は山のようにあるのです。後のことは火曜日に考える ということで。それはそうと新しい MacBook ですが、会社で買うことになりま した。今の黒マックで二年間開発を行ったご褒美ということで。もちろんお仕 事に使うのです。お仕事ですよ。お仕事。私物化するなんてことは絶対にあり ません (^^。本当は自分のを使いたいのですが、何といっても金欠なのです。 二年後に自分の所有物に復帰する予定です。
コメント_miya [もちろん、MacBookPro17インチを頼む訳ですよね？]
_かがみ [いやいや 15インチ MacBook です。ほら、17インチ Pro だと出張の...]
_かがみ [あ、ごめんなさい。13インチの誤りです。15インチでも持ち運びには大きすぎますよ...]
この二ヶ月間ほとんど休まないで作ったプログラムを持ってきました。今まで の経験からして、特に重大な問題が発生するとは考えていませんが、やはり初 体験はどきどきするものです。明後日まで立ち会いなので、おうちに帰るのは 水曜日になります。関係ない話ですが、なんかモカちゃんは三年生の内申点が 全教科最高点だったそうです。高校入試に関して、まだまだ心配のたねは尽き ませんが、ちょっと安心しました。きっと希望の高校に入れると思います。
コメント_ni-capo [ええっ！？モカちゃんはもう高校入試ですかっ！この前まで小学生だと思っていたのに。...]
_miya [内申点全教科最高とか都市伝説かと思っていましたが、あるものですね、身近なところに...]
_てなさく [それはすごい！ぜひ鏡一徹の発明による「数学者養成ギプス」をさせてゆくゆくは集合論...]
_かがみ [(ni-capo さん) 反応が遅くなりもうしわけありません。そうなんですよ。...]
_かがみ [(miya さん) 反応が遅れてすみません。いわゆる 5教科はともかく、体育や美...]
_かがみ [(てなさくさん) 反応が遅くなり申しわけございません。小学生の頃は「将来は数学者...]
_通りすがり [＞モカちゃんはもう高校入試ですかっ！ってことは、来年は女子高生ですか（そこに反応...]
_かがみ [おそらく来年は女子高生です。男子校生にはならないと思います。でも親としてはなんの...]
2008年11月
2009年1月
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