[集合論雑記目次]
順序数はその「内部」で ∈ に関する整列順序構造を持つわけですが、もっ とも著しい性質としては、その「外部」でも同様な整列順序構造を保つことで あり、これにより「順序数全体」という壮大なる階層構造(集合にはなりませ んが)を構築することができるのです。具体的に言うと α,β を順 序数とするとき α∈β という関係がやはり順序の公理と同等 な性質を満たすことが証明出来るのです。これを証明するためにまずいくつか の基本性質を証明します。
[定理]
α,β を順序数とするとき次の性質が成り立つ。(1) の証明(1) NOT(α∈α)
(2) α⊂β のとき α = {γ∈β|γ < β} = β[α]. ここで γ<β は γ∈β のこと
(3) α⊂β は α∈β と同値
α を順序数とし α∈α と仮定すると α∈α∈α となり、左の二つは α 内の順序 を表しているので α<α となり矛盾。(2) の証明
γ を β-α の最小元とし、まず α=β[γ] を証明します。まず NOT(δ∈α) とすると γ の最小性 により γ(3) は順序数の ∈ に関する推移性と (2) により明らか。δ が成立し NOT(δ∈β[γ]) が成立。逆に δ∈α とし NOT(δ∈β[γ]) を仮定すると δ
[定理]
X を順序数からなる集合とするとき X は ∈ に関して整列集合。まず X 上で ∈ が全順序になることを証明する必要があります。 α,β,γ∈X とするとき NOT(α∈α) は 前の証明から成り立ち α∈β,β∈γ が成立す るとき γ の推移性により α∈γ が成立することもす ぐに分かります。従って α∈β,α=β,β∈α のいずれかが排 他的に成立することを示せば十分です。もし排他性が成立せず、例えば α∈β かつ β∈α が成立したと仮定すると α の推移性により α∈α が成立し、前定理 (1) に矛 盾。さて α∩β を考えるとこれも順序数になることはすぐに分 かります。ここで例えば α∩β = α が成立すると α⊆β が成立し、前定理 (2) の結果により α=β または α∈β が成立します。従って α∩β ≠ α かつ α∩β ≠ β を仮定して矛盾を導け ば良いのですが、この場合 α∩β⊂α かつ α∩β⊂β が成立し α∩β⊂ α∩β となり α∩β∈α∩β が成立し矛盾。
最後に X の整列性ですが Y を X の空でない部分集合としα∈Y を 考えます。まず α∩Y = φ の場合は α が Y の最小元と なります。そうでない場合 α∩Y の α 内での順序に関する最 小元が Y の最小元になり証明完了です。
[定理]
X を順序数からなる集合とするとき ∪X は順序数であり ∈ に関する X の上限となる。証明は容易です。この定理により ∪X のことを sup(X) と記述することが 正当化されます。次回は数学的帰納法の順序数に関する拡張である超限帰納法 に関して記述します。
余談ですが本日の定理により「順序数だけの世界」を考えると α∈β とα⊂β は同値なのですが、∈(集合 論の基本記号) と ⊂(単なる省略記号)の概念上の区別に関して中学とか高 校で最初に表面的な「集合」を習ったとき、一瞬悩んだ人も結構いるのではな いかな〜、と想像するのです。それが「順序数の世界」の中では実は同値な概 念になるというのがなかなか面白く、標数 p の体上で (x + y)p = xp + yp が成立する(高校生がこんな式を書いたら せんせに怒られる^^)ことを思い出してしまいました。
