02/25 aiueo  01/01 かがみ  01/01 ゼルプスト殿下  01/01 かがみ  01/01 ゼルプスト殿下  05/10 かがみ   

2004年1月31日(土)  

• キシリトールガムの数を数える

  キシリトールガム を 20年かかって食べるというのはとっても長持ち、という つっこみ があったので、どの位の頻度で食べれば 20年もつのか調査です。で、計算す るにあたって、入れ物に何個入っているか書いてあれば簡単なのですが、150 グラムとしか書いてなく、これは実際に数えてみる必要があります。そこで新 しいのを買ってきて数えてみたところ、全部で 109個入っていまして、20年も たすためには、一年に 5個位しか食べることが出来ないと判明したのですが、 実際には一日に 20 個位食べてしまい、食べすぎであると奧さまに怒られてい る毎日なのであります(^^。

• 無線 LAN アンテナ移動

  二女の PC に取りつけた USB 無線 LAN と基地局間は非常に電波強度が弱く、ちょっと使い物にならない状態だった ので、基地局のアンテナの移動です。移動と言ってもアンテナだけでして、

  -------------------------
             牛・ADSLModem
  部屋 B                  ------------
              アンテナ   扉    廊下    
  -------------===========  ------------ 扉 ------------
  私の作業机・基地局 ↑ふすま|         |
                             |         | 二女 PC 無線
      部屋 A                 |         | 部屋 C
  

  上のような状況で、今まではアンテナが基地局のところにあったのを、ふすま のすきまを通してとなりの部屋に引き出したのです。この移動により電波状況 が「非常に弱い」もしくは「切断」の状況から「弱い」または「非常に弱い」 というふうになりまして、今までのところ切断することはなくなったようです。 それはそうと、ペケピーというのは「ネットワークコンピューター」の「箱」 がデフォルトでデスクトップに配置されていないのかな。捜し出すのに少々苦 労したのであります。

• IBM の営業

  価格ぽちコム によりますと、今なら T40 が 15万円位で買えるお店もあるそうで、ほんとは 私も欲しいのですが、もちろんそんなお金はありません。というわけで、新し くノート PC を買いそうな人に

  T40 はいいですよ〜(^^

  と営業活動をしていたのですが、今回めでたく一件商談がまとまりまして、明 日本体が届くそうなのです。会社の開発用(私のではない)ノート PC も T40 を推薦して購入となりなかなか好評なようですので、IBM から営業用サンプル として一台もらえるなどという話は...あるわけないですな(^^。

• 最新 w3m の謎

  最近とある情報により m17n 対応の w3m(画像表示もあり)にアップデートして、 UTF8 ベースのページ(特に PHP のマニュアル)も参照可能となり非常に重宝し ているのですが、ちょいと困ったこともあるのです。

  [困ったことその 1]
  

  w3m の画像表示が軽快で良いところは、いわゆる OnPaint に対する再 描画を省略してあることでして、例えば w3m のウインドウの上になにかを置 いて、その後それをどけると、表示されていた画像は消えてしまうのです。で、 もう一度描画をさせたい場合、今までは Ctrl-L(UNIX 系環境で通常使用され る画面リフレッシュのキーバインド)で再描画されたのですが、今回からはカー ソルを動かさないと再描画されなくなったようで、ちょっと違和感があるのです。 まあこの問題はどうでも良いのですが...。

  [困ったことその 2]
  

  最近数学関連の記述で ∈[∈]とか ω[ω] とか を多用していまして、前は「アレフ ℵ ℵ」とかよほど特 殊なもの以外は全部表示されていたと思うのですが、今回からは < や > 以外の表示は全滅しているようなのです。事実私の環境では、 こちらの表にまとめた数学記号 は一つも表示されません。設定かなんか必要なのかどうか分かりませんが、こ ちらはちょいと困っていたりします。

  ＃ 二番目の件は ~/.w3m/config に pre_conv ON と記述しておけば良いと
  ＃教えて頂きました。ありがとうございます。

• 続・二女のパソコン

  昨日のことなのですが、やっと机の整理がついて、音楽教室から貸してもらっ たバイト用二女 PC がブートすることになったのです。もちろんネットワーク は必須なのですが(この意見に対してご家族さまは異論があるようです)、子供 部屋は牛が置いてある居間や私の作業場所から扉二つ離れていて、Ethernet ケーブルを引き延ばすのは非常に困難なのです。そこで無線 LAN の登場とな る訳ですが、普通の PC なので、現在余っている PCMCIA のカードは使えず、 仕方がないので会社の帰りに偶然お店に置いてあった USB 対応の無線 LAN 装 置 WLI-USB-S11 を購入です。BUFFALO はちょっとな〜、とも考えたのですが、やはり基地局と おんなじメーカーが良いと思っての決断です。ところが帰りに電車の中で箱を 空けてマニュアルを読んでみたところ、何と、

  本機器は 128 bit WEP には対応していません(-_-)

  と書いてあるではありませんか。しまったー、そんなの当然対応していると思っ て全然確認してなかった〜、と思って箱をみると「128bit WEP 対応」と書い てあるのです。やれやれこれで万が一未対応でも返品できるなと一安心です。

  で、おうちに着いてさっそく この前買ったディスプレイ と借り物本体を設置してブートしたのですが、さすがに 2GHz クラスの Pentium なんとかは速いし、牛に繋いでいたときはちょっとぼけた感じがあっ たディスプレイもやけに写りが良いのです。よしよし後は無線 LAN を動かせ ば完璧だ、と思ってマニュアル通りドライバー等をインストールしたのですが、 マニュアルに書いてある画面が出てこなくて、IP アドレス等の設定は出来る のですが、

  WEP の設定が出来ません(-_-)

  さらに、一応リンクは確立しているらしいのですが、本来近隣無線 LAN 検索 で現われるはずの基地局も現われません。いやいやこれは私が XP の使い方が 分からないからだと思って色々やってみたり、基地局側からプローブしたり試 行錯誤したのですが、事態は全く改善されません。状況をまとめますと、

  箱	128bit WEP 可能と書いてある
  マニュアル	64bit WEP 可能と書いてある
  実際	なんにもできない。アドレスの設定は出来たが平文でも通信不能

  という悲劇的な状況となったのであります。この期に及んでファームウエア─ やドライバーを更新しなければいけなそうな気がしてきて、事実それは正しかっ たのですが、更新にあたりさらなる悲劇が待っていたのです(^^。で、ここま で書いたところで長くなってきたのと、お昼休みも終わりそうなので続きは後 で(^^;。

• 上の続き

  というわけで、ネットワーク関連のドライバー等をネットワーク経由でダウン ロードする必要がある、というのは非常なる矛盾であると思うのですが、仕方 がないので X24 を使って、 BUFFALO のページ から最新のファームウエア─・ドライバー・設定プログラムをダウンロードし たのです。ところがサイズが大きすぎて、分割でもしないとフロッピーには入 らないことが判明し、さらにつらいことには「借り物 PC」にはフロッピーが ついていないということも分かったのです(^^; 。そういうことで、これはも しかしてCD-R に焼くしかないのか、とっても面倒だなーという事態に陥った のですが、二女に「先生にデーターを渡すときはどうしているの」と聞いたと ころ、USB に挿すスティックメモリーを取り出して、

  「これ使ってる。大切なデータが入っているから絶対に消さないでよ」

  とのことなのです。むむむっ、私でさえ使ったことがないのに生意気な、と思 いながらも、重宝そうなので試しに X24 に挿してみたところ、うまいこと認 識して MSDOS マウントも可能だったのです。そこでさっそくダウンロードし たファイルをコピーしたのですが、

  いつまでたってもコピーが終わりません(-_-)

  Ctrl-C でも終了しないし、強制アンマウントも効果がありません。この状態 はデバイスドライバーが I/O 完了待ち状態にもかかわらず、I/O が完了しな い場合に発生するのですが、こうなってしまうとリカバリーするのはまず不可 能なのです(kill -9 でもだめ)。そこで OS ごと固まるだろうな〜、と思いな がらスティックを抜いたところ、案の定固まりました(^^;。うううっ、バック アップとらなかったし、もし二女の(バイトの)データ─ファイルがなくなった り、壊れてしまっていたらどうしよう。とても苦労して作っていたのを知って いるので、本当に冷や汗ものだったのです。いずれにしても何とかしなければ いけないので、牛に挿して恐る恐る chkdsk の実行です。ここで「クラスター 番号が不良です。切り捨てます」とか出たらアウトなのですが、幸いにしてダ ウンロードしたファイルが一つ 0 バイトになっていただけで、元からあった ファイルは無事だったのです。いやはやほんとに危なかったのですが、なんと か平常心に戻り、牛経由でダウンロードしたファイルをコピーして、後は問題 なくバージョンアップに成功して、さらに 128bit WEP での接続もうまく行っ たのです。ただし電波の強度が非常に弱く、場合によっては切断が発生する場 合もあるようですので、基地局の置場所を工夫する必要がありそうです。

  後になって冷静に考えると USB 経由の SD カードライターとかを使っても良 かったのですが、ファイルのコピーというとネットワーク・フロッピー・CD-R という先入観があって、そのことには全然気が付かなかったのです。いずれに しても、最近の BUFFALO さんの品質管理(ソフトもハードも)に関しては、ちょ いと問題ありです。購入時の状態でせめて 64bit WEP が動作してくれないの ではお話になりません。

  ＃どうして X24 と Ethernet クロスケーブルで繋げば良いことに
  ＃気が付かなかったのだろう。やはり熱くなってた？。

• 復活〜

  昨日病院に行って薬をもらってきて飲んだら復活したのです。

• LaTeX ではまる

  今日は一日ドキュメント書きでして、道具としては Word の使い方が分からな いのと、もっと重要な理由としては、文章の論理構造を明確にするために、 LaTeX を使用する場合が多いのです。その後 DVI,PS,PDF での配布で問題がな ければそれでよいし、どうしても Word でという場合は非常に見栄えが悪くな るのですが、LaTeX2Html で HTML に変換して、無理やり Word に読み込ませ てちょこちょこ見栄えを調整するのです。それはそうと久し振りの LaTeX 書 きで、さらに最近は(この日記で) HTML ばかり書いているので、最初のうちは、

  \begin{itemize} を <ul>

  とか書いてしまって、慣れるまで少々時間がかかったのです。WWW の標準が HTML でなく LaTeX だったらとても幸せだったのに...。

  ＃特に \verb+...+ を <b>...</b> と書くミスが多いのです。

• 最近はまっているもの

  最近キシリトールガムにはまっているのです。私は寝る前に甘いものを食べて、 その後歯を磨かなくても大丈夫、という絶対に虫歯にならないうれしい体質な のですが、歯茎の方はちょっとまずい感じでして、あと 10年くらい経ったら ぼろぼろ抜け始めるのではないかと心配だったのです。ところがこれを食べ始 めてからとても調子が良いのですねー。この調子が続けばあと 20年くらいは もちそうな気がします。ちなみに、ガムの残骸を処理するための紙も入ってい るのですが、私はガムをそのまま飲み込んでしまう人なので、付箋としても重 宝しているのであります。

  XYLITOL ガム

  中に入っている紙

• 風邪でダウン

  風邪で死亡中なのです。

• アンケート

  二女とモカに古い漫画を知っているか聞いてみました。そもそも私自身があん まり知らないので、非常にサンプルが少ないです。

  お題目	モカ	二女
  鉄腕アトム	○	○
  鉄人28号	○	×
  明日のジョー	○	○
  巨人の星	○	○
  ど根性カエル	○	○
  筋肉マン	○	○
  うる星やつら	×	○
  ポ─の一族	×	×
  まことちゃん	×	×
  がきデカ	×	×
  マカロニほうれんそう	×	×

  むむむっ、ちっちゃい割には案外知っているものですな。ちなみに「白いワニ」 「コンダーラ」は二人とも知らないそうな(^^。

• 吉野家と言えば

  来月になると牛丼が食べれなくなる可能性が強いので、家から歩いて 15分く らいのところにある吉野家に牛丼を食べに行ってきたのです。大盛・味噌汁・ おしんこで 600 円弱なり。食べに行ったのは 13時30分頃なのですが、お客さ んは十数人でして、牛丼以外を食べている人は皆無。個人的には「牛丼のない 吉野家」なんて〜、という気がして食べに行く気がしないのですが、本当に来 月からお客さんが入るのだろうか。

• 赤ぽっちん到着

  というわけで 、昨日届いていたのですが再配達してもらう時間がなく、本日帰宅したところ モカが受け取ってくれていて、ちゃんと机の上に置いてあったのです。で、今 回購入の最大の目的である「また 巨大な箱 に入ってくるのか^^;」ということ なのですが、写真をご覧になればお分かりの様に、赤ぽっちんを入れるには大 きすぎるとは言え、薄っぺらい封筒に入ってきたのです。うーむ、ちょっとつ まんないですな。ちなみに IBM はよほど赤ぽっちんを売りたくない のかどうか知りませんが、なかなか注文の画面にたどりつけずにあっちこっち をうろうろして、注文するまで 30分位かかってしまったのは絶対に内緒なの です(^^。

  普通の袋に入ってきた

  赤ぽっちん揃い踏み

  ＃こんなに赤ぽっちんためこんじゃって。どうしよう...。

• X-Mailer 変更

  会社の N さんにちょっと .emacs の設定を教えたところ、お返しということ で mew の X-Mailer: をかっこよくする方法を教えてもらったのです。こんな 感じでして、

  -------------------------------------------------------------------------
  (defconst mew-x-mailer
    ;;(let ((base-system-name system-configuration))
    (let ((base-system-name 
      (shell-command-to-string "uname -sr | tr -d '\\n'")))
      (concat mew-version " on "
  	    (if (string-match "XEmacs" emacs-version) "XEmacs" "Emacs")
  	    (if (boundp 'emacs-program-version)
  		(format " %s " emacs-program-version)
  	      (format " %d.%d " emacs-major-version emacs-minor-version))
  	    (and (boundp 'xemacs-codename)
  		 (string-match "^[a-zA-Z0-9 ]+$" xemacs-codename)
  		 (concat "(" xemacs-codename ")"))
  	    (concat "/ " base-system-name)))
    ;;(and (boundp 'mule-version) (concat "/ Mule " mule-version)))
    "*A value inserted into X-Mailer: field in Draft mode if *non-nil*.")
  -------------------------------------------------------------------------
  

  今までは、

  X-Mailer: Mew version 3.3 on Emacs 21.3 / Mule 5.0 (SAKAKI)

  という決めうちだったのが上記の変更により、

  X-Mailer: Mew version 3.3 on Emacs 21.3 / FreeBSD 4.9-STABLE

  という感じになり OS の version が「動的に」入るようになったのです。ち なみに N さん曰く、「OS にこだわる人はこういう風にしなきゃだめ〜」とい うことで、私も割り合いこだわる方なのでとってもうれしいのであります。

  ＃全然関係ない話ですが Mozilla を 1.6 に上げたら
  ＃「日本語ドメイン」をちゃんと認識するようです。
  ＃ http://www.宇宙の子供.com しか知らないが(^^。
  ＃「ＷＷＷ。宇宙の子供。ＣＯＭ」でもよし。
  ＃そうはいうもののはっきり言って不便なだけですな。

• 無限公理と自然数

  [集合論雑記目次]

  ちょっと前に 自然数の最初の方 0,1,2,3,4,5 程度を具体的に定義しましたが、一般的には まだ定義出来ていません。ただし直感的には n が「自然数」の場合 n∪{n} を「次の自然数」と定義すればよさそうです。すると次のような定 義を思いつきます。

  0(=φ)は自然数である。
  n が自然数のとき n∪{n} も自然数である。
  自然数は上記のものに限る。

  これで全然問題がなさそうな気がしますが、実際には色々問題点があるのです。 まず第一に上記の定義方法は「対象(自然数)の定義」を「日本語」で書いてあ り、「自然数」という言葉自体は述語論理の記号の置き換え(プログラムで言 えばマクロのようなもの)と考えても、これらを述語論理の記号列に置き換え るのは困難なのです。さらに上の記述は「帰納的な定義」なので問題ないので はとも考えられなくもないのですが、超数学の立場ならともかく、数学(集合 論)の形式的な立場では帰納法に関する証明はもちろん定義さえまだ出来てい ないのです。いずれにしても 「一億未満の自然数の定義」というならば、定 義を一億個書き並べれば良いので原理的には可能なのですが、集合論での一般 の自然数の定義は今までの公理では不可能であり、何らかの超越的概念が必要 となってくるのです。そこでまず集合論で定義可能な「帰納集合」という概念 を導入します。

  [定義]

  集合 I が帰納集合とは次の条件を満たすこと。
  

  • φ∈I
  • x ∈ I のとき x∪{x} ∈ I

  [自然数の定義]

  任意の帰納集合 I に対して x∈I のとき x を自然数と呼ぶ。

  やっと自然数の定義が出来たようですが、帰納集合が一つも存在しなければ上 記の定義は全く役に立ちません。そこで無限公理。

  [公理 7. 無限公理]

  帰納集合が存在する。

  無限公理の導入と内包の公理により「自然数全体」は集合になることが分かり ます。この集合を当面 N または ω と記述します。ここまでの 準備で N 上の通常の演算、数学的帰納法、数学的帰納法による関数の 定義等が可能となりますが、そのあたりの詳細は次回以降ということで。

• 液晶ディスプレイ来たる

  家に帰ったら、 注文しておいた 17inch の液晶ディスプレイが届いていました。新しい PC は置き場の整理が まだついていないので、牛に接続して眺めてみました。画質に関しては 前に買った 15inch のディスプレイ よりちょいと鮮やかさが劣る感じがしますが、40,000円という価格を考えれば 順当な買い物であったと思いますし、さすがに 17inch の画面は大きくてとて も便利そうなのです。

  ＃仮想画面が大きい(1600x1440)ので全然不便ではないのですが、
  ＃17inch の画面を見た後 X24 の画面を見るととてもちっちゃいです(^^;。

• とっても多いサイエンス倶楽部の検索

  たまにモカ姫のサイエンス倶楽部関連のねたを書いているのですが、普段は一 週間に一回くらい検索で来られる方がいるのです。ところが今日はなんと 25 件も関連がなさそうなアドレスから検索によるアクセスが集中しまして、少々 驚いているのです。どうしたのだろう。来年度の募集でも始めたのだろうか。 それにしても、 「くまそはにわ」 の部分のアクセスが一番多いとは、検索した人にとってもサイエンス倶楽部に とっても非常に不幸な事態としか言いようがありませんな(^^。

  ＃真面目な話として、サイエンス倶楽部の先生方はとても優秀ですし、
  ＃理科教育としてすらばしいものを持っていると思います。
  ＃特に面白い題材と話術で子供の興味を引かせるのが上手。

• 赤ぽっちんの誘惑

  たかたにさんの記事 によりますと、IBM の USB メモリーが 巨大な箱 ではなく、普通の袋に入って届けられたとのこと。で、たかたにさんは「赤ぽっ ちん」がどのような形態で届けられるか知りたくて知りたくて、試しに発注し たい誘惑にかろうじて勝ったそうなのですが、なんとなく私を人柱にしたいと いう意図が感じられるのです(^^。

  どうしよう。 旧式赤ぽっちん 5個6個も余ってるし...。

• 液晶ディスプレイ注文

  なかなか決まらなかった二女 PC 用のディスプレイなのですが、結局 17inch の液晶が一番無難かな〜、と思いまして実売価格が 40,000円の こちらを注文 です。インターネットでうわさを拾うと、デザインは見ての通りいまいちなの ですが、画面の写りや価格はかなりよろしいということで、BUFFALO というの がちょっとなんなのですが、まあどうせ OEM だし関係ないであろうと考えて これに決定したのです。おそらく明日か明後日には届くはずなので、あとは無 線 LAN (おそらく USB 対応の)を買えばめでたくブートの準備が整うのです。 ところで、これでおうちで使う PC がなんと 4台になるわけなのですが、一般 家庭としてはちょいと多すぎですかね(^^。

• 大分良くなったヒンジ

  というわけで 、さすがにキーボードをはがすのは面倒だったので、背面のねじ と前面の下の写真の丸いところに隠れているネジを閉め直したのです。丸いと ころをはがすのが大変かな〜、と思ったのですが、単なるプラスチックシール でして、マイナスのねじ回しで周辺をむにむにしたら簡単にはがれたのです。

  

  やってみると右側のネジが激ゆるみでして、これががたつきの最大原因だった ようで、しめ直したところ状況が劇的に改善しました。あとは蓋の開閉を頻繁 に行わないように注意すれば、しばらくは大丈夫そうです。

• みみずの縦割り

  奧さまと話していたら、小さいときにミミズが輪切りで再生するかどうか実際 に切ってみたそうで、その結果は忘れてしまったそうなのですが、なんと縦割 りにも挑戦したそうなのです(^^。残念ながら上手く切れなかったらしいので すが、私はミミズ(芋虫・毛虫も)が苦手でそんな大それたことはとても出来な いし、そもそも縦割りのミミズが二匹になったのを想像するだけで、とっても とっても恐くなってしまうのです(^^。

• ゆるんできたヒンジ

  最近 X24 のヒンジがちょっと甘くなってきた感じで、まだ実害があるという ほどではないのですが、今後がちょっと心配なのです。実を言いますと、席を 離れるときなどに無意識にふたをしめる癖がありまして、一日 20回位空け締 めをしていた感じで、最近は気をつけてはいるのですが、きっと今まで 10,000回程度開閉が行われたと思われるのです。なんとかならないかな〜、と インターネットをうろついていたら、 こちら にネジを閉め直す方法が書いてありまして、キーボードを取り外す必要がある そうです。やってみたい気がしないではないのですが、 なんせ壊してしまった前科があるので なかなか決断がつかないのであります。

• 二項関係

  [集合論雑記目次]

  R を集合とします、R が次の条件を満たすとき R を二項関係と呼びま す。

  任意の R の要素 z に対して z=(x,y) なる x,y が存在する。

  言い換えると R は順序対からなる集合であるということです。(a,b)∈R のことを aRb と記述し a,b は R-関係にあると表記する場合もあります。

  [定理]

  ある y が存在して (x,y)∈R となる x 全体は集合
  ある x が存在して (x,y)∈R となる y 全体は集合

  T=∪(∪R) とすると (x,y)∈R は {{x},{x,y}}∈R のことであ り、従って {x}∈∪R,{x,y}∈∪R。従って x∈T, y∈T が成立する。T は集合なので内包の公理により定理は明らか。
  定理の最初の x 全体を dom(R)、二番目の y 全体を ran(R) と 記述する。R⊆dom(R) x ran(R) となるのは明らか。

  [R と S の合成]

  R と S を二項関係とするとき、次の集合を S・R と記述します。
  {(x,z)|ある y が存在して (x,y)∈R かつ (y,z)∈S}

  T・(S・R) = T・(S・R) が成立することはすぐに分かります。

  [R の逆関係]

  {(y,x)|(x,y)∈R} を R の逆関係といい R^-1 と記述します。

• 関数関係と写像

  [集合論雑記目次]

  二項関係 R が次の条件を満たすとき関数関係と呼びます。

  xRy かつ xRy' ならば y = y'

  さて、A を dom(R) とし B を ran(R) を含む集合とします。このとき x∈A に対して xRy なる y はただ一つ定まるので、「関数的な」表記が 可能となり、三組 (R,A,B)…[((R,A),B)のこと]を R から導入された A から B への写像と呼びます。この場合 f を (R,A,B) のこととして、

  f: A → B

  と記述し、「f は A から B への写像」と呼ぶことを許すこととします。また xRy の場合 f(x) を y のことと定義し y = f(x) なる記法を使用する場合も あります。上の記法で f は三組 (R,A,B) の単なる言い換えであることに注意 する必要があります。また言葉の乱用で dom(f),ran(f) をそれぞれ dom(R),ran(R) のこととすると、定義により dom(f)=A, ran(f)⊆B とな ります。特に A x A の部分集合で x∈A に対する (x,x) 全体からな る関数関係に対応する写像を A 上の恒等写像とよび id_A と記述 します。

  id: A → A    id(x)=x for x ∈ A

  R,S を関数関係とし、(R,A,B) (S,B,C) をそれぞれ f,g とする とき(R・S,A,C) を

  g・f: A → C

  と記述し f と g の合成写像と呼びます。x,y∈A で f(x) = f(y) が x = y を導くとき f を一対一の写像 と言います。また ran(f)=B のとき f を上への写像と呼びます。f が一対一かつ上への写像の場合、 (R,A,B)を 逆関係はを B x A 上で考えると (R^-1,B,A) は写 像となります。この関係に「対応する写像」を

  f^-1: B → A

  と記述して f の逆写像と呼びます。このとき f^-1 も一対 一かつ上への写像となります。さらに次の事実も簡単に分かります。

  f: A → B と g: B → C がともに一対一ならば g・f も一対一
  

  f: A → B と g: B → C がともに上への写像ならば g・f も上への写像
  

  A が空集合でなく f: A → B が一対一の写像のとき
  g: B → A で g・f = id_A なるものが存在する

  写像に関して良く知られた基本性質は、今までの公理から容易に導くことが可 能です。ただし、

  A → B が上への写像のとき
  g: B → A で f・g = id_B なるものが存在する

  ことの証明には後述の「選択公理」必要です。いよいよ次回は「無限公理」を 導入し「自然数全体の集合」を考えることにします。

• 来なくなった evariste.dd.que.ne.jp へのアクセス

  ドメインを取得して もうすぐ一月なのですが、 Redirect の効果 があったようで、一昨日から旧借り物サブドメイン evariste.dd.que.ne.jp に対するアクセスがほとんどなくなりました。試しに Google で本ページを適 当なキーワードで検索すると、確かにほとんど evariste.que.ne.jp もしくは evariste.jp になっているようで、もう少し様子をみて自宅サーバーの Redirect 元環境(evariste.dd.que.ne.jp)を廃止するとともに、 evariste.dd.que.ne.jp に対する DDNS のサービスを中止する様 アイネットディー に申請する予定なのです。ところでメールアドレスは昨日のようなトラブルが 発生した場合を考えると、公式にはそれなりに信頼出来るホスト宛 (evariste.que.ne.jp)の使用を継続したいのですが、日記の方は数日間動かな くなっても特に実害があるとは思えないので、evariste.jp を公式なホストに したいと思うのです。というわけで次のねたへ。

• お願い

  ありがたくもブックマークに登録して下さったり、リンクを張って下さったり、 アンテナに登録して下さっている方へのお願いなのです。まことにお手数です が、

  ページトップへのリンク	http://evariste.jp/kagami/index.html
  最新の日記へのリンク	http://evariste.jp/kagami/diary/0000/newdiary.html
  特定の月の日記へのリンク(例)	http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200401.html
  特定の日の日記へのリンク(例)	http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200401.html#16
  特定の記事へのリンク(例)	http://evariste.jp/kagami/diary/0000/200401.html#20040116-2

  と変更をお願い致します。

• おうちに繋がらなくなる

  今日の 11時半頃から突然おうちのサーバーと通信が出来なくなり、NTT 東日 本や IIJmio のページを調べてみたのですが、特に障害情報も出ていなかった のです。むむむっ、もしかしてサーバー(R30)がダウンしてしまったのか、最 悪壊れてしまったのか、困ったな─と思いおうちに電話をかけたのです。おり よく奧さまが在宅でして、まずは 一番あやしいと思われる R30 に繋がっているネットワークケーブルをむにむにしてもらったのですが 反応なし。仕方がないのでlogin 画面で改行をたたいてもらったところこちら は反応があるとのこと。良かった〜壊れてなかった(^^。さらに ADSL モデム のランプを見てもらったのですが、こちらも大丈夫そうで、おうちの LAN の 線は繋がっている感じなのです。むむむっ、原因が分からない。もしかして ppp が死んでしまっているのかとも思ったのですが、そこまで調べてもらうの は無理なのでちょっと困った状態になったのです。ところがうれしいことに、 そんなこんな電話で話をしているうちに突然 ssh の反応があったのです(^^。

  やはり原因は R30 の外向きの PCMCIA カードに挿さっている「爪がとれちゃっ た^^」ケーブルのせいらしく、むにむにしてもらってから実際に PPP の接続 が確立するまで少々時間がかかったようです。いやはや、いくらおうちにそれ しかなかったとは言っても、やはりいいかげんな配線は良くないですね─。今 日は新しいネットワークケーブルを買って帰る必要がありそうです。

  ＃教訓・爪がとれちゃったイーサネットケーブルを使うのは危険です(^^。

• リロケーション情報

  実行可能バイナリーファイルが外部参照している関数を見るてぬきな方法としては、

  • grep のバイナリーモードで推測する
  • strings コマンドと grep を組み合わせて推測する

  が結構使われまして、個人的には 2番目を使う場合が多いのですが、あくまで も推測であり、本当は

  objdump -R なんたら

  とするのが正しい様です。

• 安物ルーター in 会社

  実を言いますと、現在会社からのインターネットへの物理的な経路は二つあり まして、一つが B FLET'S で、もう一つが何と生きた化石とも思える 「128Kbps 専用線」なのです。しかも専用線の方は月額 7万円以上の 費用が発生している(おい^^)、ということで来月初旬に廃止して全部の経路を B FLET'S 側へ統合することにしたのです。ところで、今までは光ファイバー 側に何か問題があった時、メールを取り込んだり、ブラウザでインターネット をうろつく程度の用途に、電波系(含自分)以外の人たちは、一時的に「専用線」 側に経路を変更することでしのいでいたのですが、今後は B FLET'S に何か障 害があると代替がなく心配だな〜、という意見も結構あったのです。そういう ことでお金がかからないバックアップ方法を考えていたのですが、うまいこと テスト用の 8Mbps の ADSL 回線がほとんど使われずに放置されている、とい うことなのでさっそく近くの電気屋さんで安物の BB ルーターを購入して実験 です。

  メーカーの選択なのですが、BUFFALO は個人的にちょっとはずれを引き続けた ので、今日はコレガの 5,000 円位の BB ルーターを購入です。ほんとは 3,000円台のもあったのですが、一番安いのもなんだし、どうせ自分のお財布 が痛む訳ではないので、2番目に安いのを選択したのです(^^;。
  さっそく会社に戻って箱を空けてみると、なんか新聞の広告みたいな説明書が 一枚入っているだけで、「詳しいマニュアルはダウンロードして下さい」との こと。むむむっ、さすがに安物だけのことはありますな(^^;。でも、これが繋 がらないとインターネットへ出れない人はどうするのだろう...。それはとも かくとして、もちろん内側の初期設定 IP アドレス位のことはその紙にも書い てありまして、そのアドレスにブラウザで接続するとメニューが現われて、設 定自体は常識的に行うことが可能だったのです。そこで、しばらくごちゃごちゃ やって「よしよし完璧な設定だ〜」、と思いつつモデムに繋いで試してみると、

  全然繋がりません(-_-)

  いやいやあれほど真面目に設定したのにおかしいな〜、と思ってモデムを見る とデータランプが全然点灯してないのです。むむむっ、このルーターは PPPoE に設定してあるのに接続にさえ行かない不良品なのだろうか、としばらく考え たりリブートしてみたりしたのですが、全く事態は改善しません。実を言いま すと接続したかどうかを確認するために、実際に IP を(外に)投げてみるので はなく、ブラウザでルーターの「状況表示」を見ていたのですが、そのとき横 にいた人が「ping も通らないのですか」と言うので、「だってアドレスも振 られていないのに通る訳ないじゃん」なんて言いながら外に ping を打ってみ たら、なんと応答があったのです(^^;。

  いやはや、このルーターは誰かが外向きの IP を投げるのを契機として接続を 開始するのですねー。こう言うのはあんまり好きでないし、思考の対象からも 完全に抜けていたのです。それからご丁寧にも「連続無通信切断時間」という 設定項目もありまして、これが 0分から 60分まで設定できまして、デフォル トでは 10分になっていたのですが、勝手に切れては困るので、きっと 0 にす れば無効になるであろうと思い、その様に設定したのですが本当に大丈夫なの かな(^^;。どうせバックアップ用なので本当はそんなことどうでも良いのです が、安物 BB ルーターというのもメーカーにより色々と癖があるものですな。

  ＃安定性とかはまだ全然分からないのですが、添付のドキュメントや、
  ＃設定の分かりやすさは BUFFALO の方が若干良いかも知れません。

• なかかな決まらないディスプレイ

  うーむ、やはり 17inch となると液晶は高いし、25,000円位出すとそれなりの ブラウン管モニターが買えそうだし、意外と悩みは深いのです。さらには、そ んなことを話していたら二女が「15 inch でもいいかな〜」と言い出したので ますます混迷は深まるばかりなのです。

• 慣れないこと

  昨日はテレビでジュラシックパークを見た後、23時半頃から今日の朝まで慣れ ない文章書き(^^;。いやはやなかなかうまくゆかないもので、自分でもいまい ち感があるのですが、とりあえず完成。後でもう少し直したくなりそうな...。

• 巾集合の公理

  [集合論雑記目次]

  次の公理を導入します。

  [公理 6. 巾集合の公理]
  

  任意の y に対してある x が存在して (∀z)(z∈x <—> z⊆y)
  y の部分集合全体からなる集合が存在する。

  外延性の公理により、この公理で存在が認められる集合は各 y に対して一意 に定まることが分かり、y の巾集合と呼び P(x) と記述します。 ここで順序対を定義して積集合を定義します。

  [定義]
  

  x,y を集合とするとき {{x},{x,y}} を x,y の順序対と言い (x,y) と記述する

  外延性の公理より (x,y)=(x',y') は (x=x' AND y=y') と同値であることはす ぐに分かります。さて A,B を集合として x∈A, y∈B としますと、 x∈A∪B, y∈A∪B なので {x}∈P(A∪B), {x,y}∈P(A∪B)。従って (x,y)={{x},{x,y}} は P(P(A∪B)) の要素となり、内包の公理により、

  A,B を集合とするとき x∈A, y∈B に対する (x,y) 全体は集合となる

  ことが分かります。この集合を A と B の積集合と呼び A x B と記述し ます。

  で、ここから関数関係等の話を書こうと思っていたのですが、ちょっと疲れて きたのでこんど(^^。

• 久々に車の運転

  今日は奧さまとモカが 「藤沢市科学少年団」 の「野外観察・六国見山・鎌倉湖の自然」というお題目で、二人で朝 8時頃か ら出かけた...、と思っていたらすぐに帰ってきてしまったのです(^^;。事情 を聞くと全然バスが来ないので間に合わない、ということでしてそれでは車で 送りましょうということで、何年ぶりかの運転です(^^;。 藤沢駅まで送っていったのは良いのですが、極度の方向音痴のため駅から自宅 まで自力で到着できるかが心配だったのですが、今日はめずらしくトラブルな しで帰宅できたのです。それで、集合時間にはぎりぎり間に合ったそうでして、 16 時頃モカ姫の帰ってきての最初の言葉が、

  あっ、パパちゃんと帰ってきている。まだ迷っていたんじゃないんだ

  ということで、まったく信用がないのであります。ちなみに最近は数年に一度 しか運転しないので(方向音痴であることが最大の理由)、免許証の更新の時は いつもゴールドで保険も安い、というご利益もあったりします(^^。

• ゴールドバッハ予想

  ご存じの方(もちろんねたを提供して下さった方も)も多いと思いますが、水曜 日に書いた「偶数と言えば」はゴー ルドバッハの予想と言いまして、今だ未解決なる問題なのです。未解決の数学 問題は専門家以外の人には意味不明なものが多い中で、1995年にアンドリュー・ ワイルズにより解決されたフェルマ─予想(即ち今は定理)とともに、解決は難 しいが意味は分かりやすい二大予想と言えると思いますが、こちらはフェルマ ─予想の証明に使われたような代数幾何学的な手法に帰着することが難しそう で、当面解決されることはなさそうな気がします。そもそもフェルマ─予想も ゴールドバッハ予想も、「証明されれば個別的には面白いが、それ自体は数学 の発展には余り寄与しない」タイプの問題で、アマチュア数学者の「とんでも 証明」は山の様にあるのですが、何かの切っ掛けがない限り現代の数学者が本 気で証明にとりくむようなタイプの問題ではないのです。フェルマ─予想が解 決されたのは、1983 年にゲルハルト・フライが「谷山・志村予想」の解決が フェルマ─予想の解決を導く可能性があることを指摘し、それを 1986 年にケ ン・リベットが証明し、「谷山・志村予想」は数学的に極めて多産な予想であ ることが切っ掛けになったのであり、ゴールドバッハ予想に関しても、このよ うな「多産な問題からの帰着」という発見がない限り、プロの数学者が本気で とりくむとは思えず、従って証明されることもないと推測するのであります。

• 全然分からないトラックバック

  昨日と一昨日に続いて忙しかったのです。なので日記はお休み。ところで トラックバックの意味 が全然理解できず、例えば「つっこみ／トラックバック」に何か書いた場合、 前の「つっこみ」に比してどんなうれしいこと(違い)が起きるのか全く分から ないし、もちろんその結果がどこに反映されるかも全然理解出来ていななかっ たりします(^^。

  うーむ、やっと少し分かってきたような。でもまだちょっと〜(^^。もう少し 勉強する必要がありそうです。どうもありがとうございます。

• 出張

  昨日の午後から突然山梨県禾生(かせい)に泊まりで出張なのです。昨日は 11 時頃まで作業して、今日も午前中作業で 15時に会社に戻る。ちょっと疲れま したな。

• 奇数と言えば

  n を自然数(≥1)とするとき、最初の n 個の奇数和、1+3+5+...+(2n-1) は 等差数列の公式により n² となるので、高校生の時普通に数学を 勉強していた人にとってはトリビアルかな。

  ＃こちらは見た瞬間に分かったのだ(^^。

• 偶数と言えば

  例えば 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, 10=3+7, 12=5+7, 14=3+11, 16=3+13, 18=5+13... と任意の偶数(≥4)は 2つの素数の和で書けるのはトリビアル？(^^。

  こちらは 10000 までの実例。
  こちらは 1000000 までの実例(巨大 15M)。
  

  ちなみに 10000 までの偶数に対して和を構成するに必要な最小素数の最大は、 7426=173+7253 で、1000000 まで偶数に対しては、 503222=523+502699。案外小さいですな。

• 冬休み最終日

  今日は子供達の冬休み最終日なのですが、モカはすでに宿題完了で、高校一年 の二女は宿題なしというとってもうらやましい状況で、休み中ゲーム三昧の生 活だったのです(ずっとテニスの王子様ゲームやってた)。最大の問題は浪人中 の長女で、希望の大学に合格できると良いのですが今年はどうなることやら。 ちなみに二女はアメリカ狂牛病騒ぎの直前に買った「 ビーフジャーキー を食べるべきか食べざるべきか」という深遠なる悩みで夜も眠れないそうな(^^。

  私も早めに吉野家に行きたいな〜、と思っているのですが、脳がスポンジにな るのも困るし...。むむむっ、確かに夜も眠れない深遠なる悩みですな(^^;。

• お休み

  新年早々今日はちょっと体調不良でお休みなのです。いや、行けないほどでは なかったのですが、 代休も余っている ことだし...。

• 対の公理・合併の公理

  [集合論雑記目次]

  お正月中に ずいぶん書いた [なんか書き始めたらアクセス数が減ってきたような気が...(^^]つもりなので すが、未だに手持ちの集合は空集合 φ だけという情けない状況なので、 ここで任意の「自然数(有限順序数)」を(とりあえず直感的に)構成するに必要 な公理群を導入します。

  [公理 4. 対の公理]
  

  (∀x)(∀y)(∃z)((x∈z) AND (y∈z))
  x,y を集合とするとき x と y を要素とする集合が存在する。

  特に、対の公理と 内包の公理 により x,y のみを要素とする集合が存在することが示せまして、この 集合 {z|z=x OR z=y} を {x,y} と記述します。 特に x=y の場合は {x} と記 述します。対の公理は 2項論理式を外延化するのに有効なのですが、ここでは 順序数(自然数) 1 と 2 を構成するのに使用します。

  1 = {0} = {φ}
  2 = {0,1} = {φ,{φ}}

  0 = φ はすでに定義済なので、なんと手持ちの数が 0,1,2 のみっつになっ たのです。うーん素晴らしい(^^;。でもまだ 3 は定義できそうにありません。 そこで合併の公理。

  [公理 5. 合併の公理]
  

  x を集合とするとき x のある要素に含まれる要素全体はを集合である。
  即ち (∃u)(u∈x AND z∈u) を満たす z 全体は集合。

  この集合を x の合併といい ∪x と記述します。また ∪{a,b} を a∪b と記述する場合があります。またこの公理とは関係がない のですが、内包の公理により x≠φ の場合

  x を空でない集合とする場合、x のすべての要素に含まれる要素全体は集合。
  即ち (∀u)(u∈x → z∈u) を満たす z 全体は集合。

  ということも分かります。この集合を x の共通部分といい ∩x と 記述します。特に ∩{a,b} のことを a∩b と記述する場合があ ります。
  うれしいことに合併の公理を使用すると直感的には任意の自然数(有限順序数) を定義することが可能となります。

  3 = ∪{2,{2}} = 2∪{2} = {0,1,2}
  4 = ∪{3,{3}} = 3∪{3} = {0,1,2,3}
  5 = ∪{4,{4}} = 4∪{4} = {0,1,2,3,4}
  ...

  おっと {0,1,2} とか {0,1,2,3} という表記は未定義でした(^^;。例えば {0,1,2} は {x|x=0 OR x=1 OR x=2} の略記でして、一般に {x|x=a OR x=b OR...OR x=z} を {a,b,...,z}と略記します。ここで ... は許されるのかと考 えられる方もいらっしゃるかと思いますが、この場合は略記なので、こういう 記述も許されるのであります。それはともかくとして、上述の定義を続ければ 6,7,8... も同様に定義できるのですが、今だ単に個別に自然数が定義できる ことが直感的に分かるだけでありまして、「一般の自然数(有限順序数)」とい う概念は定義出来ていないのであります。実はこれを実現するためにはもっと 超越的な立場に立たなければならず、「自然数全体」という概念を内包化して、 さらにそれを外延化する必要があるのです。そのためには「無限公理」が必要 なのですが、その前に関数(写像)の概念等を定義しておかないと不便で仕方が ないので、次回は「巾集合の公理」を導入により「二項論理式」を外延化して、 関数等の定義を行う予定なのであります。

  ＃集合論シリーズは別ページに移動した方が良いと思うのですが、
  ＃そうするとねた不足になるし。どうしよう(^^。

• 奇数は素数

  どうやらすべての 3以上の奇数は素数であることが証明された様で、各分野の 研究者の見解であります。

  [数学者]
  3 は素数である。5 は素数である。7 は素数である。 よって数学的帰納法によりすべての奇数は素数である。

  [物理学者]
  3 は素数である。5 は素数である。7 は素数である。 9 は...むむむっ、これは実験に誤りがあった。 11 は素数である...。

  [工学者]
  3 は素数である。5 は素数である。7 は素数である。 9 は素数である。11 は素数である...。

  最近は暗号等の理論の必要もあり、工学系の人たちも素数に接する機会が増え ていると思うのですが、一昔前まではこんな状況だったと思うのであります。 元ねたは昔読んだ(題名は忘れてしまった)なんかの本です。

  そか、 5以上の素数は 6の倍数の前後 (これは本当)なのですね。高校生のころ演習問題で解いたような記憶が。n を 自然数としたとき 6n,6n+2,6n+3,6n+4 は 2 または 3 の倍数で素数になり得 ないので、言われてみればトリビアルなのですが、すっかり忘れていたのと、 そもそも冗談話か本当の話か迷ってしまって、5分位考えたのは絶対にないしょ(^^。

2004年1月4日(日)

• 上野国立科学博物館

  趣味の数学に没頭して全然家族サービスをしていなかったのですが、今日はお 正月最後の休みということで、奧さまとモカと上野の国立科学博物館に行って きたのです。8時20分頃に家を出発して 10時頃に到着。冬休み中は折り紙で恐 竜を作ったり、懐中電灯とブザーが合体したものを作る実習コーナーが開催さ れ、さらに液体窒素を使った色々な実験(超伝導も)なども見せて頂きなかなか 盛り沢山だったのです。4つほど実習を体験させて頂きまして、終了したのが 14時00分頃で、その後お昼を食べて古代生物ブースや恐竜ブースを見学して 18時頃に帰宅。ちなみに、とても楽しめる内容で入場料が大人 420 円、子供 70円というのはずいぶん安いと思うのですが、子供 70 円という中途半端な料 金はどうやって算出したのだろう。もしかして入場者数統計の費用だったりし て(^^。

  それはそうと今晩中に書き物が出来るのだろうか。ちょっと難しそう。

  折り紙作りの説明を聞く	折り紙作成
  こういのうができる	なにか説明を聞いている
  火をおこす	巨大アンモナイト

• 内包と外延

  [集合論雑記目次]

  内包や外延という言葉は普通はあまり使われないと思うのですが、集合論にお いては案外頻繁に使用されるのです。もともと集合の考えは、

  x に関する性質(論理式) P(x) に対して P(x) を満たす x を「集めた」もの を考える

  ということが基本になっていまして、上記の「集めた」ものを

  {x|P(x)}

  と記述するのは良く知られた事実であると思います。このとき性質(論理式) P(x) をそのまま考えることを「内包」と言いまして、それを成り立たせる具 体的な集まり {x|P(x)} を考えることを「外延」と言うのです。ところがここ に大きな問題がありまして、内包からむやみに外延を作り、それを集合と考え ると矛盾が生じる場合があるのです。例えば次の性質(論理式)を考えます(ラッ セルの逆理)。

  NOT(x∈x)

  この内包から外延 R={x|NOT(x∈x)} を作りまして R が集合であると仮定 します。すると簡単に分かるように、

  R∈R, NOT(R∈R)

  いずれを仮定しても矛盾を生じるのです。例えば R∈R を仮定すると R の定義により NOT(R∈R) が導かれ、逆も同様なのです。このように任意 の内包から無条件に外延を考察するのは非常に問題がある、ということが 19 世紀後半から 20世紀前半に認識され、それが数学において公理的な手法を重 視するようになった大きな理由の一つなのであります。ここでせっかく「内包」 という言葉を説明しましたので、内包の公理を導入しておきます。

  [公理 3. 内包の公理]
  

  A を集合として P(x) を論理式とする。このとき A の要素で P(x) を満たす 対象(つまり集合)全体は集合である

  上記で存在が認められた集合を {x|x∈A AND P(x)} もしくは {x∈A|P(x)} と記述します。また P(x) を成り立たせる x 全体が集合と なることがすでに分かっている場合、単に {x|P(x)} と記述する場合もありま す。せっかく集合という概念を作ったので「性質(内包)」を自由に外延化した いというのが本音なのですが、上記のような無制限な「外延化」は矛盾を生ず るので、当面は「外延の対象」をすでにある集合の部分に制約しよう、という 意図の公理なのであります。それにしましても、未だに手持ちの具体的な集合 は空集合 φ だけなので、この公理も全く役に立ちません。次回は「対の 公理」、「合併の公理」、「巾集合の公理」を導入しまして、いよいよ任意の 自然数(有限順序数)を考察する準備と致します。

• 空集合

  {集合論雑記目次]

  今までは集合論の公理を一つも用いず、いわば「お話」による説明だったので すが、本記事からは公理に従って種々の集合を構成することとします。

  [公理 1. 空集合の存在公理]

  (∃y)(∀x)(NOT(x∈y))
  集合 y が存在して任意の集合 x に対して NOT(x∈y) を満たす
  

  [公理 2. 外延性の公理]

  (∀x)(∀y)((∀z)((z∈x)<—>(z∈y)) <—>(x = y))
  要素がすべて等しい集合は等しい

  ここで今後の便利のために一つの(省略記号による)論理式を導入します。

  x, y を集合とするとき任意の集合 z に対し z∈x が z∈y を導く場合 x⊆y と記述する

  x⊆y を「x は y の部分集合である」と表現します。また、x⊆y で x≠y の場合 x⊂y と記述し、「x は y の真の部分集合」と表現します。

  上記の記述で外延性の公理は次のように簡潔に記述可能となります。

  [外延性の公理書き換え版]

  (∀x)(∀y)((x⊆y AND y⊆x)<—>(x = y))

  外延性の公理は集合論における = (等号)の定義とみなすことが可能です。

  さて上の二つの公理を使用してやっと一つの集合を定義出来るわけでして、 [空集合の存在公理]により要素を含まない集合の存在を示すことが可能で、さ らに外延性の公理によりこの集合はただ一つ定まることが容易に証明出来ます。 この集合を「空集合」と呼び φ と表記します。いやはや、まだ空 集合の存在と一意性を示しただけなのに結構面倒ですな。先が長いことで...(^^。

• 集合雑記準備

  [集合論雑記目次]

  まずこれから扱う対象(もの)なのですが，実は集合以外は扱わないの です。もっと具体的に言いますと、空集合から種々の公理により導出される集 合以外の「もの」は考えないのです。それでは数とか空間の点は考えないのか と疑問に思う場合もあると思うのですが、これらも集合と考えるのでして、上 述の方法で段階的に(もしくは超越的に)構成されるのであります。集合論は数 学の基礎であり、一見非常に抽象度が高そうな感じがしますが、実は数学の中 では最も具体的な(構成的な) 分野なのです。前置きはこの位に致しまして、 まずは「論理式」という概念と「対象式・変数」という概念が存在しまして、 「論理式」はその(変数を含む場合もある)の関係を表し真偽が原理的には定ま る概念でして、「対象式」は「もの」のことなのであり、今回の話では集合の ことなのです。また「変数」対象式を一般的に表現する記号です。さらに今回 使用する論理式はすべて集合論の基本論理式、即ち = と ∈ のみを含む 一階述語論理による構成のみとします。まずは論理式の例を挙げますと、

  0 = 0	常に真
  1 = 3	常に偽
  x = x	常に真
  x = y	x,y により真偽が定まる
  (1 = 3) → (1 = 2)	常に真
  (1 = 3) AND (x = y)	常に偽
  (1 = 1) AND (x = y)	x,y により真偽が定まる
  x ∈ y	x,y により真偽が定まる
  (∃y)(∀x)(NOT(x∈y))	空集合の存在公理(即ち真)

  などが挙げられ論理式はパラメータとして変数を持つことも可能です。論理記 号に関しては極力使用しないように努めますが、簡潔に記述した場合や誤解を 招きやすい場合に使用する場合があるかも知れません。最後の例は

  ある y が存在して任意の x に対して NOT(x∈y)   または、
  任意の x に対して NOT(x∈y) を満たす y が存在する。

  と読みます。今後使用する可能性のある基本的な論理記号を列挙しますと、

  NOT A	A でない
  A OR B	A または B
  A AND B	A かつ B
  A → B	A ならば B
  (∀x)A(x)	すべての x に対し A(x) が成り立つ
  (∃x)A(x)	ある x に対し A(x) が成り立つ

  などがあり、ここで A,B は論理式とします。本来はこの段階で推論規則と第 １階述語論理の公理が必要なのですが、それに関しては「常識的に推論すれば 良い」ということと、記述が非常に冗長になることを考えまして、今回は言及 いたしません(調べるのが面倒で^^)。ただし次の点には留意する必要がありま す。

  (A OR B) は NOT((NOT A) AND (NOT B)) と同値

  (A AND B) は NOT((NOT A) OR (NOT B)) と同値

  (A → B) は (NOT A) OR B と同値

  (∃x)A(x) は NOT(∀x)(NOT A(x)) と同値

  (∀x)A(x) は NOT(∃x)(NOT A(x)) と同値

  また (A → B) AND (B → A) を (A<—>B)と記述する場合があ ります。

• なかなか進まない書き物

  いやはや、理解している部分の数学ねたなんかだといくらでも筆が進むのです が、ちょいと慣れない分野の書き物というのは、書いては消し、書いてはまた 消しの繰り返しで、なかなか難儀しております。いや、必ず 1月5日(もしかす ると10日位)までには間に合わせますので、ご迷惑をおかけ致しますが少々お 待ち下さい。

• 自然数の構成と ω

  [集合論雑記目次]

  そもそも自然数(0,1,2,3,...)とはなにか、ということはは誰でも一度は考え たことがある疑問であると思うのですが、数学の世界でも「直感的に自明な天 与のもの」「ペアノの公理を満たす対象」「有限順序数」等の色々な定義方法 があるのです。これらはどれが優れているというものではなく、例えば第一の 定義は超数学の世界で必要になりますし、第二の定義は「自然数を定義する一 番自然な公理系」という意味で重要なのです。ここでは順序数のさわりとして、 集合論でどのように自然数が定義されるかを非公式に記述したいと思います。

  まず空集合 φ を考えまして、これの存在に関しても「空集合の存在公理」 が必要なのですが、今はうるさいことを言わずにとにかく存在するということ とします。それから高校程度で習う集合のごく基本的な演算も公理からの導出 なしの「非公式な立場」で使用することとします。まずは、

  0 = φ   と定義する

  ということで、空集合 φ で 0 を表現するのが集合論の立場です。めでた く 0 が定義出来たので、その後の 1,2,3... をどのように定義するかと言い ますと、

  1 = {φ}	と定義する
  2 = {φ,{φ}}	と定義する
  3 = {φ,{φ},{φ,{φ}}}	と定義する
  ...

  という感じなのですが、面白いことに 0,1,2,3 を観察しますと、その要素の 個数がそれぞれ 零個,一個,二個,三個になっていることが分かります。また特 徴的な性質として、

  0 = φ
  1 = {φ} = {0}
  2 = {φ,{φ}} = {0,1} = 1∪{1}
  3 = {φ,{φ},{φ,{φ}}} = {0,1,2} = 2∪{2}
  ...

  を得ることが出来ます。これを一般化して任意のの自然数を次の様に帰納的に 定義することが可能となりまして、

  0	=	φ
  n + 1	=	n∪{n}	=	{0,1,2,3,...,n}

  これでめでたく一般の自然数が定義出来るのですが、せっかく定義出来たので 自然数全体の集合を考えて(これも公理が必要!!)みると、最初の無限順序数が 得られるのです。

  ω

  =

  {0,1,2,3,...}

  さらに上記の手続きを同様に行いますと、

  ω + 1	=	{0,1,2,3,...,ω}	=	ω∪{ω}
  ω + 2	=	{0,1,2,3,...,ω,ω + 1}	=	(ω + 1)∪{ω + 1}
  ω + 3	=	{0,1,2,3,...,ω,ω + 1,ω + 2}	=	(ω + 2)∪{ω + 2}
  ...

  という風に無限を表現する数(無限順序数)の世界へ入ることが可能となるので す。要するに一個前までの(順序)数全体の集合を考えると、次の(順序)数が得 られるわけですが、例えば ω 自体は特定の順序数の「次」にはなって いません。この様な順序数を極限数と呼ぶのです。逆に例えば ω + 1 は ω の「次」の順序数なので極限数ではないのであります。

• 箱根駅伝

  丁度おうちの前を箱根駅伝の選手が走っていくので、毎年外に見に行くのです が、今年はまだまだ大丈夫であろうと思ってのんびりお雑煮なんか食べてから 見にいったら、最後の選手が通過した後だったのです(^^。まったくまぬけで すな。

• FreeBSD-5 インストール断念

  やってみたらうまく行かなかったのではなく、ちょいと書き物をする予定があっ たりしまして、慣れないことなので存外時間がかかるのです。というわけで、 現在 4.9R で特に困っていることもなく、もう一年くらいはサポートが継続す ると思いますので、今年一年現状維持で我慢しようかと思い始めたのです。休 みの途中で一日会社に行くはめになったのが痛かったですな。根性なしです(^^。

• 集合論シリーズ・順序数開始予定

  [集合論雑記目次]

  順序数は集合論における最も基本的な概念なのですが、一見すると普通の数学 一般への応用が少ないということで、数学専攻の人でも真面目に勉強したこと がある人は少ないというのが実態だと思います。一般に数学を専攻して集合論 のさわりを勉強しますと、一対一対応による「濃度(無限の大きさ)」の概念自 体は表面上分かりやすく、特にカントールの定理、

  任意の濃度 L に対して L < 2^L

  がとても印象的なので、選択公理とともに勉強するツォルンの補題(帰納的集 合は極大元を持つ...これで普通の数学の超越的な存在定理はほとんどまかな える)を学習して、なんとなく集合論に関してはこれで十分という気分になっ てしまうの場合が多く、ご多分にもれず私自身もそうだったのです。また自然 数の濃度が \aleph_{0}(アレフゼロ)であるということは理解しても(というか 定義)、\aleph_{1}(アレフいち) は「次の濃度」という程度の認識しかなく、 具体的な構成方法を勉強された方は案外少ないような気がするのです(もちろ ん私も)。

  で、実を言いますと昨年の暮れから突然趣味の数学勉強モードに突入致しまし て、やっと順序数の基礎の基礎のそのまた基礎程度を表面的に理解する程度に はなったかなと思うのと、順序数の奏でる世界が想像していたよりはるか に美しい宇宙であるらしいこともなんとなく理解できたので、しばらく集 合論基礎シリーズを開始したいと考えているのです。おそらく遊びに来て下さ る方にはつまんないシリーズだと思いますし、今までの例から途中で飽きてし まって自然消滅の可能性も強いのですが、挫折した元数学少年のたわごとだと お思いになって我慢して頂けると幸いです。もちろん日々の出来事ねた、浩子 さんねた、モカねた、コンピューターねた、おばかねた、等は今まで通り継続 致します(^^;。

  ちなみに、突然集合論のさわりを勉強したくなった理由は、 こちらの記事を書いて 、巨大基数のことを理解出来たら楽しいだろうなー、と思ったのが最大の理由 です。あと、今後使いそうな記号類の覚え書き。肝心のアレフが w3m で表示 出来ないのが痛いですな。 こちらを参考に させていただきました。さらにこのシリーズはしばらく継続する予定ですので、 上の方に 集合論雑記目次 を追加することとしましたl。

  ←	←	↑	↑	→	→	↓	↓
  ⇒	⇒	⇔	⇔	∀	∀	∃	∃
  ×	×	÷	÷	∑	∑	≠	≠
  ≡	≡	∈	∈	∋	∋	∩	∩
  ∪	∪	∧	∧	∨	∨	⊂	⊂
  ≤	≤	≥	≥	∏	∏	ℵ	ℵ
  ⊃	⊃	⊆	⊆	⊇	⊇	Α	Α
  Β	Β	Γ	Γ	Δ	Δ	Ε	Ε
  Ζ	Ζ	Η	Η	Θ	Θ	Ι	Ι
  Κ	Κ	Λ	Λ	Μ	Μ	Ν	Ν
  Ξ	Ξ	Ο	Ο	Π	Π	Ρ	Ρ
  Σ	Σ	Τ	Τ	Υ	Υ	Φ	Φ
  Χ	Χ	Ψ	Ψ	Ω	Ω	α	α
  β	β	γ	γ	δ	δ	ε	ε
  ζ	ζ	η	η	θ	θ	ι	ι
  κ	κ	λ	λ	μ	μ	ν	ν
  ξ	ξ	ο	ο	π	π	ρ	ρ
  σ	σ	τ	τ	υ	υ	φ	φ
  χ	χ	ψ	ψ	ω	ω	↔	↔

  ＃本当はフーリエ変換でも勉強した方が仕事に直接役に立つのですが、
  ＃そもそも解析はわかんないし、すぐに役に立つ勉強は好きでないのです。
  ＃学生時代一度も微分方程式解かなかったし(^^;。

• 初日の出

  新年明けましておめでとうございます。本年も宜しくお願い致します。

  今日はお正月でお天気もそこそこ良いということで、朝の 6時頃に奧さまとモ カと一緒に家を出て、海の方に初日の出を見に行ったのですが、いやはや道路 の混んでいることといったら(^^。 みんな考えることは同じなんですねー。それでもなんとか海岸まで行き着いた のですが、丁度おひさまが出る方向に雲がかかって残念ながら見ることはでき ませんでした。

  雲に隠れて見えなかったおひさま

  江ノ島

• 二女のパソコン

  二女は自分が教わっていた音楽教室(今はモカと私が習っている)のアルバイト をさせて頂いているのですが、本番での仕込みや録画等の仕事はもちろん、PC を使った文書作成や編集の仕事も多いのです。で、今までは音楽教室のパソコ ンか自宅の牛を使って仕事をしていたのですが、牛の場合家族共用ですし、確 か 600MHz 位の激とろ CPU なので作業がいまいちはかどらないらしいのです。

  そんなことをドラムの先生(自作 PC マニア^^)と話ていたら、ありがたいこと に遅くて使っていない PC 一台を貸して下さるそうでして、実際は遅いなんて 大嘘でおうちの PC とは比べ物にならない激速で、ペンティアムなんとかの 2GHz 位でメモリーが 512Mbytes 位の性能なのです(もちろん自作)。最大の問 題は置場所なのですが、子供達の部屋には一つ散らかって使用不可能になって いる机があるので、そこを整理して置くことにして、問題点は次の二つ。

  • モニターがない

    液晶は高くて無理なのですが、仕事の関係でそこそこ広 い画面があったほうがはかどると思うので、17inch 位のブラウン管モニター を買うことにします。

  • 子供部屋は廊下を隔てた場所にあり有線の LAN を設置するのが難しい

    二女や奧さまは書き物や編集をするだけなので LAN など必要ない、というの ですが、ネットワークに繋がっていない PC がいかに無能で不便であるかの実 感がないのでしょうな。ということでとりあえず Ethernet/無線 LAN 変換装 置を購入する予定なのです。

  いやはや、新年早々散財のねたが出てきたものですが、せいぜい稼いで頂いて、 もちろんモニター代やネットワーク代を出せとは言いませんが、せめてイベン トに行くとき等賛助金をせびりにくる頻度が減ると良いのですが...(^^;。

  ＃ちなみに貸与期間はアルバイトをしている間だそうで、
  ＃今高校一年でなので最低 2年間は貸して頂くことになりそうです

2003年12月   2004年2月   更新履歴と日記の先頭に戻る   日記の目次 
集合論雑記目次
はてなリング 数学の輪
トップページに戻る   谷山浩子さんのページ