02/25 aiueo 01/01 かがみ 01/01 ゼルプスト殿下 01/01 かがみ 01/01 ゼルプスト殿下 05/10 かがみ
お布団の周りに絶妙のバランスで 1m 以上積み上がっていた本ですが本日の昼間崩壊したそうです。1メート ルの山が一つと 50cm の山が二つあります。なんと奥さんが本棚を整理して 1m 分の積み本を整理してくれ ました。これで積み本は 50cm の二山のみとなりました。当面崩壊の心配はありません。なにより必要な 本へのアクセスが大幅に改善しました。勉強しなくては。
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コメント_miya [積み本タワー以外にも数学の本があるのでしょうか？写真を見比べてみるとそんな感じが...]
_ゼルプスト殿下 [何べん見ても蔵書のかぶり具合いが…]
_かがみ [(miya さん) 数学の本は写真のものとまだ積んである残りだけです。残っている...]
_かがみ [(ゼルプスト殿下さま) かぶりも多いのですが、今回一冊頂いたことに関して合併集合...]
てなさくさんに A.Weil 著の Basic Number Theory を頂きました。ありがとうございます。題名は Basic
ですが非常に高度な内容のようです。大変とは思いますがガロア理論をしっかり復習して少しでも読めるよ
うになりたいと考えています。代数モードなので積み本上位が写真のような状況です。
コメント_miya [かっこいいです＞＜棒の本棚はソフトカバーのそれこそソフトな３年もしないうちに廃れ...]
_かがみ [ありがとうございます。カメラ買ったので写真を載せたくなったという面もあります。そ...]
_miya [あ、はい。よきようにお願いいたします。]
_かがみ [移動しました。ありがとうございます。]
今日はツイッターで知り合いになった Jumpei Inomata さん と会ってきました。数学の話や音楽の話が出来てとても楽しかったです。
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Cyber-shot WX100 購入しました。
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明日つくばで機材の検定があるので今日から出張です。十分準備したので合格は確実と 思われますが「生もの」なので立ち会うことになりました。
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三週間程前から [1] を読んでいます。とても面白いです。ガロア理論の準備ということで、正規拡大や分離 拡大、そしてノルムとトレースについての理論入門である二章を読んでいます。三章が「ガロア理論」の章 なのですが、基本定理はすでに二章で準備済みなので即座に証明されます。以降150ページに渡り色々なトピッ クについて書かれているようです。
ところで二章でノルムやトレースについて線型写像 ($K/F$ を有限次拡大として $\alpha \in K$ としたと き倍写像 $\alpha : K \to K$ を考える) の最小多項式や特性多項式を考える必要があります。しっかり忘 れています。なので Lang 本を持ち出して単因子論を復習してます。ほぼ読み終わったので整理すれば [1] に戻ることが出来ます。
代数が面白いです。勢いにまかせて松村先生の可換環論 [2] も購入しました。ちょっと分かりにくいのです が松村先生の有名なテキストとしては [2] [3] と [2] の英訳があります。全部読むと [2] [3] は同程度の 難易度と思われます。実は [3] を所有していて学生時代にそれなり読んだのですが最初からかなり難しいで す。[2] の方が基本的な事項から書かれています。[2] も学生時代に持っていたはずなのですが行方不明な ので今回新たに購入しました。集合論を勉強したご利益として昔より数学的対象を具体的に考えるようになっ たので新たな視点から読むことが出来れば良いなと思います。もちろん集合論の勉強も続けますがしばらく は代数モードが続きそうです。素人の気楽さというところでしょうか。
[1] 藤崎源二郎著 体とガロア理論, 岩波基礎数学選書, 1991.
[2] 松村英之著 可換環論, 共立出版株式会社, 1980.
[3] Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra. Second edition. Mathematics Lecture Note Series, 56.
Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980.
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昨日の日記に書いたように検査には問題がなく無事退院しました。
コメント_miya [退院おめでとうございます。よかったです。]
_かがみ [いろいろご心配おかけしました。しばらくは大丈夫そうなので色々やりたいことに専念し...]
というわけで3月に 心臓にステントを入れた フォローアップ検査入院です。今回も右手肘からカテーテルを入れて冠状動脈近傍まで通します。一見怖そ うですが最初の麻酔注射 (これもたいしたことない) 以外は特に痛くはないです。歯医者さんの治療より楽 です。問題がなければ一泊二日で帰ることが出来ます。最近微妙に心臓近傍が痛かったり違和感があったの でまずいのかなと思っていましたが、幸い経過は順調で、前回入れたステントの部分やその他の部分につい て特に狭さくは認められないとのことでした。とても安心しました。
ということはこの微妙な痛みや違和感はなんなんでしょう。
実害がないので良いのですが本当にまずいことになった場合の判断が難しそうです。今後も通院は続けるの で余り心配する必要はないのかも知れません。
検査開始が13時30分頃で終了が14時30分頃でした。検査後ステント挿入位置の動脈の血止めのために 肘のところにぐるっと一巻き圧力バンドを巻いて空気を入れて圧迫します。最初のうちは非常に強く締める ので血が回らなくなり手首の先がしびれて痛くなります。まさに手首梗塞です。 経過を見ながら圧力を弱め てゆき、しびれや痛みも治まりますが、5時間位右手の自由が利かないのでたいくつです。左手には 造影剤の排出を早めるために1000mlの生理食塩水の点滴です。こちらは8時間位かかります。最終的に 自由の身になったのは22時頃でした。
いろいろご心配おかけしましたがしばらくは大丈夫そうです。これからも数学がんばります。
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いやその。明日から一泊二日で検査入院です。3月に 心臓にステントを入れた ので予定通りの事後検査です。だた最近ちょっと痛いので再治療になると入院が伸びるか再入院となります。
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一つ前の日記に書いたように昨日と一昨日は仕事でした。うまいこと昨日の段階で入院前に必要な部分は完 了しました。今日はのんびりです。こちらも一つ前の日記に記載したように Wedderburn の定理の証明概略 について書いておきます。実質的に参考文献のこぴぺです。
(定理 Wedderburn) 有限体は可換である.
(証明) $k$ を可換とは限らない有限体とします. そして $a \in k$ に対して $C_{a} = \{ x \in k : ax = xa\}$ とします. $C_{a}$ が $k$ の部分体となることは容易に分かります. そして $C = \bigcap_{a \in k}{C_{a}}$ とすると $C$ は乗法群 $k^{\ast}$ の中心にに 0 を追加した $k$ の可換な部 分体となります.
$|Z|=q$ として $[k:Z]=n, [C_a:Z] = d_a$ とおきます. すると $|k|=q^n, |C_{a}| = q^{d_a}$ が成立しま す.
一般に群 $G$ において自分自身への作用 $(x, a) \to x^{-1} a x$ を考えます. $a \in G$ の軌跡 は$\mathrm{orb}(a) = \{ x^{-1} a x : x \in G\}$ であり、その要素の個数は $\mathrm{fix}(a) = \{x \in G : x^{-1} a x = a \} = \{x \in G : a x = x a\}$ に対する剰余類 $G/\mathrm{fix}(a)$ の要素の 個数と一致します. $\mathrm{fix}(a) = G \, (|\mathrm{orb}(a)|=1)$ は $a$ が $G$ の中心に属すること を意味するので$Z$ を $G$ の中心とするとき (1.1) が成立します. ここで右辺の和に現れる $a$ は $a$ の共役類 $\mathrm{orb}(a)$ の代表元を動くものとします. \begin{gather} |G| = |Z| + \sum_{|\mathrm{orb}(a)| \ge 2}{|G/\mathrm{fix}(a)|} \tag{1.1} \end{gather}
ここで乗法群 $k^{\ast}$ に (1.1) を適用すると中心が $C^{\ast} = C - \{0\}$ であり $C_{a}^{\ast} = C_{a} - \{0\}$ が $a$ の固定化部分群となるので (1.2) が成立します. \begin{gather} q^n -1 = q - 1 + \sum_{1 \le d_{a} \lt n}{\frac{q^n -1}{q^{d_a} -1}} \tag{1.2} \end{gather} (1.2) で $n \ge 2$ を仮定して矛盾を導きます. $\Phi_n(X)$ を 1 の原始 $n$ 乗根の原始多項式とします. すると (1.3) (1.4) が成立します. \begin{gather} \Phi_n(X) \ |\ X^n -1 \tag{1.3} \\ \Phi_n(X) \ | \ (X^n -1)/(X^{d_{a}} - 1) \tag{1.4} \end{gather} $X$ に $q$ を代入すると (1.5) (1.6) が成立します. \begin{gather} \Phi_n(q) \ |\ q^n -1 \tag{1.5} \\ \Phi_n(q) \ | \ (q^n -1)/(q^{d_{a}} - 1) \tag{1.6} \end{gather} したがって (1.2) より $q-1$ は $\Phi_n(q)$ で割り切れます. ところが $\Phi_n(q)$ は複素平面の単位円周の点 $\zeta = e^{2\pi i r/n}$ (ここで $(r, n) = 1$) に対する$q - \zeta$ の積なので絶対値が $q-1$ より大きくなり矛盾です. 従って $n=1$ であり $k$ は可換体となります □
(参考文献) 藤崎源二郎著 体とガロア理論, 岩波基礎数学選書, 1991.
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最近また日記を書くのをさぼっていてごめんなさい。先週の週末はキューネン本を会社に置き忘れました。 自宅にも新品が一冊あるのですが、なんとなくもったいなくて、結局「藤崎源二郎著 体とガロア理論」の最 初の方を読みました。最初の方は何度か勉強した内容なので比較的順調に進み3日間で100ページ近く読めま した。
Wedderburn の定理 (有限体は可換である) の証明を初めて読みました。こんなに簡単だとは知りませんでし た。なんかすごく難しい定理という印象があって今まで避けていたのです。初等的な知識だけで証明可能で す。群論のごくごく初歩と $\Phi_n(X)$ の初歩的な知識があれば十分です。今週はちょっと仕事が忙しいの で無理なのですが、一段落した段階でここに証明を書きます。
12月12日(水) から心臓の検査入院です。肘からカテーテルを入れて冠状動脈の中を見ます。これは一泊二日 で終了します。問題がなければ良いのですが、問題があると継続入院もしくは再入院が必要で、その場合手 首からカテーテルを入れて冠状動脈にステントを入れることになると思います。ステントが使えないような 状態だと非常にまずいことになります。ちょっと前の日記にだめそうと書きましたがここのところ比較的調 子良いです。正直検査を受けないとどうなるか分かりません。
そのような事情があり12月12日以降12月20日頃まで出社不可能となる可能性があります。なのでその前に色々 仕事を片付けとく必要があるのです。入院のお休み (現在3月までの有給残 15) をかせぐことをかねて明日 と明後日 (土日) は出勤です。ガロア理論の本の進捗が遅れるというか忘れてしまいそうなのがやや残念で す。
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