02/25 aiueo 01/01 かがみ 01/01 ゼルプスト殿下 01/01 かがみ 01/01 ゼルプスト殿下 05/10 かがみ
余りに解析入門の力不足ということで「微分積分原論 加藤十吉著」を読み始めました。このテキストは実数 体を公理的に定義しています. (以降デデキント完備と呼びます)
(1.1) $\mathbb{R}$ は順序体である. (1.2) $\mathbb{R}$ の切断は左が最大元を持つか右が最小元を持つ (デデキント完備)そして自然数全体の集合 $\mathbb{N} \subset \mathbb{R}$ は $(1 \in \mathbb{N})$ かつ $(n \in \mathbb{N} \to n+1 \in \mathbb{N})$ を満たす最小の集合として定義されます. 有理数体は $\mathbb{N}$ から自然に定義されます. デデキント完備な順序体の上に有界な集合は上限を持つことは簡単 に分かります. 実際 $X \subset R$ が上に有界のとき $B$ として$X$ の上界全体を考え, $A = \mathbb{R} - B$ とした分割を考えると $A$ と $B$ の「境界」が $X$ の上限となります. 特に $\mathbb{N}$ が $\mathbb{R}$ で有界と仮定すると, $\mathbb{N}$ の上限 $\alpha \in \mathbb{R}$ が存 在しますが, $\alpha -1$ も上界となるので矛盾です. したがって$\mathbb{N}$ は $\mathbb{R}$ で非有界 です (アルキメデスの原理)
さらにデデキンド完備性により区間縮小法が成り立ち任意のコーシー列の収束も証明可能です. そしてアル キメデスの原理により有理数全体の集合 $\mathbb{Q}$ は $\mathbb{R}$ で非有界なので $n$ 進数展開の原 理と無限 $n$ 進展開の部分展開がコーシー列になることにより $\mathbb{Q}$ の稠密性も分かります.
デデキント完備性からアルキメデスの原理と有理数の稠密性が自然に導出されることに驚きました。勉強不 足でした。
ところで順序体で任意のコーシー列 (コーシーフィルター) が収束すると仮定しても, 例えば超実数体や有 理式体 $\mathbb{R}(t)$ に $t$ を任意の実数より大きいとした順序を導入した順序体の完備化等では $\mathbb{N}$ は非有界になるとは限りません. 一般に次の事実が成立します.
(事実) 順序体について次の条件は同値.
(2.1) デデキント完備である.実際 (2.2) が成立すると仮定すると $(A, B)$ の「境界点」を長さが毎回 $1/2$ となる閉区間の列で「挟 みうち」することが可能で, 区間縮小法 ($\lim_{n \to \infty} 1/{2^n} = 0$ にアルキメデスの原理を使 用する) により「境界点」の存在を証明が分かり (2.1) が成立します.
(2.2) 任意のコーシー列が収束する意味での「完備条件」が成立し, さらにアルキメデスの公理が成立する.
次の事実が知られているそうです.
ZFC で $0 \in F, 1 \in F$, $\le \in \mathcal{P}(F \times F)$, $+$, $\times$ は $F \times F$ から $F$ への関数とします. このとき $(F, 0, 1, \le, +, \times)$ が $\mathcal{P}(F)$ の任意の要素にも言及する形で (1.1), (1.2) を満たすとき $F$ は実数体 $\mathbb{R}$ と順序体として同型.有理数体から実数体を「構成」する場合にはコーシー列を使用した方が代数的な性質を簡潔に得られるので すが, 引用した書籍の公理では順序体を基礎としているので代数的な性質はもともと成立しています. 大学 一年生のときの解析学の教科書では自然数や有理数を既知として, かなり直感的な手法でデデキントカット を公理として扱っていました. 正直「これで大丈夫なのかな」と思っていましたが, 本質的には完全に正し い手法だったようです. それにしても 40 年間も気がつかなかったとは情けないです.
(参考文献) 微分積分学原論, 加藤十吉, 培風館 (2002)
コメント_標準モデル [だいぶお久しぶりです。 ＞P(F) の任意の要素にも言及する形で (1.1), ...]
_かがみ [こんにちは。お久しぶりです。分かりにくくてすみません。えーとこれは単純に二階であ...]
結構痛いです。だめですね。あと二十日位は死なないと思うので来月の十三日入院検査後に再治療すること になると思います。ステントで治らない状況の場合バイパス治療をすると生活が出来なくなるのであきらめ るしかないです。あ。でも、今回は入院費用は貯金してあるのでステントだったら大丈夫です。どうなるん だか分からないです。
コメント_たかたに [なんかたいへんそうですけどおだいじにー。]
_かがみ [ありがとうございます。不思議なもので歩くと案配が良くなる感じなのです。おそらく再...]
ちょっと油断していたら一週間日記をさぼっていました。ごめんなさい。一言だけならば良いのですが、そ れなりのネタで毎日書き続けるのは大変かも知れません。仕事の方は結構忙しいです。でも今週末の三連休 は休みたいです。来月になると検査とか入院とか、場合によっては治療とか色々行事があるので、今月中に 仕事を切りの良いところまで持っていきたいです。数学の方はキューネン本がメインですが微積分の教科書 を何冊か頂いたので (あるがとうございます) そちらも並行して勉強します。さすがにキューネン本の三章 ばかり読んでいると疲れてしまうので丁度良いと思います。がんばる！
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月曜日お休みということでキューネンの教科書を読んだのですが、簡単な演習問題で時間がかかって しまいました。
(Exercize III.1.1) Prove that $\mathfrak{b}$ is regular and $\mathfrak{b} \le \mathrm{cf}(\mathfrak{d})$.
cf の中の $\mathfrak{d}$ が読みにくい感じですが a, b, c, d の d です.(証明) $\mathcal{D}$ を dominating family として $|\mathcal{D}| = \mathfrak{d}$ とする. $\lambda = \mathrm{cf}(\mathfrak{d})$ として $\mathcal{D} = \bigcup\{D_\xi : \xi \lt \lambda\}$ と和の形に書く. ここで $|D_\xi| \lt \mathfrak{d}$ とする. すると $\xi<\lambda$ に対して $D_\xi$ は non dominating である. 従って $\xi \lt \lambda$ に対して $h_\xi \in \omega^\omega$ が存在して すべての $g \in D_\xi$ に対して (1.1) を満たす. \begin{gather} \neg (h_\xi \le^{\ast} g) \tag{1.1} \end{gather} $B=\{h_\xi : \xi \lt \lambda\}$ が unbounded family であることを示す. $B$ が bounded であると 仮定すると $f \in \omega^\omega$ が存在して (1.2) を満たす. \begin{gather} すべての \ \xi \lt \lambda \ に対して\ h_\xi \le^{\ast} f \tag {1.2} \end{gather} $\mathcal{D}$ は dominating family なので $g \in \mathcal{D}$ が存在して (1.3) を満たす. \begin{gather} f \le^{\ast} g \tag {1.3} \end{gather} すると $g \in D_\xi$ となる $\xi < \lambda$ が存在するがこれは (1.1) (1.2) に反する □
大いに手抜きですがこうして簡単に TeX フォーマットで入力できるのはノートをスキャンした利点 です。
コメント_ゼルプスト殿下 [おっと「したがって \\xi < \\lambda に対して h_\\xi...]
_かがみ [ありがとうございます。こっそり修正しました。]
_ゼルプスト殿下 [直ってない気がします： h_\\xi < \\omega^\\omega ...]
_かがみ [あ。]
年齢のせいかどうか分かりませんが、最近 LaTeX で数式を打ち込むのが億劫になっています。困ったもので す。もっとも昔から PC を使った勉強は得意ではなく、本とノートが好きです。ノートの欠点は管理能力の 欠如により、使い終わると保存することが出来ず、どんどんなくなっていくことです。実は三ヶ月ほど前に 自宅用の新しい PC とプリンターを購入しました。プリンターは二万円程度の安物ですがスキャナが付いて います。このスキャナにノートを挟んで「おまかせスキャン」を行なうとびっくりするほど綺麗にスキャン されます。ノートに書いた文字と認識して余計な汚れを消去しているのかも知れません。字が汚いのをがま んすれば保存するのに十分な品質です。LaTeX 化する場合もスキャンした原稿を PC 上で閲覧可能なのが便 利です。しばらくこの作戦で勉強を進めたいと思います。
コメント_ゼルプスト殿下 [わたくしも紙に書かないとわかった気がしないのでデジモノだけでは勉強ができません。...]
_かがみ [たしかにスキャンを前提とすればレポート用紙のような紙でも大丈夫ですね。A4 のノ...]
昨日「今週」必要な部分は一段落したと思われるので、今日は代休にしました。少しでも数学をと思いまし たが疲れて一日中寝ていました。セルシンとデパスの量を少し増やした (全体として一日四錠程度。しばら く二錠程度だった) のが良かったのか、心臓近辺の違和感は減少しました。これが続くと良いのですがどう なることやら。明日も休みたいのですが何かあると困るので一応行った方が良いかも。金曜日にもう一度休 むのが一番良いかも知れません。
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すみません。土日も仕事という変なモードに入り日記を書く時間というか気力がないです。心臓の調子もい まいち良くない感じがします。来月の検査はだめかも。でも忙しいときセルシンもしくはデパスを多めに飲 むと心臓の案配も良くなるので、単純にストレスで調子悪く感じているのかも知れません。分からないです。 一段落したらがんばります！
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なんと二日も日記をさぼりました。ごめんなさい。それはそうとまた色々やることが増えて忙しくなってき ました。土曜日と日曜日は会社に行く予定です。せっかく疲れが取れてきたのにいやになっちゃいますね。 ふわあ。
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今日も普通に会社に行って普通に働いたとりたてて平凡な一日でした。幸い昨日からの体調の良さは続いて います。今のところ疲れていません。帰宅したところ食卓に DARS が置いてありました。なんと奥さんが私 のために買ってくれたそうな。数日前に電車の中で宮崎あおいさん (隠れファンです) の広告を見て欲しく なったのです。一昨日偶然モカちゃん購入の DARS が家にあったので「ちょうだい」と言いましたが却下で した。でもモカちゃんにも優しいところがあって今朝一粒分けてくれました。
というわけで今日は朝一粒、夜二粒で合計三粒も食べました。幸せです。
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三日間実質なにもせずに休養したのが良かったのか、今日はどこも痛まず体調も良かったです。仕事も順調 に進みました。やはり先月色々無理をしすぎて疲れがたまっていたようです。昨日の予定では今日は腕の痛 みを診てもらうために病院に寄る予定だったのですが、昨日から全然痛まないので面倒になってパスしまし た。こちらも疲労が原因だったのかも知れません。あまり無理しないで着実に数学と仕事を進捗させたいも のです。
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うーん。せっかくの三連休だったのですが、どうも疲れが取れず全然勉強しませんでした。というかさすが にもう難しい数学は無理なのではと思い始めています (涙) あまり無理をしないで比較的簡単で面白い内容 を選んで勉強した方が良いのかも知れません。最近疲れがひどいので調子が悪いだけならば良いのですが。 今日は昨日と違い腕は余り痛みませんでした。でも念のため明日の朝は病院に寄ってから会社に行く予定で す。
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実は一週間くらい前から手首と肘の間 (いわゆる腕) の外側が痛いのです。ぴりぴりずきずきという感じの 痛みです。実は冠状動脈の血管に問題があると左腕に痛みがくる場合があるそうなので、そちらを心配して いたのですが、昨日の通院でのお医者さんのお話では「それは関係ないでしょう」ということでした。でもっ て二週間ほど前から左手の手首 (時計のところ) が炎症を起こしています。なんかそこの痛みと腕の痛みに 相関があるような。でもこちらは時計にかぶれたのかなと思い関連性は考えていませんでした。
今日になって左腕の外側全体 (肩から下全部) 痛くなってきました。いててて。結構きついです。いててて。 ロキソニンを飲まないときついです。いててて。
これってもしかすると帯状疱疹かも知れません。いててて。
いやまあ心臓と無関係ならばなんでも良いです。でも痛いので月曜日に皮膚科のお医者さんに寄ってから会 社に行きます。なんか数学日記にしたいのにあっちこっち痛い日記でごめんなさい。反省しています。いて てて。
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今日は定期通院の日です。最近微妙に心臓近辺が痛んだり違和感があるので、それについて話をしました。 お医者さんが言うには、症状からしておそらく大丈夫とは思いますが、かがみさんが心配ならば少し早めで すが来月検査をしましょうか。ということでした。検査って冠状動脈のカテーテル治療でステント入れてか ら半年から一年程度後に、もう一度カテーテルを入れて血管の中を見る検査です。手首または肘からカテー テル入れて冠状動脈まで通して直接造影剤を入れるのです。
うわあ。こわそうでしょ。痛そうでしょ。
血管の中は痛みを感じないので、最初に針を刺す部分の麻酔が痛いだけて特に苦痛はないです。来月の12日 から一泊二日で入院して検査することになりました。もっとも検査で案配が良くないと、継続入院または再 入院で再びステントを入れることになると思います。その場合三日間程度余分に入院することになります。
お医者さんに行くとしばらく体調が良くなります。昨日の体調不良が嘘のようです。心臓の方はおそ らく急にまずくなることはないと思います。大丈夫です。たぶん。まずくなってもすぐにお医者さんに行っ て治療すれば命を落とすことはないと思います。
午後からは奥さんとお昼ご飯を食べてその後買い物をしました。
コメント_miya [うわわわわ・・・・すごく怖そうでね。くれぐれもお大事に。]
_かがみ [こわいでしょ♫ いやまあ快適なものではないです。来月はがんばってきま...]
11月に入ったばかりなのに朝から熱っぽくて体調が悪かったです。お休みにしたかったのですが、午前中お 客様が来られることになっていたので出社しました。午後になりさらに熱っぽさがひどくなってにたので早 退しました。明日は定期通院です。
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2012年10月
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