Δシステムレンマとは次の言明のことです。
(Δシステムレンマ)
としてさらに
は正則基数であると仮定する。さらに
が成立しているとする。いま
が
かつ
を満たしているとする。このとき
かつ
を満たす
で
システムとなるものが存在する □
集合族が
システムであるというのは、その集合の任意の2つの要素の共通部分が一定の値
になるということです。
をΔシステムの根と呼びます。
は空集合でも良いです。特に
の場合「有限集合からなる非可算集合に対し、非可算な部分集合でΔシステム
をなすものが存在する」ということになります。
システムレンマは強制法で登場する色々な半順序集合が
を満たすことを示す場合に良く使われ、私の知る限り連続体仮説や、一般連続
体仮説に関連するジェネリック拡大を作るとき、「基数の上方向保存」を証
明するキーとなります。
ところで、自分自身も含め、 kunen本 (邦訳 「集合論—独立性証明への案内」 ケネス・キューネン著, 藤田博司訳) を読んだ人の感想を聞くと、これって難 しいです、という意見がかなり多いように思います。私自身今まで二回ほど悪 戦苦闘して証明を最後まで追いかけましたが、やっとこという感じで、理解し たなんて絶対に言えないような状況で、のどに魚の骨が引っかかったような感 じを抱いていたのです。
ところで、最近
システムレンマのお世話になることがますます多くなり、さ
すがに証明をきちんと理解しないといけないなと思い、kunen本を読み直したの
ですが、驚くべきことに紙に書かないで読んだだけで10分くらいで分かりまし
た。あわわ、どうしてあんなに苦労していたのだろう。やはり cardinal や
ordinal の直感不足というか慣れてなかったのが原因なのでしょうが、いやは
や一応全部読んだとは言え、全く理解不足の kunen本2章 (難しい) をもう一度
読み直してみる価値はあるかも知れません。
余談ですが、Δシステムレンマの Kunen 本の証明よりエレガントなのがあると うわさに聞いたことがあります。ご存知の方がいらっしゃいましたら、文献等 教えていただけるとうれしいです。ごたごた証明を理解した後、エレガントな 証明を読むのは、単にエレガントな証明を読むよりはるかに有益という面もあ ると思いますので、ぜひぜひご存知の方はご教示の程お願いいたします。
コメント_てなさく [たしかに、第２章は演習問題もかなーり手強いですよね。それだけに、第１章と第２章じ...]
_かがみ [集合論の勉強をしよう、ということでKunen本を読み始めたとき、1章は「勉強しよ...]
