2006年8月

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2006年8月31日(木)

トンデモ(アレフ編)
これはかなり電波度が強いです。 $\aleph_{n+1}~=~\mathrm{card}(\{0,1\}^{\aleph_n})$ っていったい。一般の人のページでこの手の間違いや勘違いは案外多く、それに対して特に批判的になる必要はないと思うのですが、大学の研究室を名乗っている点で大いなるトンデモと言えるのでは。
「アレフ０とアレフ１の間の濃度があるか（どちらとも等しくなくて）？」という問題が昔からあり、無い、というのを連続体仮説（Continuum Hypothesis）、と呼んでいます。数学基礎論でいくつかの理論がありますが、証明をコンピュータで厳密チェックするというレベルでは未だ解決していません（有名なプルーフチェッカーであるＭｉｚａｒのライブリーにはない。証明できないということが証明できる、という説もあるが．．．）。
すご過ぎます(笑)。いや！笑いごとではないな。
といいますか、このページを真のトンデモとなさしめているのは、 $\aleph_{1}$ と $2^{\aleph_0}$ を勘違いしていることより、「コンピューターで厳密チェックするというレヴェルでは未だ解決していません」以降の部分です。~~単なるコンピューターおたく？~~
(2006年9月1日付記) 上記ページは信州大学教授中村八束氏の責任において運用されています。集合論に限らず数学一般に対し非常に不真面目な見解をお持ちです。
中村氏の数学に対する無知、無理解、偏見に関しては、こちらの情報証明論のページが参考になります。また、はるかに大きな問題は、中村氏の無知や無理解は数学の分野にとどまらず、学問、人間の知性や理性や感情、というより人間精神そのものに対するものであることです。
もしこの優れた道具を使いこなせれば、高度なプロダクツを設計製造でき、また競争相手に対し優位に立てる有形無形の財を手にすることになるでしょう。
(一部略)
人は論理によって動かせない、といっても悲観することはないのです。そういう論理で動かない人はエサに寄ってきて捕まるけものとあまり変わらない、と思ってください。
~~正に学問と相反する見解であると考えます。~~
(2008年4月15日上記取り消し線部分の文章は中村氏への人格攻撃になってしまった面があります。撤回致します。まことに申しわけございませんでした。 2008年4月15日「信州大学へのメール」の項目も参照して下さい。)
(2006年9月3日に続く)
(リンクして下さった方) くるるさんの数学ノート Mizarとか。ありがとうございます。

2006年8月30日(水)

鴨南蛮みたび
今日も石川県から N さんが出張してきたので、お昼に N さん、S さん、H さんと鴨南蛮を食べたのです。N さんがおにぎりも注文したら、たくあんが二つついてきたので、「一つ下さい」とお願いしたのですが、おにぎりの具がなくなってきたらはさんで食べるということで、もらえませんでした。残念です。おんなじねたばかりですみません。

(関連項目) 鴨南蛮ふたたび

2006年8月29日(火)

またはずれ
ちまたで話題になっている iBook や PowerBook のバッテリーリコールですが、今回こそはと期待したにもかかわらず、またまたおおはずれです。まあはずれたのは仕方がないとして、不愉快なのは、前回一緒に討ち死にした会社の N さんから来たメール。
```
------------------------------------------------------------------
Subject: バッテリ当たり
To: kagami@evariste.que.ne.jp
Date: Mon, 28 Aug 2006 19:56:00 +0900 (JST)
X-Mailer: Mew version 3.3rc1 on Emacs 21.2 / Darwin 7.9.0 powerpc

鏡様
めでたくご当選。
A1079 ZZZZZZZZ
人品が良いと良い事もあるものですね。(^^Y
--
N
------------------------------------------------------------------
```
裏切り者〜。そもそもこの交換プログラムは私が教えてあげたのではないか。それなのに自分だけ。しかも N さんの PowerBook は私よりも半年程度先に購入されたもので、それだけバッテリーも使い込んでいると推測されるのです。
実に不愉快です。
というか裏切り者さまはこちらにもいらっしゃいまして、いやはや世の中の人は景気が良くてうらやましいこって。やはり人品の差がでてしまったのでしょうか(笑)。

2006年8月28日(月)

万人の学問を目指して

はやしさんのところの「最近のおすすめ本」で推薦されていたので、気になっていたのですが、なんと会社の H さんが持っているそうで、さっそく貸して頂きました。
万人の学問をめざして—倉田令二朗の人と思想
昼休みにちょっと読んでみたのですが、めっちゃ面白そうです。最近は帰りの電車の中で Shoenfield本を読むことが多かったのですが、しばらくこちらを読むことにします。
余談ですが、一週間程前まではまたまた Jech本を持ち歩いてて、肘と手首に電気が走るようになっていたのです。残念ながら女性が萌えてくれるということは全くなかったみたいです。あたりまえか(笑)。
(関連項目) Shoenfield著 Mathematical Logic

2006年8月27日(日)

統計学
モカちゃんに「私の名前の画数はいくつでしょうか。」という問題を出されたのです。頭の中でいい加減に考え二十三画と答えたところ、「違うよ！」ということでもう一度考え直したら、今度は二十一画。ところが「何考えてるの。また違うじゃない！二十二画ですよ」と怒られてしまいました。
「平均すれば合っているじゃん！！こういうのを統計的手法と言って科学的に大切な考え方なのだ。」と負け惜しみを言ったのですが、こんどは奥さまに「いい加減なこと言わないの。」と怒られてしまいました。
モカちゃんの名前は画数が多い方だと思います。おうちの名字も画数が多いので、テストの時極めて不利です。そもそもモカちゃんの名前は、長女と二女でそれらしき漢字を使いきり、やっとの思いで奥様が考えた名前なので、画数が多いのは仕方がないのです。もちろん画数がいくつになるかなんて全然考えていません。出生届を出しに行く時、書き方が分からなくなり、かなりあせったのは絶対に内緒です(笑)。
内部モデルに関するごく基本的な覚え書き
$M$ を集合論の内部モデルとするとき次の事実が成立する。
(0) $X\in{M}~\rightarrow~\mathrm{rank}(X)^M~=~\mathrm{rank}(X)$
(1) $X\in{M}~\rightarrow~\mathcal{P}(X)^M~=~\mathcal{P}(X)~\cap~M.$
(2) $V_{\alpha}^M~=~V_{\alpha}~\cap~M.$
(3) $X,Y\in{M}~\rightarrow~(|X|^M~=~|Y|^M~~\rightarrow~|X|=|Y|).$
(4) $X\in{M}\rightarrow(|X|~\le~|X|^M),\,\,~\mathrm{cf}(\alpha)~\le~\mathrm{cf}(\alpha)^M.$
(5) 次の性質は $V$ から $M$ へ引き継がれる。「基数、極限基数、正則基数、弱到達不可能基数、到達不可能基数」
いずれも証明は簡単。というか自明に近い。

2006年8月26日(土)

セミの幼虫
8月23日のセミの写真で「さなぎ」と書きましたが、セミは不完全変態なので、さなぎにはならないというご指摘を頂きました。考えてみると写真の主は土の中からもぞもぞはい出してきた幼虫です。ご指摘ありがとうございます。

2006年8月25日(金)

三次元球面

会社で上司の S さんに、「かがみさん三次元球面てなに？普通の球面と違うの？」と聞かれたのです。なるほどフィールズ賞のニュースを見るか聞くかしたのでしょう。以下 S は S さん、K は私を表すとします。

K 輪切りにすると普通の球面になる四次元の中の球面です。

S ？？？

K 皮が三次元なんですよ。

S ？？？

K えーっと分からないですよね。それでは平面人間を考えます。

S ふむふむ

K この人たちは周りを囲んでいる三次元空間を認識出来ないとします。

S うんうん

K でもって、この平面を普通の球面が横切ったら、平面人間にはどのように見えると思いますか？

S そりゃ最初にぽつんと点が見えて、小さい円になり、だんだん大きくなり、また縮んで点になり見えなくなるのでは。

K それと同じことを一次元上げて考えます。我々の周りに認識不可能な四次元空間があったとして、その空間内の三次元球面が我々の世界を横切ったとします。

S もしかして小さい風船みたいなのが現れて、段々大きくなって、また縮んで消滅するのでは？

K そうですそうです！！そういうイメージなんですよ。

S で、結局なんなの(笑)

K そんなの私にも分かりませんよ。ただし方程式は簡単に書けて、四次元空間で x² + y² + z² + w² = 1 という感じで定義されるのです。輪切りにするというのは、例えば w に 1 以下の実数を代入することを考えれば良いのです。そうすると x, y, z だけが残って普通の球面になるでしょ。

S なるほど。ということは体積とかも求まるの？

K 輪切りにしたのを積分すれば簡単ですよ。球面ではなく内部も含めてですが。

S 分かったような分からないような。まあ雰囲気は。

K いや〜私もそんなもんですから(笑)。

と、さすがに賞の権威とニュースの威力は、普段余り数学に接していないと思われる人にもなかなかのインパクトがあるようです。もちろん、私自身はポワンカレ予想のことなど全然分かりません。

余談ですが、意味内容を伝えやすい歴史的な未解決問題が少なくなってきたような気がします。もしかして Riemann 予想と NP問題位しか残ってないのでは？

2006年8月24日(木)

可測基数と弱コンパクト基数(再挑戦)
集合論雑記目次
8月21日の「可測基数と弱コンパクト基数」のいくつかの誤りと無駄な点をくるるさんに指摘して頂きました。再チャレンジです。 $\kappa$ を可測基数として $U$ をその上の正規な $\kappa$ 完備超フィルター、 $j:\,V~\rightarrow~M$ を超べき $V^{\kappa}/U$ の推移的崩壊 $M$ への初等的埋め込みとします。さらに次の事実は分かっているものとします。
可測基数は弱コンパクト
$V_{\kappa~+~1}~=~V_{\kappa~+~1}^M$
このとき $M|=$ 「 $\kappa$ は弱コンパクト」.
(証明) まず一般に $M$ を内部モデル(すべての順序数を要素とする集合論の推移的モデル)とするときの留意事項。
(1) $\lambda$ が基数ならば $(\lambda$ は基数 $)^M$
(2) $X\in{M}$ のとき $|X|~\le~|X|^M$
(1) は $\alpha~<~\lambda$ に対し $M$ での単射 $\lambda~\rightarrow~\alpha$ が存在すると、これは $V$ での単射となるので。(2) は $(\lambda=|X|)^M$ を仮定し $M$ での全単射を考えると $V$ で $|\lambda|~=~|X|.$ 従って(順序数として) $|X|~=~|\lambda|~\le~\lambda~=~|X|^M.$
また $Y=[X]^2$ は $\Delta_0$ 論理式なので $X\in{M}$ に対し $([X]^2)^M~=~[X]^2$ が成立します。
$f\in{M},\,f:\,[\kappa]^2~\rightarrow~2$ を関数とします。すると $\kappa$ が ( $V$ で)弱コンパクト基数であることにより $H\subset\kappa$ が存在して $|H|=\kappa$ かつ $f$ は $[H]^2$ 上で定値。ところが $H\in~V_{\kappa+1}~=~V_{\kappa+1}^M$ なので $H\in{M}.$ (2) により $(|H|=\kappa)^M$ が成立することと $([H]^2)^M~=~[H]^2$ により $\kappa$ は $M$ で弱コンパクト。
今後、超べきや可測基数に関して記載したことをことをまとめ直し、証明を書かなかった部分も補完し、可測基数と弱コンパクト基数の初歩的な事実を記述する予定です。
(関連項目)
弱コンパクト基数がいっぱい
 弱コンパクト基数の基本性質(一回目)
(リンクして下さった方) くるるさんの数学ノート。ありがとうございます。

2006年8月23日(水)

写真二枚
全く脈絡のない写真を二枚。左は奥さまが捕まえてきたセミの~~さなぎ~~ 幼虫です。~~さなぎと言ってももぞもぞ歩くのです。~~今晩中に成虫になるかも知れません。
そして右は本日届いた Shoenfield著 Mathematical Logic です。こちらはぼちぼち目を通すことにします。

(関連項目) Shoenfield著 Mathematical Logic
せみ
可測基数と弱コンパクト基数に追記
8月21日「可測基数と弱コンパクト基数」にいくつか追記しました。正しい方向を向いているかは自信ありません。というか $M^\kappa~\subset~M$ の条件が本当に必要なのかが疑問です。

2006年8月22日(火)

会社に泊まり
プログラム書いていたら帰りそびれてしまいました。朝帰りの予定です。

2006年8月21日(月)

セーラー2003UB313の危機
かなり危機的な状況らしいです。
(関連リンク) すいきんちかもく
Shoenfield著 Mathematical Logic
不勉強ながら、はやしさんのブログで初めてこの本の存在を知ったのですが、とても面白そうなので購入しようかと。悩みどころは amazon.com $35.00 と amazon.co.jp 5,251円どちらから買おうかとうことです。単純なレート計算ですと、米国から輸入した方が安そうですが、送料が高いのと、届くまで三週間くらいかかることを考えると日本かな。
可測基数と弱コンパクト基数
(追記 2006年8月24日) 下記「証明」にはいくつか不備や無駄な点があります。可測基数と弱コンパクト基数 (再挑戦)を参照して下さい。
下記の「証明」は正しいのでしょうか？
$\kappa$ を可測基数として $U$ をその上の正規な $\kappa$ 完備超フィルター、 $j:\,V~\rightarrow~M$ を超べき $V^{\kappa}/U$ の推移的崩壊 $M$ への初等的埋め込みとします。さらに次の事実は分かっているものとします。
$V_{\kappa~+~1}~=~V_{\kappa~+~1}^M$
可測基数は弱コンパクト
$M^{\kappa}~\subset~M$
また基数 $\lambda$ が弱コンパクトであることを $\lambda~\longrightarrow~(\lambda)^2$ が成立することと定義します。このとき
$M~|=~\kappa~\text{~is~weakly~compact.}$

(証明) まず前提条件として $V_{\kappa~+~1}~=~V_{\kappa~+~1}^M$ であることと $\alpha~<~\kappa$ に対し $M$ での単射 $\kappa~\rightarrow~\alpha$ が存在すると、これは $V$ での単射となるので $M|=\kappa~\text{~is~a~cardinal.}$ さらに $[\kappa]^2$ は $V_{\kappa+1}$ の要素ではないので、 $([\kappa]^2)^M~=~[\kappa]^2$ は自明ではないが、 $\kappa~\in~{M}$ なので
$z\in([\kappa]^2)^M~\leftrightarrow~\exists{x\in{M},y\in{M}(x\in\kappa~\wedge~y\in\kappa~\wedge~z=\{x,y\}^M)$
$\leftrightarrow~\exists{x\in{V},y\in{V}(x\in\kappa~\wedge~y\in\kappa~\wedge~z=\{x,y\})~\leftrightarrow~z\in[\kappa]^2$
により $([\kappa]^2)^M~=~[\kappa]^2$ は本当に成りたつ(対に関する絶対性は明らかということで)。
$f:\,~[\kappa]^2~\rightarrow~2$ を $M$ で定義可能な関数とすると、当然 $V$ で定義可能。従って $H\subset\kappa$ が存在し $|H|=\kappa$ かつ ~~$f$ は $H$ 上で定値。~~ $f$ は $[H]^2$ 上で定値。 $H\in~V_{\kappa+1}$ なので $H~\in~M,~H^M~=~H,~(|H|~=~\kappa)^M$ が成立する。
(この行追加 2006年8月22日) また上と同じ論法により $([H]^2)^M~=~[H]^2.$
$(|H|~=~\kappa)^M$ の部分は、 $V$ での単射 $\kappa~\rightarrow~H$ は $M^{\kappa}\subset~M$ により $M$ での単射となるから。 ~~明らかに $M|=~f~\text{~is~constant~on~}~H$ が成り立つので~~ 明らかに $M|=~f~\text{~is~constant~on~}~[H]^2$ が成り立つので $M|=~\kappa~\text{~is~weakly~compact.}$
大穴が空いているのかどうか良くわからないです。
(関連項目) 弱コンパクト基数がいっぱい
(2006年8月22日追記) くるるさんに教えて頂き、明らかな間違いを一つ修正しました。その他回り道をしている部分もあるとご指摘を受けました。そちらは今後修正できればと思っています。どうもありがとうございます。
(2006年8月22日追記) 回り道そうな部分。 $\kappa~\in~M$ は $M$ が内部モデルだから。
一般に $X\in{M}$ の場合 $([X]^2)^M~=~[X]^2$ は $Y=[X]^2$ が $\Delta_{0}$ 論理式なので。
$H^M~=~H$ は意味不明な気がします。本質的なのは $H\in{M},\,(|H|=\kappa)^M$ ということで良いのでしょうか？

2006年8月20日(日)

竹内外史著「現代集合論入門」
この本は十年年程前に購入したものですが、 Amazonでのユーズド価格がなんと 28,500円と今は入手しにくい状況のようです。後で書く理由により「入門書」としては余りお薦めではないのですが、数学セミナーの連載をまとめたということもあり、全体的に読み物風で、今読み直すとなかなか楽しめる部分も多いのです。章ごとの見出しは次の通り。
- 序章 Logicians 小伝
- 第1章ブール代数について
- 第2章公理的集合論
- 第3章集合論の展開
- 第4章マルチンの公理
- 第5章現代集合論のめざましい発展
序章は竹内先生の個人的な交友録で、特にゲーデルと実際に話をされた内容をもとに、ゲーデルの哲学について、尊敬と愛情を込めて論じている部分は圧巻です。この部分だけでも読む価値があります。ただし同様の記述が、ゲーデル没後出版された同じ著者の他の本にも書かれていたと思います。
第1章は意表をついてブール代数に関する理論です。ブール代数の公理系による初歩的な定理を証明した後、一般位相に関する事実を簡単に説明。その後、半順序集合から自然に導入される正則開集合全体に、完備ブール代数の構造が入ることの説明が続きます。
そして、フィルターとイデアルの簡単な説明の後、かなり天下り的な generic の定義が現れます。表現若干を変えて引用します。
$\mathcal{P}=\langle~P,~\le~\rangle$ を半順序集合. $M$ を任意の集合とする. $P$ の部分集合 $G$ が次の条件を満たすとき $\mathcal{P}$ -generic over $M$ といわれる.
1) $G$ は $\mathcal{P}$ のフィルターである.
2) $M$ の元 $S$ が $\mathcal{P}$ で稠密であれば $G~\cap~S~\neq~\emptyset.$
一ページ程後に、上記定義はが集合論のモデルでの場合に使われることが多い、という説明があるのですが、私自身は最初に読んだ時この辺りで挫折しました。その後 generic と(元の半順序集合から導出された)完備ブール代数における完備超フィルターとの関連が証明されるのですが、さすがに集合論の「入門書」としては内容が偏りすぎていると思います。
また、せっかくここまでブール代数に関する記述があるのですから、モデルの直感的な説明を追加さえすれば、強制に関する厳密な記述はさほど困難(というか書くのが面倒) ではないと思われます。ところが強制に関しては、論理式に対するブール値として、お話として断片的に記述されているのみで、正直初心者が理解出来るレヴェルではないのです。強制に関して知っていると楽しめるのですが、知らないと何のことやらちんぷんかんぷんです。この本の一番残念な部分だと思います。
第2章は直感的な集合概念から、いかにZFCの公理系が得られるかを分かりやすく説明してあり、次の章とともに最も「入門」らしい部分です。
第3章は2章で導入された公理により、集合論の基本的な部分、共終数あたりまで説明されています。基数全体を整列してアレフを定義していますが、
以降は竹内先生が選ばれたいくつかのトピックに関する記述で、第4章はマルチンの公理とその主要な帰結、第5章はsupercompactとADに関する話題です。竹内先生としては1章と4,5章を書きたかったのかも知れません。
最初に書いたように、今読み直すとなかなな面白い本なのですが、入門書としては少々エキセントリックすぎる構成な気がします。連載をまとめたという経緯もあり、局所的には優れた部分も多いのですが、全体的なまとまりが今ひとつだと思います。
持っていて損のない本であるとは思います。

2006年8月19日(土)

お買い物二件
今日は最近開店した藤沢駅前のビックカメラでお買い物。まずは二女の誕生日 (二ヶ月以上前じゃん)プレゼントということで新しい携帯への機種変更です。機種名とか良くわからないのですが、写真のようなものです。お財布携帯とかどうでもよい機能がついているのですが、何が便利なのか全然分かりません。もちろんこんな機能を使うのは却下です。
データーの移行ですが、二女の説によると「miniSD カードに全部セーブしたから大丈夫」なはずだったのですが、おうちに帰ってから miniSD カードを刺そうとしたら大き過ぎて入りません。なんと新しい機種は microSD なる規格のようで、いやはや私もこんなちっちゃいカードがあるとは知りませんでした。というか miniSD よりちっちゃくしても意味ないのでは。
幸い miniSD カードにげたをはかせて PC に繋いだところ、DOS 形式でファイルが格納されているようですので、新規にげた付き microSD カードを購入してコピーすれば問題なさそうです。まあ最悪二女が手作業で移行すれば良いので私には関係ないのですが(笑)。

もう一つはハードディスク。こちらは長女の iPod 用ですが、バックアップ、新しいのに入れ替え、OSのインストール、ユーザーの登録、リストアー、アプリケーションのインストール等を行う気力もなく、安易に USB 外付けハードディスクにしました。容量は 160G でお値段は13,000円なり。ポイントが10,000円分程度残っていたので、余りお財布は傷みませんでした。同じ容量で 7,000円程度のもあったのですが、よくよく箱を見ると USB1.1 のみ対応(笑)。知らないで買ってしまった人は運が悪いというか、だまされたとしか言いようがありませんな。
(関連項目) ご家族さまPC起動せず

2006年8月18日(金)

夏休み
仕事が三つかぶってしまい少々忙しく、なかなか夏休みを取れなかったのですが、なんとか一つ目の目処がついたので、今日は一日だけの夏休みです。

2006年8月17日(木)

ご家族さまPC危機
ご家族さまPC の危機と言いましても、壊れそうになっているのではなく、ハードディスクの容量が切羽詰まってきたのです。奥さまと三人の娘の用途としては、メールとブラウザでネットをうろつく程度と思い油断していたのですが、さすがに40G のハードディスクでは足りなかったようです。現在残り3Gしかありません。
と言いますか、本来余裕で足りているはずなのですが、一月程前に長女が何も考えず 60G のiPodを購入しちゃってどんどん曲を入れるのです。
「おうちのPCのディスク容量は40Gしかなく、他の家族も使うのだから、破綻するの目に見えてるじゃん！」と注意したところ長女いわく。
こんな大きい機械なのにiPodより容量が少ないとは思わなかった(笑)
うーむ、確かに気持ちは分からなくはないのですが、一応理系の大学生なのだから、その程度のことを調べる能力は身につけて欲しいものです。まあ、文句を言っても長女は長女なりにかなり無理をして購入したと思われるので、ここはディスクを交換するしかありません。この二年くらいでディスクの容量も劇的に増え、200G以上のものが一万円ちょっとで購入出来そうです。ただし現行必要そうなファイルをバックアップし、さらに移行作業を行うとなると、間違いなく一日がかりで、サーバーの移行の方はまたまた延期になりそうな気配なのです。
余談ですが、モカちゃんに管理の方法を教え込むのが、私が楽できる最良の方法と思われます。でも、コンピューターに関する工学的知識は、もし必要ならば大人になってから学べば良いのであり、大学に入るまでは文学、理学、芸術等、ちゃんとした勉強に専念するべきなので、この案はもちろん却下なのです。

2006年8月16日(水)

すいきんちかもく
国立天文台アストロ・トピックスによりますと、「惑星」の定義が変更になり、今後三つ増える可能性があるそうな。少々長くなりますが引用します。
(1) 惑星とは、(a)十分な質量を持つために自己重力が固体としての力よりも勝る結果、重力平衡（ほとんど球状）の形を持ち、(b)恒星の周りを回る天体で、恒星でも、また衛星でもないものとする。
(2) 黄道面上で、ほぼ円軌道を持つ、1900年以前に発見された8つの Classical Planets と、それ以外の太陽系の天体を区別する。後者は、すべて水星より小さい。また、セレスは(1)の定義から惑星であるが、歴史的理由により、他の Classical Planets と区別するため、 Dwarf Planet と呼ぶことを推奨する。
(3)　冥王星や、最近発見されたひとつまたは複数のトランス・ネプチュニアン天体は、(1)の定義から、惑星である。Classical Planets と対比して、これらは典型的に大きく傾いた軌道傾斜と歪んだ楕円軌道を持ち、軌道周期は 200年を超えている。われわれは、冥王星が典型例となる、これらの天体群を、新らしいカテゴリーとして、Plutons と呼ぶ。
(4)　太陽をまわる他のすべての天体は、まとめて Small Solar System Bodies と呼ぶこととする。
上記原案が承認された場合、セレス・カロン・2003UB313 が新たに惑星の仲間入りするわけです。ただし冥王星は Plutons という格下のカテゴリーに属することになる模様で、さらに別途格下カテゴリーが作られるようです。
水星、金星、地球、火星、セレス、木星、土星、天王星、海王星、冥王星、カロン、2003UB313
むむむのむ！これは覚えるのが大変そうです。どうすれば良いのだろう。
「すいきんちかセもくどってんかいめいカニ」(笑)
とても覚えにくそうです。「カニ」の部分はそれなりの語感ですが、セレスの「セ」がだめだめ。そもそも最後の「ニ」から 2003UB313 を思い出すのは神業に近いのでは。さらに冥王星とカロン(現在は冥王星の衛星)の位置関係(地球からの距離)はしょっちゅう変化している気がするし。
セーラーセレス、セーラーカロン、セーラー2003UB313という新キャラも必要になるかな。←と思って念のために検索したらセレスとカロンはすでにいるのね(笑)。
(リンクして下さったところ) Y.Kumagaiさんの記事ありがとうございます。
(関連項目) セーラ2003UB313の危機
とっても多い理科自由研究の検索
最近夏休み理科自由研究の検索が多いです。だめだめ！ねたは自分で考えなくっちゃ(笑)。もちろん今年はどうなるか分かりませんが、またまたきてれつなねたを考え、なにやら実験を行っているようです。
(関連項目) モカちゃん一等賞をとるモカちゃん優秀賞をもらう
じまん話でした。

2006年8月15日(火)

なぜか復活X24
Mac mini へ移行するといいつつ、今だに自宅サーバーは半死状態のFreeBSD/R30が動作しています。Web Server のみですとたいしたことないのですが、メールサーバー等の構築を考えると、Mac mini への移行は存外面倒そうなのです。ただし、いよいよディスクが不穏な音を出す確率が高くなってきたようなので、そろそろ行動しないと大変まずい状況になりそうです。
ところでR30の横にはこれまた仮死状態で、仕方なく 180MHz にクロックダウンし、バックアップ専用機となっている FreeBSD/X24が置いてあります。
ところが上のリンクのような状況に陥り、復旧後も不安定な動きをしていた X24ですが、掃除機でごみを吸い取り、さらに一秒ももたなくなったバッテリーを抜いたところ、ちゃんと 730MHz で動くようになったのです。もしかして完全に消耗したバッテリーが悪さをしていたのかも知れません。
```
$ dmesg
...
CPU: Intel(R) Pentium(R) III Mobile CPU 1133MHz (730.90-MHz 686-class CPU)
```
一日程度ディスクに負荷をかけたり、make world を行ったのですが、全く問題なく動作するのです。これは楽ちんです。何と言っても R30 と全く同じOS なので、移行する場合 /etc/, /usr/local/ 以下を除いてそのままコピーし、さらに自宅内アドレスを現行サーバーと同じにしてしまえば良さそうです。
Mac mini の方はバックアップ機として活躍して頂くとともに、PowerBook と VNC で接続し、何か面白そうな用途を考えることにします。
(移行のための覚え書き) apache, sendmail(with saslauth), named, squid, delegate, procmail, clamav, bsfilter, 家族専用biffサーバー .

2006年8月14日(月)

リンク作成
上の方によく遊びに行く日記やブログへのリンクを張らせて頂きました。長年おつきあいさせて頂いている方や、私の記事にリンクを張って下さった方、いつも親切に色々教えて下さる方々へのリンクです。
もしご迷惑でしたら、お手数ですがメールでお知らせ下さい。
しらたまちゃん二題
おととい届いた新しらたまちゃん(今後単にしらたまちゃんと呼びます)ですが、本日は会社へ出勤したので、デュアルディスプレイでの実験です。通常の機能が問題なく動作するのは当然として、興味深かったのは「お気楽拡大機能」の挙動です。例えば画面が大きくなるのは片方のみなのか、それとも両方の画面が同時に大きくなるのか、疑問は尽きません。
結論を言いますと両方の画面が同時に拡大されます。ところが残念なことに拡大した状態でマウスをちょっとでも移動すると、勝手に画面の下の方に移動して、さらに上の方に移動しようとしても、画面が動かないのですよ。これは使えません。左右の画面の解像度、特に高さが異なるので、座標計算で不整合が発生していると思われますが、この現象に関してはドライバーのアップデートに期待です。ただし、デュアルディスプレイで使用している場合、外部ディスプレイの方は文字が大きいので、拡大機能が必要になる場合はあまりないと思われるのが救いです。
そんなこんなで実験していたら、突然マウスが使えなくなりました(笑)。いや！カーソルは動くのですが、本体がクリックやくるくる等に全く反応しなくなってしまったのです。仕方がないので、一度本体の電源を落とし再度起動したのですが、全く効果がありません。「あややードライバーの挙動がおかしくなてしまった？面倒だな〜」と思いつつ、試しにマウスの方の電源を一度切ったら動作するようになりました。うーむ、マウス側にもバグありですか。それとも想定していないデュアルディスプレイでの実験が悪かった？こちらは bluetooth 経由でファームウエアー更新とかあるのだろうか。まあ双方たいした問題ではないですけど。
余談ですが、会社のプロジェクト工数入力の画面というのがありまして、こちらの選択リストが異常に長いのです。今まではマウスを下の方に持っていき、じっと入力したい項目が出てくるのを待っていたのですが、くるくる機能を使うとあっという間にスクロールして目的地に到達出来ます。とても良いです。これでいつまでも工数を入力しないで、怒られることも少なくなる...ということはないかな(笑)。

2006年8月13日(日)

分割の性質に関するメモ
集合論雑記目次
(定理 1) $\omega~\longrightarrow~(\omega)^{n}_{r}$
(証明) $n$ に関する帰納法による。 $f:[\omega]^{n+1}~\rightarrow~r$ を関数として、任意の $p\in\omega$ に対し関数 $f_{p}:\,[\omega-\{p\}]^{n}~\rightarrow~r$ を $f_{p}(x)~=~f(\{p\}\cup~x)$ により定義する. このとき帰納法の仮定により次の列を構成出来る.
$S_0=\omega,\,~p_0=0$
$S_{i+1}\subset{S_{i}}-\{p_i\}$ を $f_{p_{i}}$ が $[S_{i+1}]^{n}$ 上で定値となる無限集合。 $p_{i}~<~p_{i+1},\,~p_{i+1}\in{S_{i+1}}.$

$P_i~=~\{~p_{j}\,~:\,~i<j~~\}$ とおくと $f_{p_{i}}$ は $P_{i}$ 上で定値となる。その値を $g(p_i)$ とし $g$ を $P=\bigcup_{i\in\omega}P_{i}$ 上の関数と考える。 $H\subset{P}$ を $g$ が定値となる無限集合とすると、 $f$ は $[H]^{n+1}$ 上定値。
(定理 2) $2^\kappa~\not\longrightarrow(\omega)^2_{\kappa}$ . 実際には $2^\kappa~\not\longrightarrow(3)^2_{\kappa}$ .
(証明) $2^{\kappa}$ の要素を $\kappa$ から $\{0,1\}$ への関数と考え、辞書式順序を導入する。このとき $f,\,~g\in~2^\kappa,\,f\neq{g}$ が異なる値をとる最小の順序数を考える。 $F(\{f,g\})~=~\mathrm{min}(\{\alpha<\kappa~\,:\,~f(\alpha)\neq~g(\alpha)\})$ は三元以上の homogeneous set を持ち得ない。
(定理 3) $2^\kappa~\not\longrightarrow~(\kappa^{+})^2$
(証明の方針) 定理2と同様に $2^\kappa$ の辞書式順序を考える。その順序において $\kappa^{+}$ 増大列もしくは減少列が存在しないことが本質。後で弱コンパクト基数が強極限であることの証明に使用する。
(定理 4 Erdös-Rado) $\mathrm{beth}^{+}_{n}~\longrightarrow~(\aleph_{1})^{n+1}_{\aleph_0}$ . 特に $(2^{\aleph_0})^{+}~\longrightarrow~(\aleph_{1})^2_{\aleph_0}.$
どうしてこんな証明を考えつくのか分からない。 $\mathrm{beth}$ (ベートと読む)は通常カタカナの「コ」の様な記号で表されるが、mimeTeX では出ない模様。
定理2,3,4 は、べき集合と元の集合が基数の大きさの関係は ZFC から規定できないにもかかわらず、分割の性質としては決定可能な面もあるのが面白い。 $2^\kappa$ の要素を $\kappa$ 上の 0,1 関数と解釈可能であり、さらにその上の辞書式順序がかなり強い制約を与えるからと思われる。
(参考文献) Thomas J. Jech 著 Set Theory
(関連項目) 弱コンパクト基数の基本性質(一回目)

2006年8月12日(土)

新しらたまちゃん
Wireless Mighty Mouse 本日届きました。さっそくドライバーを入れて、さらにマウス本体に捲土重来充電済みの eneloop を入れて使用開始です。

二人で記念撮影こんどは一人で

使ってみた感想をいくつか。
- 旧しらたまちゃんの方がガラスっぽいコーティングがされていてやや高級感あり。慣れの問題もありかも。
- 旧しらたまちゃんの方が丸みがあり可愛い。
- 新しらたまちゃんの方がやや軽量、信じられない方もいらっしゃるかも知れませんが、前のはもっと重かったのです(笑)。
- クリック感は微妙に異なるがどちらもそれなりの高級感あり。
- 電池を挿入した感じでは、旧しらたまちゃんはやや圧力が弱く、接触不良の危険があった。新しらたまちゃんはその点が改善されたらしく、十分な圧力がある。
- 全体的に旧しらたまちゃんはガラスっぽい感じで、新しいのはプラスチックっぽい。
- デフォルトの設定では移動速度が遅いので二段階ほど調整。
- やはりくるくる機能は便利です。試しに 360度スクロール機能も使ってみましたがこちらはなじめなかったので、無難なところで縦横スクロールに設定しました。
- 私は exposé を使わない人なので、ポッチン押し機能と、横押し機能は停止。
- 副ボタン(右ボタン)機能は割と良く使うので有効にしました。ただしまれに誤認識があり、主ボタンを押すつもりが、メニューみたいなのが現れる。こちらも慣れの問題かと。
- eneloop は充電完了一日後レヴェル4で開始。こちらは旧しらたまちゃんと同様です。電池の耐久性は今後レポートする予定です。
- くるくるボタンでの画面の拡大機能はとても便利。小さい文字で判読困難な場合等大変重宝します。
正直なところ感触や高級感の面では旧しらたまちゃんの方が好きなのです。ただしくるくる系の便利さは圧倒的な訳で、感触については慣れの問題もあると思いますので、今後使いこなせば気にならなくなると思います。
余談ですが旧しらたまちゃんと新しらたまちゃん双方の電源を入れると、両方同時に使用可能となります。器用な方は左右二刀流も可能かと。もちろん私はとっても不器用なのでそんな難しいことは絶対に出来ません(笑)。
(関連項目) まいてぃまうすバトンとっても長持ち新しらたまちゃん
(関連リンク) Y.Kumagaiさんの記事たかたにさんの記事

2006年8月11日(金)

モカちゃんと論理式
昨日はモカちゃんに背理法の伝授。 $\sqrt{2}$ が有理数にならないことと、素数が無限個あることの講釈です。ただし簡単そうに見えても、双方とも整除に関するちょっとした直感が必要なので、そちらの方で苦戦している模様でした。あと考えちゃったのは、素数が無限に存在する説明で、「有限個と仮定する」と言ったところ、「有限ってなあに？」と聞かれたことです。あらたまって聞かれるとすごく説明しにくいのです。とりあえず「無限でないこと」とごまかしましたが(一応定義としては正しいかな？)、どのように説明するのが一番良いのだろう。まあ「無限でない」で分かった気分になったようなので、特に問題ないのでしょうが、いまいちしっくりしません。もちろん有限個の自然数からなる「集まり」に最大の自然数が存在することは「明らか」ということで。
で、なんとか背理法の雰囲気がつかめたようなので、調子に乗って帰納法の講釈を始めようとしたのです。ところがこちらは今の段階では不可能に近いのです。要は帰納法以前に、自然数を領域とする一般の論理式(命題)という概念を説明出来ないのですよ。もちろん具体例をいくつか挙げたのですが、全然一般化出来ない様でした。というか今の段階で面白く説明出来る具体例少な過ぎ。
現在のモカちゃんとしては、一般の自然数なり有理数を文字で表現するあたりに慣れてきた段階な訳で、命題一般を例えば $P(n)$ と表現し、個別の $n$ に対し真偽が定まるという概念は非常に超越性が強いと感じたようです。
考えてみると超数学的なレヴェルで、一階の論理式の構成等に直感的な帰納法を使う訳で、数学という学問も存外循環論法的な部分があります。そもそも数学を物理的直感や循環論法無しで理解するのは不可能かと。子供に教えていると特にそう思うし、私自身も無意識に循環論法を使い、それを整理した段階で体裁を整えているだけだと思う。

2006年8月10日(木)

風景二題
下の写真は私が勤めている会社の風景。怪しいです(笑)。まず左側は最近入社した、ハードもソフトもえらく出来る人が持ってきた機材。うわさには聞いてましたが、無刻印のキーボード初めて見ました。また、このような変態名人キーボードを使用しつつ、 OS が Windows というのが不思議なのです。横に置いてあるころころマウスもどき君もへんてこ感を増大させます。
あやしさ抜群です。
こんどは右側。なんと社内にミサイルが！
実を言いますとこちらはパラシュートで落下させ、地質の調査に使用する機材らしいのですが、さりげなくロッカーの横に置いてあるのがやはりあやしいのです。

本当のことを言いますと、勤めている会社自体それほど変な会社ではなく、そもそも社長さんは 6人も子供がいて、しかもそのうち 5人が年子(笑)。まあ私も子供が 3人いるのですが、全体として子持ち社員の人数は多い方だと思います。さらに社内結婚もちょこちょこあるようで、転職を重ねると、こういうほのぼの系雰囲気が、仕事を行う上で思いのほか大切であることが分かるようになります。

2006年8月9日(水)

ゴミ箱叫び男
昨日会社の帰りにコンビニの前を通ったら、ゴミ箱の中に顔を半分くらい入れて叫んでる男がいたのです。内容は「ここから〜歩いて〜右に曲がると〜ガソリンスタンドがあって〜...」という感じの道案内もどきなのですが、はっきり言いまして怖いです。
で、やだなーと思いつつ目を合わさないように気をつけて、横を通り過ぎたのですが、なんとゴミ箱男は自転車を所有しており、今度は叫びながら自転車を運転し背後から近づいてきたのです。いや！二十歳くらいで風貌も変な感じではないのですが、とにかく叫んでいるのです。
背後から何かされてはたまらないので、一度立ち止まってやりすごしたのです。ところがですよ！これで一安心としばらく歩いていたら、今度は前方から叫び声が。
別のコンビニのゴミ箱に向かって叫んでいました(笑)。
いや、笑いごっちゃないって！！目的地があるのかどうか知りませんが、どうも私と同じ方向に向かう傾向があるようで、結局駅の近くまでくっついたり離れたりして同行するはめになったのです。暑いからなのか、台風のせいなのか、それとももともとそういう趣味の人なのかは知りませんが、もう二度と会いたくないな。
余談ですが、一昔前京浜東北線というか根岸線に「叫び車掌男」という有名な人がいまして、大船駅のちょっと先から横浜駅までの間、毎日同じ時間、同じ場所に立って大声で車掌さんのまねをするのです。「次は何とか〜。ここから揺れますのでご注意ください〜」となかなか上手なのですが、とにかくうるさいし、当然最初は不気味だったのです。ただしだんだんと無害であるらしいことは分かってきたので、込んでいそうなときは叫び男の定位置のあたりに乗ることにしました。そこだけ座席が空いている確率が高く、うるさいのを我慢すれば存外便利だったのです(笑)。

2006年8月8日(火)

究極ダイエット法
以前重力理論による空間の曲がりを駆使した究極でぶ法を発見したことを書きました。間違いなくアインシュタイン以来最も優れた重力理論と言えます。ところで日本のように食料事情が良い国では、一般にでぶになるよりも痩せたいと思う人の方が多いと考えられます。そこで苦節三年日々研鑽を積み、究極のダイエット法を考えていたのですが、やっと本日な理論として発表することが可能となったのです。
要は反重力です(ト)
アインシュタインは難しくて良くわからないので、ニュートンの重力公式で説明します。
$F~=~G~\frac{mM}{r^2}$
上の式で $F$ の値を負にすることが可能であれば反重力が実現します。そのためには $G,m,M$ のいずれかを負にするか、 $r$ を虚数にすれば良い訳です。ただし $G$ は定数なので勝手に変更すると怒られそうです。さらに $m,M$ を負にすることが可能であれば、そもそもダイエットはすでに大成功した状態と言えるので、この段階で理論は完成です。
従って $r$ を虚数化することを考察します。
もちろん $r$ の通常の解釈は距離ですから、0以上の実数でないと距離空間の公理に反すると普通は考えます。ところがうまいこと $\mathbb{R_{\ge~0}}$ と $\mathbb{C}$ の間には一対一の対応が存在するので、 $\mathbb{R_{\ge~0}}$ の代数構造と順序構造を「そのまま」 $\mathbb{C}$ へ移行することが可能です。代数構造と順序構造を移行してしまえば二乗して負にならないというつっこみに対しては、「二乗した結果に関しては普通の複素数の構造を使う」とかごまかせば、簡単に反重力の出来上がりです(と)。
そもそも物理学という学問はあっちこっちで虚数を使っているのであり、上のように無理なこじつけ解釈をせずとも、 $r$ を虚数とするのは問題が無いような気もします。一目論理的な矛盾もなさそうだし。どうしてだめなんだろう？まじに分からなくなってきました。
いずれにしても、世の中のダイエット願望はなかなか強そうなので、新たに「ダイエット部屋」でも作り、新格闘ダイエット協会を経営すれば大もうけ出来そうな気もするのですが、いやはや世の中そんなに甘くないでしょうなあ(笑)。
(参考文献)
相撲部屋 (重力による空間湾曲の研究)
るんるん自転車 (回転対称性による反重力理論)

2006年8月7日(月)

ゲーデルと20世紀の論理学第一巻
一通り読みました。「I ゲーデルと日本」の部分が、ゲーデル以降の日本における論理学・集合論の歴史を簡潔かつ明快にまとめてあり存外面白かったです。 74 ページの「モストウスキつぶし補題」はもちろん推移的崩壊のことなのですが、なかなか面白い言い回しかと。
「II ゲーデルと哲学」」は論理実証主義との関連が良くわからない。というかそもそも「論理実証主義」が何者か分からないので。さらに機械論については余り興味がないので読み飛ばしです。どうも論理や計算は根っから苦手らしい。
竹内先生の「私の基本予想とゲーデル」はもう少し具体的な説明を期待していたのですが、意外とあっさりした記述だったのはで少々残念です。
十分面白い本ですが、本格的な議論は二巻以降に期待という感じでしょうか。特に二巻の「完全性定理とモデル理論」の考察に期待。なんとなく不完全性定理より面白い気がするのです。

2006年8月6日(日)

ルート3の覚え方
私が小学校の時父に教えてもらった $\sqrt{3}~\sim~~1.73205080756887729352\cdots$ の覚え方は
ひとなみにおごれやおなご
というものでした。ところが中学校で習ったときには最後の三文字は教えてもらえなかったし、周りの人に聞いても誰も知らないようなのです。まあ最後の三文字は語感的に問題がありそうなので、教育現場で教えなかったのも分からないではないのですが、これで有効数字が 3桁も増えるならばそれもありかと思わないではないのです。私は父から伝授されたので知っているのですが、教育現場で習った世代はどのあたりまでなのだろうか。やはり戦前？ちょっとした謎です。
それはともかくとして $\sqrt{2.99999999872217157184}$ ($\sqrt{2.99999999872217157184}$) の覚え方なんて口が裂けても言えません(笑)。
(さらに悪のり) $G=\sqrt{2.99999999872217157184},~\,H=\sqrt{3}$ とします。最新の理論によると、拡張された有理数 $G$ を元のモデル $M$ に添加し、モデルの拡大 $M[G]$ を作ると、概算で数億個の実数が増えることになります。さらに $M$ に無理数 $H$ を添加した拡大 $M[G]\subset~M[H]$ を考え、この世界を $M[G]$ から眺めると非常に仮想的な宇宙という感じになるのです。ただし実際の計算を行う場合 $M[H]$ の要素を固定し具体化する場合が多く...。
すみません下品な話題で(殴)。

2006年8月5日(土)

今だ弱コンパクト基数おこもり中
集合論雑記目次
いやはや、いままでいかに基本的で重要な部分の勉強をすっ飛ばしていたかを再認識しました。かなり時間がかかりそうです。必要なこと一覧。
$\kappa~\longrightarrow~(\lambda)^{n}_{r}$
木に関する諸性質。一度勉強したつもりですがすべて忘却の彼方
無限論理についての直感
これらの概念って表面的には引き出し論法の拡張なのでしょうが、私の能力ですと、なかなか証明を追うのが難しいのです。
そもそもこういう組み合わせ論的な議論って余り得意ではではないのでは。ただし、いつも心がけていることとして、完全に理解するのは難しい面もあるとしても、一度は証明の論理的筋道を納得しながら追いかけないと、確実に後でしっぺ返しを食います。なのでここは後一月くらい忍耐です。
証明のアウトラインを印刷して、電車の中で考えると効率がアップするかも。
毎日心置きなく八時間くらい勉強したいです。でもそれはそれですぐいやになってしまいそうです。趣味なので亀のごとく歩むのが一番幸せなのかも。でもそろそろ能力の限界が近づいている感じがしないでも。やだな(笑)。
(おまけ) $\kappa~\longrightarrow~(\lambda)^{n}_{r}$ の意味ですが、 $\kappa$ を基数として $n$ を自然数とします。今 $[\kappa]^n$ を $\kappa$ の $n$ 個の部分集合全体からなる集合とします。今 $[\kappa]^n$ に対し $r$ 個(無限でも良い)の任意の分割が与えられているとします。これは関数 $f:\,~[\kappa]^n~\rightarrow~r$ が与えられていることと同等です。
このとき $H\subset\kappa$ が存在し $|H|=\lambda$ かつ $[H]^n$ が与えられた分割の特定の集合の部分集合となるとき $\kappa~\longrightarrow~(\lambda)^{n}_{r}$ と書くのです。上で述べた $f$ が $[H]^n$ 上で定値になると言っても同じです。この条件が成立しない場合 $\kappa~\not\longrightarrow~(\lambda)^{n}_{r}$ と書きます。
(関連項目) 弱コンパクト基数の基本性質(一回目)

2006年8月4日(金)

つくば出張
今日はつくば出張なのですが、おそろしく暑いです。本格的な夏ですね。

つくば駅前同じく駅前の道路

つくばの木さらにつくばの木

2006年8月3日(木)

バグ
今、午前三時ですが、まだ会社で仕事してます。明け方までには何とか。最近納期間際に良くお化けが出る。年のせいで注意力が落ちてるのか。やだな。
てゆうか納期の前の日にハードが出来上がってくるのもなあ。

2006年8月2日(水)

ゲーデルと20世紀の論理学(1)
明日届きそう。
```
今回発送する商品は以下のとおりです。
---------------------------------------------------------------------
数量      商品
                          価格  発送済み          小計
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   1
ゲーデルと20世紀の論理学(ロジ ¥3,990      1  ¥3,990
```
はやしさんのところから引用。
はい、ついに、ですよ。でも、この巻ではあまりゲーデルの業績自体にふれる、というよりは、ゲーデルを取り巻く当時のロジックの状況説明が主な感じだから、ふつうの人はそれほど急いで読むようなものではないかも。とはいえ、おれには十二分におもしろかったです。で、この中では、やっぱり飯田隆の「ゲーデルと哲学」が白眉かな。
やや「ものたりないかなあ」という感じもするそうですが、面白い部分も多々あるそうですので、楽しみにしています。
ニーチェ
今日の話題は高尚です。なななんとゲーデルの次はニーチェですよニーチェ！！
実は二女が大学の一般教養で哲学を履修したのですが、昨日の午後三時がレポートの提出期限だったのです。
古今の哲学者を一人選び、原稿用紙三枚程度にまとめた感想文を提出するらしいのですが、「どうしてニーチェなんて一番難しそうな人を選んだの？」と聞いたところ、
「名前がかっこ良かったから」
と、案の定何も考えてなかったらしいのです(笑)。
結局ニーチェの哲学に関して何も知らず、本人は全く書くことが出来なかったのです。仕方がないので、奥さまが朝の八時頃から代理で書き始め、なんとか十一時頃にコンピューター上で書き終え、二女が原稿用紙に写し終えたのがお昼頃。どうもインターネットからコピペするのを防止するため、手書きでの提出が義務づけられているようなのです。その後大急ぎで大学に持っていき何とか間に合ったようです。
二女が高校生の頃まで、奥さまも私で数限りなく宿題の代理を行いましたが、まさか大学生の代理をすることになるとは(笑)。二女が数学(という言葉を聞くのもやなそうな)の講座を履修しなかったのは、私にとってはとても幸いだったのかも知れません。

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K	輪切りにすると普通の球面になる四次元の中の球面です。
S	？？？
K	皮が三次元なんですよ。
S	？？？
K	えーっと分からないですよね。それでは平面人間を考えます。
S	ふむふむ
K	この人たちは周りを囲んでいる三次元空間を認識出来ないとします。
S	うんうん
K	でもって、この平面を普通の球面が横切ったら、平面人間にはどのように見えると思いますか？
S	そりゃ最初にぽつんと点が見えて、小さい円になり、だんだん大きくなり、また縮んで点になり見えなくなるのでは。
K	それと同じことを一次元上げて考えます。我々の周りに認識不可能な四次元空間があったとして、その空間内の三次元球面が我々の世界を横切ったとします。
S	もしかして小さい風船みたいなのが現れて、段々大きくなって、また縮んで消滅するのでは？
K	そうですそうです！！そういうイメージなんですよ。
S	で、結局なんなの(笑)
K	そんなの私にも分かりませんよ。ただし方程式は簡単に書けて、四次元空間で x² + y² + z² + w² = 1 という感じで定義されるのです。輪切りにするというのは、例えば w に 1 以下の実数を代入することを考えれば良いのです。そうすると x, y, z だけが残って普通の球面になるでしょ。
S	なるほど。ということは体積とかも求まるの？
K	輪切りにしたのを積分すれば簡単ですよ。球面ではなく内部も含めてですが。
S	分かったような分からないような。まあ雰囲気は。
K	いや〜私もそんなもんですから(笑)。


つくば駅前	同じく駅前の道路

つくばの木	さらにつくばの木


二人で記念撮影	こんどは一人で