2004年7月

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2004年7月31日(土)

ピアノの発表会
今日はモカちゃんのピアノの発表会でして、弾いた曲は「シューベルト作曲・即興曲 Op. 90-4」ということだったのです。前回の発表会が昨年の 11月だったのですが、いやはやまだ一年経ってないのに随分上手になったもので。子供の成長というのはほんとに速いものです。

集合写真その１
集合写真その２

演奏
花束をもらう

2004年7月30日(金)

WindowsXP インストール覚え書き
もうすぐ XP の CDROM が届くと思うのですが、実は今週と来週は色々イベントありて、インストールする暇がなさそうです。それはそうと Web をうろついて調べたところによりますと、やっぱり
XP をインストールするとマスターブートレコードは勝手に上書きされてしまう(-_-)
らしいのです。そこで修復手段案の覚え書き。
- 現行の FreeBSD の必要なファイルはすべてバックアップする (またかよ^^;)。
- 現行見掛け上デュアルブートになっている MBR をバックアップする。これは /dev/ad0 の先頭 512 バイトを dd 等で吸い上げれば良さそう。
- XP インストール後に FreeBSD を CDROM で起動して上記 MBR を復元する。このとき XP が書いた MBR のバックアップを忘れないこと。
- もしうまくゆかない場合、仕方がないので MBR を戻して XP のローダーを利用する。この場合 /boot/boot1 を R30 からでも持って来て、 C:/bootsect.bsd なる名称でコピーして、さらに C:/boot.ini に次の行を追加する。
```
    [C:/boot.ini]
    ---------------------------------------------------------
    [boot loader]
    timeout=30
    default=multi(0)disk(0)rdisk(0)partition(1)\WINDOWS
    [operating systems]
    multi(0)disk(0)rdisk(0)partition(1)\WINDOWS=\
          "Microsoft Windows XP" /fastdetect
    C:\bootsect.bsd="FreeBSD 4.10 Release"   ←これ
    ---------------------------------------------------------
```
うーむなるべくなら FreeBSD のブートローダーがうまく動いてくれれば良いのですが、最悪 XP の方のデュアルブート環境を使用する必要があるかも知れません。もっと運が悪いと FreeBSD の再インストールなどという...。いやいやそれだけはご勘弁を(^^;。

2004年7月29日(木)

閉非有界集合
[集合論雑記目次]
前々回非可算正則基数 κ 上の閉非有界集合(closed unbounded set)全体が κ-complete フィルター基底の例であると書きましたが、今回はそれに関する話題です。今回 κ は常に非可算正則基数を表すこととします。
[定義]
正則基数 κ の次の条件を満たす部分集合 $C~$ を「閉非有界集合」と呼ぶ。
$(a)~\,\alpha<\kappa~$ が極限順序数で $\sup(C~\cap~\alpha)~=~\alpha~$ を満たすとき $\alpha~\in~C~$ $(b)~\,\forall~\alpha<\kappa\,~\exist~\beta\in~C(\alpha<\beta)~$
(a) が「閉」の条件で (b) が「非有界」の条件です。(a) は次の記述と同値です。
(a') $\beta<\kappa~$ とするとき C の任意の増大列 $(\alpha_\x)_{\x<\beta}~$ に対して $\lim_{\x\rightarrow~\beta}~\alpha_\x~$ は $C~$ の要素。
(a) の前提条件を満たす $\alpha~$ を $C~$ の極限点(limit point)と呼びます。また $|C|<\kappa~$ とすると $\kappa~$ の正則性より $\sup(C)<\kappa~$ となり $C~$ の非有界性に反するので $|C|~=~\kappa~$ となります。
[補題]
κ 上の非有界閉集合からなる集合はフィルター基底となる。即ち $C,D~$ が閉非有界のとき $C~\cap~D~$ も閉非有界。
$C~\cap~D~$ が閉となることは明白。非有界の方は $\gamma<\kappa~$ として $\gamma~<~\alpha_0~<~\beta_0~<~\alpha_1~<~\beta_1~<~\cdots~<~\alpha_n~<~\beta_n~~~\cdots\quad~~(\alpha_n~\in~C,\,\beta_n~\in~D)~$ なる ω 列を考えるとこの列の極限は $C~\cap~D~$ の要素となるので証明完了。
[定理]
κ の閉非有界集合全体から生成されるフィルターは κ-complete となる。
このフィルターを κ 上の閉非有界フィルター(closed unbounded filter)と呼ぶ。
γ<κ として $(C_\x)_{\x<\gamma}~$ を閉非有界集合の γ-列とします。このとき $\bigcap_{\x<\gamma}C_\x~$ が閉(closed)となることは明白なので、非有界でであることを超限帰納法により証明します。まず γ が極限数でない場合、帰納法のステップは補題により得られます。従って γ を極限数とします。 $\x<\gamma~$ に対して $D_\x~=~\bigcap_{\zeta\leq\x}{C_\zeta}~$ を考えると、帰納法の仮定により $(D_\x)_{\x<\gamma}~$ は非有界閉集合の列となり $D_0~\supset~D_1~\supset~D_2~\supset~\cdots~$ が成立します。 $\alpha~<~\kappa~$ とするとき κ の正則性により次の列を構成可能です。
$\alpha<\alpha_0<\alpha_1<\cdots<\alpha_\x<\cdots\quad(\alpha_\x\in~D_\x)~$
このとき $\alpha_\x~\in~D_\zeta~\quad~(\zeta~\leq~\x)~$ に注意すると $\beta=\lim_{\x~\rightarrow~\gamma}{\alpha_\x}~$ はすべての $D_\x~\quad~(\x<\gamma)~$ の要素となり $\alpha<\beta~$ を満たすので証明完了です。閉非有界フィルターはさらに「面白い(驚いた)」挙動を見せます。
[定義]
$(X_\alpha)_{\alpha<\kappa}~$ を κ の部分集合の κ-列とするとき
$\bigtriangle_{\alpha<\kappa}{X_\alpha}~=~~~\{\x~\in~\kappa|~\forall~\alpha<\x(\x~\in~X_\alpha)\}~=~~\{\x~\in~\kappa|~\x~\,\in~\,\cap_{\alpha<\x}X_\alpha\}~$
を $(X_\alpha)_{\alpha<\kappa}~$ の対角共通部分(diagonal intersection)と呼ぶ。
[定理]
$(C_\alpha)_{\alpha<\kappa}~$ を κ の閉非有界部分集合の列とするとき $\bigtriangle_{\alpha<\kappa}{C_\alpha}~~$ は κ の閉非有界部分集合。
[系]
$(\alpha_\x)_{\x~\in~\kappa}~$ を任意の κ-列とするとき $\{\beta<\kappa|\forall\x<\beta(\alpha_{\x}<\beta\)}~$ は閉非有界。
系は $C_\x~=~\{\beta<\kappa|\alpha_\x<\beta\}~\quad~(\x<\kappa)~$ を考えると明らかに閉非有界で、これらの対角共通部分はまさに $\{\beta<\kappa|\forall\x<\beta(\alpha_{\x}<\beta\)}~$ となるから。
実を言いますと、とある定理(デルタレンマ)の証明を読んでいたら、この系が使用されていて全然分からなかったのです (&alpha_ξ が急激に増大するときこんな都合の良いことが...しかも κ-列)。そこでとにかく閉非有界集合を真面目に勉強する必要がありそうと思ってこちらを勉強したのですが、うまいこと当たりまして、やっとこ「系」の部分が理解できたということなのでした。
肝心の定理の証明ですが次のように行われます。まず前証明と同様に $C_0~\supset~C_1~\supset~C_2~\supset~\cdots~$ と仮定してよく $C~=~\bigtriangle_{\alpha<\kappa}{C_\alpha}~~$ として $C~$ が閉(closed)であることを示します。 $\alpha~$ を $C~$ の極限点とし $\xi<\alpha~$ に対し $X_{\xi}~=~\{\eta\in~C|\xi<\eta<\alpha\}~$ とします。このとき対角共通部分の定義により $X_{\xi}\subset{C_{\xi}}~$ が成立し $\alpha~$ が $C~$ の極限点であることから $\alpha=\sup(X_\xi)~$ が成り立ちます。従って $\alpha~\in~C_\xi~\quad~(\xi<\alpha)~$ が成立するので $\alpha~\in~C.~$
次に $\alpha~\in~C~$ が非有界であることの証明ですが $\alpha<\kappa~$ を固定して次の様に $\omega~$ 列 $(\alpha_n)_{n\in~\omega}~$ を構成します。
$\alpha<\alpha_0<\alpha_1<\cdots<\alpha_n<\alpha_{n+1}<\cdots\quad~~(\alpha_0\in~C_0,\,\alpha_{n+1}\in~C_{\alpha_{n}})~$
このとき $\beta=\lim_{n~\rightarrow~\omega}\alpha_{n}~$ が $\alpha<\beta,\,\beta\in~C~$ を満たし $C~$ の非有界性が証明されます。次回は閉非有界集合と関連が深い「定常集合」に関しての記述を行う予定です。いったい Martin の公理はどうなったかというつっこみもありそうなのですが、このあたりをきちんと勉強しておくと Martin の公理をより楽しめそうな気がするのであります。
今回は Thomas J. Jech 著 Set Theory を参考にした部分が多いです。もし引用の範囲を越えている等の問題があればご指摘下さい。

2004年7月28日(水)

Windows XP 注文
IBM を催促した割りには注文するのを忘れていた X24 用の Windows XP ですが、本日やっと投函しました。支払は簡単でして、私の場合注文書にクレジットカードの番号を記載したので、一週間位で実物が届き、いずれ 4,200円引き落としということになると思います。現在 X24 の 80G ハードディスクは 16G バイトほど余らせてあり、その部分にインストールする予定なのですが、はてさてマスターブートレコードとか勝手に書き換えられて、デュアルブート環境を復元するのに苦労することになるのか、そのあたりが全然分からないのがちょっとやなのです。

2004年7月27日(火)

モカちゃんの算数で苦戦する
最近モカちゃんに「算数の問題解き方教えて〜」、と言われることが多いのですが、小学校 5年生位になるとなかなか難しいもので(汗)。特に図形関連(昔からできない)となると「もうかんべんして〜」と言いたくなるのですが、なんせパパは一応数学得意ということになっているので、「ふーん、こんなのもできないのか〜」という姫の疑惑の声が聞こえてくるような(^^。それから何か値を求める問題で、方程式をつかっちゃだめというのもなかなかつらいですな。図形とちがってこちらの方は一生懸命考えればなんとかなる場合が多いのですが、それでもとんでもなく時間がかかる場合があります(しかも電卓使わないと間違えるし...)。純粋な算数的問題より、例えば「距離・速度・時間」の関係や「溶解度」等、どちらかというと本来物理や化学に関連する問題ですと、こちらはさすがに経験が物を言い簡単に分かる場合が多いのですが、とにかく小学生の算数あなどれず！！。この方面も少し勉強しとかないとますます信用がなくなる恐れがあったりします(^^。
＃二女の高校数学の方がはるかに楽だったりします。
遅くなった ADSL
最近 ADSL のリンク速度や実効速度が全盛期に比べて 0.2Mbps 程度遅いのです。全盛期は下りリンク速度が 3Mbps 強だったのに、最近は 2.9Mbps 程度で上りも若干遅くなっているのです。うわさによりますと、すでに十分速いのに最近ますます速くなった人もいるそうですが、いやはやあたかも大貧民ゲームのごとく世の中の不公平はどんどん拡大する方向にあるものですな(^^;。
＃と言っても体感上はいっしょですが(涙)

2004年7月26日(月)

AH-K3001V 使用料金詳細

いまいち月額料金の詳細が分かりにくかった AH-K3001V つなぎ放題コースですが、内容明細のページによると次のような金額だそうな(ほとんどそのままこぴぺ)。

料金の内訳(消費税含まず) (円) ご利用期間等

つなぎ放題基本使用料 5,800 ６月１６日〜　７月１５日

年間契約割引額 -870 ご契約期間１ヵ月

Ａ＆Ｂ割割引額 -870

通話料 290

小　計 4,350

ふむふむちゃんと年割りと A&B 割りは独立に適用されるのですな。通話料金を除くと月あたり 4,060x1.05=4,263円になりまして、IIJmio の 315円を加算すると4,578円ということになります。ちなみに通話料金 290円のほとんどは会社を出るときおうちにかけた「帰りますコール」だったりします(^^。

2004年7月25日(日)

アイネットディーディスクスペース増設
アイネットディーからの連絡メールによりますと、料金が若干値下がりして (私のプランでは年間 10,500円から 9,800円)さらにディスク使用可能スペースが現行 100M バイトなのが 300Mバイトになるそうな。ディスクも安くなってきたのと、うわさによりますといわゆる無料で 1G とかのサービスも出てくるようなので、そういうのに対抗する必要があるのかも知れません。非常に優秀は保守体制を考えれば今まで通りでも特に不満はなかったのですが、現在おうちのホームページ領域が 68M バイト程度なので、もし自宅サーバーがお亡くなりになったときに全部移行するには、ちょっと容量的に不安があったのは事実なので(現在メール一月分のバックアップもあるので)これはとっても良いですな。さらにいざというとき evariste.jp がアイネットディーのサーバーを指すようにするのはとっても簡単なのです。
それでは私もまねをして広告バナー掲載なのです。

おすすめです(^^。

2004年7月24日(土)

一休み・ブルバキの集合論
[集合論雑記目次]
今日はちょっと趣向を変えてブルバキ集合論のお話しです。前にも書いたようにブルバキの集合論は独特の体系になっていまして、集合論をそれ自体独立した分野とは評価せず、厳密な数学を構築するための論理的な基礎と割り切った体系になっていると思われるのです。それにもかかわらず今眺め直してもなかなか発想的に面白い面があるのも確かなので、どんなものかを一通り書いておこうと思うのであります。まずは論理体系から。
[論理体系]
論理体系は一階述語論理なのですが、記述と存在に関する解釈が独特です。まず特徴を列挙しますと、
(a) 論理記号は □, $\tau,\,~\vee,\,\neg~$ からなる
(b) 論理式の生成規則はポーランド(関数)形式
(c) 自由変数を「文字」と称する
(d) 束縛変数は存在しない
あたりだと思います。は「否定・または」の意味に使用され、この部分に関しては普通の命題論理とまったく同じです。ただしポーランド記法なので通常と書くところを、と記述するわけです。独特なのは述語論理の部分でして、記号 □ は束縛変数を表す無名文字と解釈され τ 記号と「鎖」で結びつけた関連により、「存在する対象一般」を表す「もの」を表現するのに使用されます。 R(x) を関係式とするとき、省略記法は次ように記述された項を表す記号列です。
(a) 記号列 τR(x) を作り τ と「R(x) に現れる文字 x すべて」とを「鎖」で結びつける
(b) (a) で生成した記号列に現れる x を全て □ で置き換える
例えば τ_x∈xy は
```
 |~~~|
τ∈□y
```
なる記号列なのです(上の鎖がとても書きにくいです...)。の解釈は「R(x) を満たす x が存在する場合その任意の一つを表す対象。そうでない場合不定の対象」です。例えば τ_x∈xy は y が空集合でない場合「y の要素の任意の一つ」を表し、y が空集合の場合「不定な項」を表します。 τ は関係を対象化する強力な記号です。存在記号は省略記号として導入されはそのものであると定義されるのです。また実際には記述が進むにつれポーランド方式は使用されなくなり、種々の省略記法を用いた「中記記法」が採用されるようになり、通常の一階述語論理の体系と同等の結果が記述されます。 τ 記号の使用は集合論で驚くべき結果を導きます。
[集合論]
論理体系は見掛けが奇妙な割りには内容は比較的常識的なのですが、集合論は内容が奇妙です。集合論の特徴としては、
(a) 存在公理・外延性の公理・対の公理は存在する。
(b) 「分出と合併のシェーマ」(後述)なる公理で「内包の公理」「合併の公理」「置換公理」を一気に扱う。この公理は最初とても分かりにくい。その他常識的な「巾集合の公理」と「無限公理」があるが「基礎の公理」はない。
(c) 「選択公理」がない(というか必要ない)。
(d) 順序数への言及は全くない。
(e) 集合となりえない対象を定義するとき τ 記号が活躍する。
(f) 厳密ではあるが、内容としては集合・写像の基本演算・基数・Zorn の補題・順極限と逆極限等の初歩的な部分にとどまる。集合論に関する超数学的な考察は全くない。
あたりでしょうか。まず分出と合併のシェーマを引用しますと、
R を関係式(通常の用語では論理式) x,y を異なる文字 X,Y を x,y と異なりさらに R に現れない文字(変数)とするとき
$\forall~y\exist~X\forall~x(R~\rightarrow~x~\in~X)~~\rightarrow~\forall~Y~({\rm~Coll}_x(\exist~y(y~\in~Y~\wedge~R)))~$
ここで ${\rm~Coll_x}(R)~$ は $\exist~y\forall~x(x~\in~y~\leftrightarrow~R)~$ のこと。ただし y は R に現れないものとする。
うーん最初は分かり難いですね(^^。ちなみにの意味は「R を x に関して外延化して集合を作ってよろしい」という意味です。肝心のシェーマの本体の意味は大雑把に
個別の y に対して R(x,y) が x に対して外延化可能な場合、任意の集合 Y に対して Y の要素と R 関係にある x 全体も外延化可能。
ということなのですが、公理の内容を考えると明らかな様に、これから内包の公理と合併の公理を証明することができます。また置換公理も証明されています(2章1節 C53)。
次に選択公理に関してですが、これは τ 記号により論理体系に埋め込まれています。即ち、
f を X から Y への関数として、任意の x∈X に対して $f(x)\neq\emptyset~$ の場合
$g(x)~=~\tau_{y}(y~\in~f(x))~$
が選択関数になるということなのです。すなわちブルバキの論理体系上の集合論では「選択公理」が他の公理と独立か、等の議論は無意味なのです。このあたりが順序数を無視した内容とともに、特に基礎論関係の研究者から批判が多かった部分であると思うのですが、個人的には便利さを別としても、特に一対一関数と上への関数の整然とした双対性を保証するために、集合論を土台とした数学において選択公理が必須であるとは考えています。
その他、選択公理が同値類からの要素の選別可能性を主張していることを考えれば明らかとは言えるのですが、τ 記号はなかなか強力な作用を持っていまして、例えば(順序数なしでの)基数の定義等に使用されます。即ち、
「X から Y への一対一かつ上への関数が存在する」という関係を X〜Y と書くことにすると X の基数の定義は τ_Y(X〜Y)
などというほとんど反則ではないかという記述も可能となるのです。またはの省略記法として導入されるのです。
こうして書いてみると、内容の選別は後の巻で使用する部分に限定という割りきりで、厳密性だけは保証しようという意図はともかくとして、やはりブルバキの集合論を特異なものとしているのは τ 記号の使用かなと思うのであります。

2004年7月23日(金)

夏休み
やけに子供達がのんびりしてると思ったら、出張中に夏休みに入っていたのですねー。私は 8月中は忙しくて休めそうにありません。なので 9月の終り頃とる予定 (どうして？) 。それから今日は二女の 17歳の誕生日。定時に帰らなくっちゃ(^^。
firefox 設定覚え書き
実は最近ブラウザとして二年間程使い続けた mozilla とさよならしまして、 firefox に切り替えたのです。理由としては、フリーソフトなので仕方がないのですが、mozilla のフォントの見栄えがバージョンを変えるたびに良くなったり極端に悪くなったりしまして、先日 X24 に FreeBSD を新規インストールして mozilla を ports から入れたら最悪の方にあたってしまったのですねー(^^。さらに私はフォントのことが全然分からないので、デフォルトの状態でよろしくない場合、ほとんど改善不可能だったりするのです。というわけで、試しに前はフォントの見栄えが悪かった firefox をインストールしたところ、
とっても綺麗
といううれしい状態で、しかも mozilla より軽快で機能も豊富なのです。ただしちょっと困ったのがインストールした状態では java と flash が動作しなかったのでここに覚え書きです。
[java を動かす方法]
- /usr/ports/java/jdk14 をインストールする。これをインストールするためには jdk13 等が必要で、いずれのイメージも SUN から手作業で、さらにどう考えてもお互いに無駄なるユーザー登録をして持って来る必要があります。その他 BSD 用のパッチ等も SUN から持って来る必要がありますが、こちらはユーザー登録の必要はありません。
- そのままでは firefox が
  /usr/local/diablo-jdk1.3.1/jre/plugin/i386/ns600/libjavaplugin_oji
  なるものを見にいってしまい、これは古すぎてうまく動かないので、
  # ln -fs /usr/local/jdk1.4.2/jre/plugin/i386/ns610/libjavaplugin_oji.so \
  /usr/X11R6/lib/browser_plugins/libjavaplugin_oji.so
  なるおまじないで、firefox が jdk1.4.2 の方を見に行くようにします。
[flash-plugin を動かす方法]
- Linux emulation の環境を整備する。
- /etc/libmap.conf がない状態で /usr/ports/www/flashpluginwrapper をインストールする。ある状態でインストールすると私の所ではなぜか動かなくなりました。
- /etc/libmap.conf に次のように書き込む
```
# Flash6 with Mozilla/Firebird/Galeon/Epiphany
[/usr/local/lib/linux-flashplugin6/libflashplayer.so]
libpthread.so.0                 pluginwrapper/flash6.so
libdl.so.2                      pluginwrapper/flash6.so
libz.so.1                       libz.so.2
libstdc++-libc6.2-2.so.3        libstdc++.so.3
libm.so.6                       libm.so.2
libc.so.6                       pluginwrapper/flash6.so
```
その他良く分からないのですが、java3d とかを動かす方法もあるようですが、どうせ使わないので設定しません。いずれにしてもとってもとっても面倒ではあったのですが、上記作業により mozilla 時代より軽快で気分が良いブラウザ環境が整ったのであります。うーん満足(^^。

2004年7月22日(木)

やっと帰宅
ひとまず一段落ということで本日は帰宅できそうです。まあ泊まる予定での出張ですと 3日位たいしたことがないのですが、準備していかないとなんのかんので疲れますな。さらにお金を一万円位しかもってかなかったので、宿代とか同行の人に借金したりすることになってしまいました。
余談ですが FreeBSD/X24/AH-K3001V はメールの送受信、w3m で画像なしの閲覧程度だとなんとか大丈夫そうで、結構便利に使ったのでした。それから USB から充電できるのはこういうときとっても便利なのです。ただ問題は X24 のバッテリーでして、行くときの電車がすいてたのでちょっと使ってみたのですが、USB に AH-K3001V を繋いでいた影響もあるのかも知れませんが、
電池が 30分しか持ちません(-_-)
うーむこれは完全に寿命ですな。とはいってもたかが電池に二万円近く出費する気にもならず、まあ幸い移動中に WWW をうろつくのは AH-K30011V を使えば良い、ということでこれは放置するしかありませんな。
[おまけ]

禾生駅(富士急行線)
線路

駅表示
この電車で帰った

2004年7月21日(水)

続・出張
実はもう一晩泊まりだったりします(^^;。
でも先が見えてきた。

2004年7月20日(火)

出張
今日は山梨県禾生(かせい)に出張。今仕事中なのですが(おい)いつ落ちるかわからない FreeBSD/X24/AH-K3001V でアップロードできるかな(^^。
結局(予想通り)泊まることになりました。

2004年7月19日(月)

超フィルターと κ-完備フィルター
[集合論雑記目次]
半順序集合 ${\bf~P}~$ 上のフィルター $F~$ が ${\bf~P}~$ の部分集合の包含関係に関して極大ののとき超フィルター(ultra filter)と呼びます。Zorn の補題により任意のフィルター $F~$ に対してこれを含む超フィルターの存在が証明できます。半順序集合 ${\bf~P}~$ が次の条件を満たすとき、超フィルターの分かりやすい特徴付けが得られます。
[半順序に関する条件]
${{\bf~P}\neq\emptyset}~$ で任意の $p\in{\bf~P}~$ に対し次の条件を満たす ${q\in{\bf~P}}~$ が存在する。
$(a)\,p~\bot~q\cr~~(b)\,\forall~x\in~{\bf~P}(x~\bot~q~\rightarrow~x~\le~p)\cr~~(c)\,\forall~x\in~{\bf~P}(x~\bot~p~\rightarrow~x~\le~q)\cr~$
この場合 $q~$ は $p~$ に対して一意に定まることは容易に分かります。この $q~$ を便宜上 $-p~$ と記述すると
${\bf~P}~$ 上のフィルター $F~$ がが超フィルターである必要十分条件は、
$\forall~p\in~{\bf~P}(p\in~F~\,\vee\,~-p\in~F)~$
[証明] F が超フィルターであるとして ${p\not\in~F,-p\not\in~F}~$ と仮定する。ここで $G={F}\cup\{q\in{\bf~P}|p\le~q\}~$ を考えると $G~$ はフィルターである。なぜならば ${r~\in~F},~{r~\bot~p}~$ なる要素が存在したと仮定すると $r\le{-p}~$ が成立し $-p~\in~F~$ となり矛盾。これは $F~$ の極大性に反する。逆に任意の $p~\in{\bf~P}~$ に対し $p~\in~F,\,-p~\in~F~$ が成立すると仮定し $F\subset{G}\,F\neq~G~$ なるフィルター $G~$ が存在するとき $r~\in~G~-~F~$ を固定します。このとき仮定により $-r~\in~F~$ が成立し従って $-r~\in~G~$ となり矛盾。この命題を集合 $X~$ の巾集合の包含関係の順序に適用すると
集合 $X~$ 上のフィルター $F~$ が超フィルターである条件は $\forall~Y~(Y~\subset~X\,~\rightarrow\,~(Y\in~F~\,\vee~\,X-Y~\in~F))~$

[κ-完備フィルター]
$\kappa~$ を基数とし ${\bf~P}~$ 上のフィルター $F~$ が次の条件を満たすとき $F~$ を κ-完備フィルター(κ-complete filter) と呼びます。
$\lambda~<~\kappa~$ に対する $F~$ の任意の要素の族 $(p_\alpha)_{\alpha\in\lambda}~$ に対して $r~\in~F~$ が存在して $\forall~\alpha\in\lambda(r~\le~p_\alpha)~$
集合上のフィルターの場合次の条件となります。
$(Y_\alpha)_{\alpha~\in~\lambda}\,\,\,(\lambda<\kappa)~$ を $F~$ の要素の族とするとき $\bigcap_{\alpha~\in~\lambda}Y_{\alpha}\,\in~F~$
通常のフィルターは ω-complete です。また κ が正則(regular) な基数の場合その上に自明でない κ-complete filter が存在します。例えば $F=\{x:\,|\kappa-x|~<~\kappa\}~$ を考え $\lambda<\kappa~$ に対する $F~$ の列 $(x_\zeta)_{\zeta<\lambda}~$ を考えると $\kappa~-~\bigcap_{\zeta<\lambda}x_\zeta~\,=~\,~~\bigcup_{\zeta<\lambda}{(\kappa~-~x_\zeta)}~$ の基数は κ の正則性により κ より小さくなるので $F~$ は自明でない κ-complete filter となります。また κ 上の closed unbounded filter なるものも κ-complete filter となります (次回以降に証明)。κ 上の自明でない κ-complete 超フィルターが存在するかどうかは ZFC から証明できません！！。
極悪日記
いやいやそれほど悪いことを書いているとは思わないのですが、お客様と自分に対して負荷をかけるという点で、日記の極悪化が急速に進行している気がするのです。もともとこの日記の特徴はどんなブラウザでも見れて、さらに軽快というポリシー(というか手抜き)であったのですが、最近は写真を張り付けたり、さらには数式を画像化して張り付けたりということで、写真はともかくとして本来文字情報である数式まで画像にしてしまったのは良くないことであるのは分かっているのです。ただし数学屋さんは HTML(というか普通の文章)ではあまり使われなく表現が難しい文字が大好きで、さらに集合論の文献を読むといわゆる「普通の数学」よりさらに変わった文字が多い様な気がします。というわけで現状の HTML での数式表現の貧弱さを考えると、これも当面いたしかたがないかと考えています。もう一つの問題はサーバーのプロセス実行の方でありまして、たとえば今現在この日記(2004年7月)に遊びに来てくださると、なんと数式表示 CGI が 88個動作したりします。さらに CGI の中では(sh をいれると)6個のプロセスが動作しまして、
一回のアクセスで一気に528個のプロセスが動作する(^^;
という状態なのです。さらにアクセスカウンターを表示させるために httpd-access.log を全部読み込むという負荷もかかったりします(CGI のログが多くなり http-access.log も膨張傾向にあるのです)。まあほとんどのプロセスイメージがキャッシュに入っているのと、fork の書き込み時コピーを考えると思った程の負荷ではないと思うのですが、なんともはや最近の安物ノートサーバーの性能もたいしたもんだと逆に感心したりするのです。幸か不幸か回線がのろいのと(近々速くするという人のうわさも^^)、お客さんの数もそんなに多いわけではなく、さらに今後そんなに増えるとも思えないので、CPU の負荷に関して将来問題が発生する可能性は少ないのですが、もしサーバーの負荷等の問題でお客さまにストレスをかけている場合があるとすると、これはとても申し訳けなく、ひらにひらにご容赦頂きたいと思っているのであります。

2004年7月18日(日)

R30 ハードディスク復旧大作戦
昨日偶然不良セクターがあることが分かったサーバーさまの R30 ですが、せっかく先日 OS をアップデートしたばかりなので、ハードディスクの交換もしたくないし面倒ということで badsect コマンドによる手作業の修復です。badsect コマンドは不良セクター番号を引数で与えると、そのセクターをファイルに変換してその場所に次の書き込みが起きないようにする、という非常に分かりやすいがその場しのぎの解決方法を提供するのですが、使い方にはいろいろ注意が必要そうです。まずは不良セクター番号の調査ですが、これには dd コマンドを使用します。不良が発生したファイルシステムのデバイスが /dev/ad0s1g と仮定すると、
# dd if=/dev/rad0s1g of=/dev/null
このコマンドで 20G バイト程度のファイルシステムを検査すると非常に時間がかかるのですが、数時間後にめでたく(^^;
/kernel: ad0s1g: hard error reading fsbn 52636016 (ad0s1 bn 52636016; cn 3481 tn 52 sn 20) status=59 error=40
なるメッセージが。これで問題の開始セクター番号(52636016)が分かったので (これを通知して dd はお亡くなりになる)、次は C のプログラムを書いてどのあたりまで問題があるか調査です。
```
#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <unistd.h>
#include <fcntl.h>

#define START (off_t)(52636016LL*512) /* 512 は 1セクターのバイト数 */

int main(int argc,char **argv)
{
    int f;
    char buf[512];
    off_t offset=atol(argv[1]);

    if ((f=open("/dev/rad0s1g",O_RDONLY))==-1) {
        perror("/dev/rad0s1g");
        return(1);
    }
    if (lseek(f,START+offset*512,0)==-1L) {
        perror("lseek");
        return(1);
    }
    /* 必要があればループにする */
    read(f,buf,sizeof(buf)); /* 失敗すると syslog にメッセージが出る */
    return(0);
}
```
このプログラムに 0,1,2,3,... と引数を与えどのセクターまでエラーを引きずるかを調べまたところ、52636242 までいくつかだめセクターが存在し、その後は大丈夫そうです。すなわち若干の余裕をみて 52636000 から 52636255 位までの 256 個を退避すれば大丈夫そうです。というわけで、手順のみを記述しますと、
(1) Single user mode でブートする
(2) # mount /dev/ad0s1g /mnt
(3) # cd /mnt
(4) # mkdir BAD
(5) # /sbin/badsect ./BAD 52636000 52636004 ... 52636252
(6) # cd /root && umount /mnt
(7) # fsck /dev/rad0s1g ...必要な間繰り返し
まず注意ですが、私の環境ではファイルシステムのブロック長が 16384バイトでフラグメントが 2048 バイト。小さいファイルはフラグメント単位に作成されるので、(5) は 2048/512 ということで 4つおきにパラメターを指定します(もちろん最初は全部指定してはまったのでした^^)。またパラメーターが多いので、事前に awk 等でパラメーターリストを作成したシェルを用意しておくと便利です。fsck は大量に文句を言いますが、BAD のファイルを消去するか、という質問には NO と答えます。また「BAD 内のファイルは 0 バイトにアロケートされているが正しくは 2048 バイト(4 セクター)であるので修復するか」と聞かれるのでこれには YES と答えます。また今回の様に、不良セクターを含んだ普通のファイルが存在する場合、それを削除するかも聞いて来ますので、それには YES と答えます。その後何回か fsck を行い、とにかく文句が出なくなるまで継続します。というわけで /usr/BAD 内にめでたく 2048 バイトのファイルが 64 個出来て fsck も文句を言わなくなったので、おそらくこれでしばらく大丈夫だと思うのですが、今後あたかも癌のごとく不良セクターが増殖するようでしたら、その場合はこちらのページとそのリンクを参考にさせて頂いて、ディスクを取り換えるしかありませんな。
dd で raw デバイスを全部読み込んでみるのは、運用しながらでも問題ないので、定期的に行うのが良いかもしれません。
(関連項目) 大成功した不良セクター修復
半順序とフィルター
[集合論雑記目次]
半順序の定義は前に書きましたがここで再掲します。
集合 X 上の二項関係 $\le~$ が次の条件を満たすとき半順序という。
$(a)\,~\forall{x\in~X}(x~\le~x)\cr~~(b)\,~\forall{x,y,z\in~X}(x~\le~y~\,\wedge~y\,\le~z~\rightarrow~x~\le~z)\cr~~(c)\,~\forall{x,y\in~X}(x~\le~y~\,\wedge~y\,\le~x~\rightarrow~x~=~y)~$
(c) の条件を要求しない場合もありますが、この場合次の同値関係
$x~\le~y~\,\wedge\,~y~\le~x~$
による商を考えると (c) の条件が満たされることが分かります。今後 (c) の条件が満たされない「半順序」を考える場合その時点で明示することとします。ここで半順序に関して今後使用されるいくつかの言葉を列挙します。
(a) x,y が両立する(compatible)とは $\exist~z\in~X(z~\le~x~\,\wedge~z\,\le~y)~$
(b) X の部分集合 Y が鎖(chain) であるとは $\forall~y,z\in~Y(y~\le~z~\,\vee\,~z~\le~y)~$ であること。要するに Y が X の全順序部分集合であること。
(c) x,y が compatible でない(incompatible)とき $x~\bot~y~$ と記す。
(d) X の部分集合 Y が反鎖(antichain)であるとは $\forall~y,z\in~Y(y~\neq~z~\rightarrow~y~\bot~z)~$ を満たすこと。
(e) X が c.c.c(countable chain condition) を満たすとは、X の任意の反鎖が可算であること。
さらに半順序の重要な例として「木(tree)」というものがあります。
[tree の定義]
半順序集合 T が次の条件を満たす時「木(tree)」であると言う。
任意の $x~\in~T~$ に対し $\{y~\in~T~|~y~<~x\}~$ は整列集合。
$\{y~\in~T~|~y~<~x\}~$ は整列集合なので順序型をもちます。それを x の高さと言い ${\rm~ht}(x,T)~$ と記述します。また文脈上明らかな場合は、 ${\rm~ht}(x)~$ と記述する場合もあります。さていよいよ半順序集合上のフィルター(filter)の定義です。
[フィルターの定義]
$P~$ を半順序集合とします。 $F~\subset~P~$ がフィルターであるとは次の条件を満たすこと。
$(a)\,~F~\neq~P\cr~~(b)\,~\forall~p\in~F\forall~q\in~P(p~\le~q~\rightarrow~q\in~F)\cr~~(c)\,~\forall~p,q\in~F\exist~r\in~F(r~\le~p~\,\wedge\,~r~\le~q)\cr~$
任意の $p\in~{\bf~P}~$ に対し $\{q\in~{\bf~P}|p~\le~q\}~$ はフィルターになることが分かります。これを自明なフィルターと呼びます。また最も重要な例として集合 X の巾集合を考えると $\wp(X)~$ の部分集合 F が $\wp(X)~$ の半順序 $\subset~$ に関してフィルターになるとき(言語の濫用で) F を X 上のフィルターと呼びます(歴史的にはこちらが先だと思う)。具体的に書くと、
$(a)\,~\emptyset~\not\in~F\cr~~(b)\,~\forall~x~\in~F~\forall~y\in~X(x~\subset~y~\rightarrow~y~\in~F)\cr~~(c)\,~\forall~x,y~\in~F(x~\cap~y~\in~F)~$
(b) の条件は全然本質的ではありません。議論を透明化するための方便とでも言いますか。例えば位相空間での「近傍」の定義で本来近傍たるもの、もちろん小さい部分が重要なのですが、「近傍を含む集合は近傍である」という規則を追加し議論を簡単にしているのと同様のものなのです。今回は定義ばかりになってしまいました。次回は超フィルター(ultra filter)の概念に言及する予定です。

2004年7月17日(土)

X24 ハードディスク交換
昨日から X24 のハードディスクを 80G のに交換していまして、FreeBSD 自体のインストールは問題なく終了したのですが、なんと作業中に R30 からバックアップしたファイルを復元しようとしたら、
R30 にバックアップした tar.gz ファイルを読むときに(R30 側で)ファイル I/O エラーになります(-_-)
うーむこれはなんという...。幸い tar.gz ファイルの最後の方でエラーになるので、前のディスクを持ち出すほどのこともなかったのですが、今後 R30 側が信用できない状態になってしまったようです。エラーになったのは /home/ 以下のバックアップである home.tar.gz なるファイルの最後の方でして、その後にバックアップしたファイルには問題なさそうなので、当面このファイルを 消さなければ大丈夫のような気がするのですが、いやはや近いうちに今まで使っていた X24 のディスクを R30 の方に入れ換える必要がありそうなのですが、R30 のディスク交換は難しそうなので果してできることやら。 badsect コマンドで不良セクターを FIX できれば良いのですが、いまいち自信がなかったりします。余談ですが X24 や R30 のディスクの容量を 40G と勘違いしていまして(本当は 30G)、それならば新しいのは 60G でも良かったのでは、と後悔している自分が情けないのですが、音が静かなのはよろしい。

2004年7月16日(金)

さかさ朝顔壊滅(^^;
ひっくりかえして育てていた朝顔ですが、なんと昨日の昼間鉢を支えていたガムテープが耐えきれず、ついに壊滅したそうな(^^。仕方がないので奥様が残骸を拾って普通に植え直したのですが(その方が良かった？)、まだ夏休み前だというのに実験は失敗に終ったのであります。ところで今までの経過なのですが、いくら逆さまにしても朝顔のつるは上に伸びようとして、それをまたまた奥様が無理矢理棒に巻き付けて(おい^^)、それでも次の日にはまたまた巻いたのをほどいて上に向かって育とうとする、という壮絶な戦いが繰り広げられたのですが、ここに至りてついに戦いのの幕は閉じられたのであります。ちなみに無理矢理巻き付けるといっても、巻き付けやすい回転の方向はあるようで、やはり伸びる方向に向かって右巻きになるというのが正解でした(^^。
余談ですが教えて下さった方によりますと、北半球と南半球で巻き付く向きが逆、というのはエイプリルフールねただそうな...。

2004年7月15日(木)

Windows XP 再注文
というわけで本日 IBM に電話をしたところ、すぐに速達で送ってくれることになったのでした。注文書でなく現物だとなおよいのですがねえ。ちなみに 80G のディスクは昨日届いていまして、とりあえずあさってあたり FreeBSD を試しインストールしようと思っているのです。

2004年7月14日(水)

教えてもらった透明 PNG
最近 mimeTeX を使用して数式を書く場合が増えてきたのですが、PNG の透明化の方法が分からなくて、この日記ページの背景の色がピンクっぽいということもあり、いまいち見栄えが悪い状態だったのです。例えばこんな感じ。
${\bf~P}$ を半順序集合とし $\kappa$ を基数とする。 $({\cal~D}_\alpha)_{\alpha~\in~\kappa}$ を ${\bf~P}$ の稠密(dense)部分集合の列とするとき ${\bf~P}$ 上のフィルター $F$ で
${\forall~{\alpha\in\kappa}(F~\cap~{\cal~D}_\alpha~\neq~\emptyset)}$
なるものが存在する。
うーんかっこわるいですねー(^^。なんとかならないものかな〜、と思いつつ放置していたら、うれしいことにたかたにさんが教えて下さりまして、どうも PNG を透明化する方法があるようなのです。で、さっそくまねをして作った CGI の出力が下のもの。
${\bf~P}~$ を半順序集合とし $\kappa~$ を基数とする。 $({\cal~D}_\alpha)_{\alpha~\in~\kappa}~$ を ${\bf~P}~$ の稠密(dense)部分集合の列とするとき ${\bf~P}~$ 上のフィルター $F~$ で

$\forall~{\alpha\in\kappa}(F~\cap~{\cal~D}_\alpha~\neq~\emptyset)~$
なるものが存在する。
ふむふむすごくかっこよくなりました。まあ日本語の間にある数式の上下がもう少しそろうとなお良いのですが、このあたりはオリジナルの TeX の様な見栄えの良さは到底望めず当面がまんするしかなさそうです。MathML が一般化して TeX 記述によるプリプロセッサーが充実すれば一番良いと思うのですが...。いずれにしても以前に比してはるかに良くなりました。どうもありがとうございます(^^。
img src 〜 align="middle" としたら文字と png の配置が良い感じになりました。
ちっとも来ない XP 注文書
やっとこさ(なまってますな)昨日猫森の振り込み用紙は来たのですが、 IBM に頼んだはずの Windows XP リカバリー CD の注文書が来ません(^^;。いやはや 80G のハードディスクは今日か明日届くと連絡があったのに、天下の IBM が何やってるんだか。明日の昼休みにでももう一度連絡するしかなさそうですな。

2004年7月13日(火)

やっと届いた猫森振り込み用紙
こんどの猫森集会の FC 先行予約はネットで行いまして、予約自体にも色々紆余曲折があったのですが、とにもかくにも予約できまして、それによりますと入金用のコンビニ振り込み用紙が届くということだったのです。ところが昨日になってもまだ届かず、さすがに今日届いていなかったら(〆切は明後日)、銀行振り込みで予約しようと思っていたのですが、おうちに帰ったら届いていました(^^。ということでさっき近くのコンビニに振り込んできまして、銀行振り込みがちょいと面倒、ということでネット予約→コンビニ振り込みにしたのですが、来年からはまた銀行振り込みにしたほうが精神衛生上よろしそうです。
アクセスカウンタ状況
丁度一週間前から開始した日記のアクセスカウンタ表示ですが、日々の状況としてはこんな風でして、

2004/07/06(火) 186

2004/07/07(水) 155

2004/07/08(木) 160

2004/07/09(金) 154

2004/07/10(土) 123

2004/07/11(日) 106

2004/07/12(月) 165

合計/平均 1049/149.9

土日はアクセスが少ないのですが平均すると一日あたり 150 弱位で、一週間で丁度 1000アクセスという感じです。おうちの日記の場合内容はともかくとして、更新が比較的まめなので、量が増えれば(はずれ)検索のヒット率も増えるであろう、ということでこの程度のペースは今後も維持できるとは思うのですが、最初に書き始めた頃を思い出すに夢のようなアクセス件数ですな(^^。

2004年7月12日(月)

知らなかった AH-K3001V の使い方
ふむふむ、こんな便利な使い方があったのですか。全然知りませんでした。さっそく参考にさせて頂きます。そんれにしてもこの機種に関しては私の方が大先輩(^^であるはずなのに、いつものとごく完全に追い抜かれていますな(^^。

2004年7月11日(日)

参議院選挙
行ってきました。でも選挙区で投票したい人が...。白票というのもなんなので、まあ悪くはないであろう(どうせ当選しないし)という人に入れましたが、候補者全体の問題ではあるとのですが、特に小数野党の人材不足は深刻であると思うのです。それにしても比例区は制度上の憲法違反。選挙区は格差が５倍以上の違憲選挙とは、最高裁の裁判官は例えば自分の給与が５分の１に減ったらどうなるかということを想像する能力もないのかな。個人的には一票の格差は多くとも 1.01 倍以内におさえるべきであると思うし、例えば全国を 10,000程度(必要があればもっと多く)のメッシュに分割して、一つの選挙区に対し順番にメッシュを(複数)割り当てれば簡単に出来ると思うのだが。

2004年7月10日(土)

バネの謎
モカちゃんが比例の勉強をしてたら、「バネの伸びは引っ張る力に比例する...」と教科書に書いてあったのです。それを聞いた私のつっこみは、
伸びきった場合を考えれば比例するわけないじゃん(^^
というあたりまえのことなのですが、考えてみると普通の状況では大体比例すると考して良いのでしょうが、伸びきる直前の挙動は全く不明ですな。ということでモカちゃんの夏休みの自由研究ねたができたかな〜、と思ったのですが、なんと奥様の考えはもっと過激でして、
夏休み自由研究は巻きもの系だね(^^;
ということなのです。いやいや朝顔のつるをバネにして実験をするような、そんな残酷なことは絶対にいたしませんのでご安心をほどを(^^。

2004年7月9日(金)

構造とモデル
[集合論雑記目次]
言語と理論の変数が動く対象領域を明確化し、述語記号・関数記号を外延化し、さらにその外延において具体的な真偽を考えたもの(だと思う)をそれぞれ「構造」「モデル」と言います。
[構造]
言語 ${\cal~L}~$ を固定します。「 ${\cal~L}~$ -構造( ${\cal~L}~$ -structure)」は次の要素からなります。
(a) 集合 A. これを ${\cal~L}~$ -構造の土台となる集合と呼びます
(b) ${\cal~L}~$ におけるおのおのの定数と一対一に対応する A の要素。定数 c に対応する A の要素を c^A と記述します
(c) ${\cal~L}~$ におけるおのおのの n 変数関数記号と一対一に対応する Aⁿ から A への関数。関数記号 f に対応する関数を f^A と記述します。
(d) ${\cal~L}~$ におけるおのおの n 変数述語記号と一対一に対応する Aⁿ の部分集合すなわち n 項関係。述語記号 φ に対応する関係を φ^A と記述します。
このように定義された $~~~{\cal~~L}~~$ 構造を $~~~{\cal~A}~=~(A,(f^A,...),(\phi^A,...),(c^A,...))~$ と記述します。さて A の要素の可算列を a=(a_n) として $~~~{\cal~~L}~~$ の項と論理式の a における「解釈」 $~~~{\cal~I}~$ を次のように帰納的に定義します。ここで x という記号は $~~~~{\cal~L}~$ の自由変数 x=(x_n),..., (これは固定されていた) の列として、項 t を t[x] と記述して t[x] に現われるおのおのの自由変数 x_n に a_n を代入したものを t[a] と記述します。
[項の解釈]
項の解釈は A の要素です。
(a) ${\cal~L}~$ の変数 x_n に対しその a による解釈は a_n
(b) ${\cal~L}~$ の定数 c の a による解釈は c^A
(c) f を ${\cal~L}~~$ の関数記号、t₀[x],...,t_n-1[x] を ${\cal~L}~~$ の項とするとき f(t₀[x],...,t_n-1[x]) の a による解釈は f^A(t₀[a],...,t_n-1[a])
項 t を a で解釈した A の要素を t^A[a] と記述します。次に論理式 φ が(具体的な A の要素列) a において真であるという解釈を帰納的に定義します。このことを ${\cal~A}|=\phi[a]~$ と表し「a は A で φ を満足する」と称します。
[論理式の解釈]
論理式の解釈は A における関係の真偽です。
(a) ψ を言語 ${\cal~A}~$ の n 変数述語記号として t₀[x],...,t_n-1[x] を項とします。φ を ψ(t₀,...,t_n-1) の形の論理式とするとき、 (t₀[a],...,t_n-1[a])∈ψ^A のときに限って ${\cal~A}|=\phi[a]~$
(b) ${\cal~A}|=\phi[a]~$ または ${\cal~A}|=\psi[a]~$ が成立するときに限って ${\cal~A}|=(\phi\vee\psi)[a]~$
(c) ${\cal~A}|=\phi[a]~$ が成立しないときに限って ${\cal~A}|=(\neg\phi)[a]~$
(d) すべての b∈Aに対し ${\cal~A}|=\phi[b,a]~$ のとき ${\cal~A}|=\forall{x}(\phi(x))[a]~$
特に φ が自由変数を含まない場合、上の定義は a に依存しません。その場合「A は φ を満足する」「φ は A で真である」等の言葉を使い ${\cal~A}|=\phi~$ と記述します。
[モデル]
言語 ${\cal~L}~$ の構造を ${\cal~A}~$ として、 ${\cal~L}~$ の公理系(理論)を M とします。M の各論理式 φ に対して ${\cal~A}|=\phi~$ が成り立つとき ${\cal~A}~$ を M のモデルと言い ${\cal~A}|=M~~$ と記述します。
[構造の順同型・同型と部分モデル]

${\cal~A}=\{A,\phi^A,..,f^A,...,c^A,...\},~~{\cal~B}=\{B,\phi^B,..,f^B,...,c^B,...\}~$ を同一の言語を土台とする二つの構造とします。A から B への関数 u が A 任意の列 a=(a₀,...) に対して次の条件を満たすとき、
$(a)\,~u(c^A)~=~c^B\cr~~(b)\,~u(f^A(a))~=~f^B(u[a])\cr~~(c)\,~{\cal~A}~|=~\phi^A[a]~\,\,{\rm~if~and~only~if}\,\,~{\cal~B}~|=~~\phi^B[u(a)]~$
ここで u[a] は (u(a₀),u(a₁),...) の略記です。 u を構造 ${\cal~A}~$ から ${\cal~B}~$ への順同型と言います。特にこのような u が存在してかつ一対一上への関数の場合、 ${\cal~A}~$ と ${\cal~B}~$ は同型であるといいます。
特に A⊂B で次の条件を満たすとき、 ${\cal~A}~$ は ${\cal~B}~$ への部分モデル(submodel)であると言います。
(a) ${\cal~L}~$ の定数 c に対して c^B は A は属する
(b) ${\cal~L}~$ の関数記号 f に対して f^A は f^B を Aⁿ に制限したものである
(c) ${\cal~L}~$ の論理述語 φ に対して φ^A = φ^B∩Aⁿ
さらに次の条件が満たされるとき、 ${\cal~A}~$ は ${\cal~B}~$ への初等的部分構造(elementary submodel)と呼ばれ ${\cal~A}\,\prec\,{\cal~B}~$ と記述されます。
任意の ${\cal~L}~$ の論理式 φ に対して a を A の列とするとき、 ${\cal~A}|=\phi[a]~\,\,{\rm~if~and~only~if}\,\,~{\cal~B}|=\phi[a]~$
公理を固定したモデルにに関しても例えば「モデルの同型・順同型」等、同様な記述を行います。ここでモデル理論の基本的な定理や、モデルの順極限、超巾等の概念に関しても説明する要するのですが、そもそも今回のモデル等に関する記述は、今後用語を統一するためであるのと、自分自身の認識や記述のあいまいさを極力減らそうというのが目的なので、それらの議論は今後必要性が生じた段階で言及します。
次回以降の予定に関しては色々悩んだのですが、実数の構造等に対する内容の豊富さに比して案外分かりやすい(ほんとか？)、さらに将来 forcing に関して言及する場合の練習にもなる、ということを考えて Martin の公理の話を書こうと考えていますが、その前に半順序・フィルターに関する知識は必須ということで、それらに関する話題に言及し時間かせぎをしたいと考えています(^^。

2004年7月8日(木)

X24 リカバリー CD 注文
X24 を買ってから一時間後には消してしまった Windows XP ですが、ちょいと必要がありてカバリー CD を注文したのです。消してしまったとはいえライセンス自体は消滅していないはずですが、そもそもそんなもん存在するのかいな〜、という不安もあり調べたのですが、こちらのページによりますと確かに販売されているそうで、IBM に電話をかけたところお値段は 4,200円で自宅に注文書のフォームを送るので、それに必要事項を記入して送り返して下さい、とのことでした。まあ X24 自体デフォルトで CD-ROM がついていないので、ハードディスクにインストールイメージを入れて販売すること自体は悪くないと思うのですが、ハードディスクなんて消耗品なので、買ったときにリカバリー CD 一枚位つけてくれてもよいのではと思うのですが...。

2004年7月7日(水)

日記のカウンター設置
~~ねたのために~~アクセス状況を正確に把握するため、この日記にもアクセスカウンターを設置することにしました。一番下の方に余り目立たないように表示されているのがそうでして、カウントする条件は次の通りです。
(a) 同じアドレスからのアクセスは１日１カウントとする
(b) User-Agent が opera,MSIE,w3m,Gecko を含むもの
(c) 日記をアクセスしたもの
(d) (b) の条件を満たさない場合カウンター自体が表示されない。これはアンテナで年中浮き上がるのを防ぐため(^^;。
(a) の条件ですが、一日に数回遊びにきて下さるありがたい方も何人かいらっしゃるので、全部の回数をカウントするとちょっと増えすぎるのです。次に (b) の条件ですが、こちらは検索エンジン、アンテナ類をカウントしないための条件です。まあ、ほとんどが検索はずれ(たまに当たるが...)なのですが、こんなのでも一日に何人お客様が来て下さったかの大体の目安になるとは思います。肝心の実装ですが(汗)、
```
cat /var/log/httpd-access.log |
egrep -i 'opera|MSIE|w3m|Gecko' |
egrep 'all\.html|all\.cgi|20[0-9][0-9][0-9][0-9]\.html|newdiary\.html' |
awk '{print $1}' | sort -u | wc -l
```
というアクセスごとにその日の httpd-access.log を全部見にゆくという、非常に効率が悪い方法なのですが、そんなにアクセスが多いわけでないので大丈夫でしょう(^^。さらに夜中の 3時に一瞬 httpd を停止して httpd-access.log を日付フォーマットのファイルにしてバックアップするので、そのタイミングで日毎のアクセスサマリーファイルを作成し、それの合計を上記の出力と加算するのです。本当はデーターベースを作ってきちんと管理すれば良いのでしょうが、さすがにこれだけのためにデーターベースを作成するのも面倒だし、さらに運用する気力もなかったりするので、とっても手抜きなテキストファイルによる管理方法になったのでした。
余談ですが、大勢に影響がないので大てぬきしまして、httpd-access.log を読んでいる部分を見ると egrep -i 'opera|MSIE|w3m|Gecko' なる行があります。ユーザーエージェントを解析しているなど大嘘でして、単にログ一行全体にこれらの文字列があるか見ているだけだったりします。さらには次の行の egrep もとんでもない手抜きなのですが、こちらも (a),(c) の条件を考えれば大勢に影響がないかと(^^。

2004年7月6日(火)

80G ハードディスクの誘惑
仕事と遊びの両方で大活躍の X24 ですが、現在搭載しているのはデフォルトの 40G ハードディスクなのです。で、今のところ特に容量が不足している訳ではないのですが(と言いますか大量に余ってる^^)、
```
/dev/ad0s1a    257998  109044   128316    46%    /
/dev/ad0s1f  27296348 9411790 15700852    37%    /usr
/dev/ad0s1e    257998   54808   182552    23%    /var
```
種々の理由によりもう少し容量が大きければな〜、と思う今日この頃なのです。その理由は、
- 今はかなり意識して節約しているのでもっと思い切って使いたい。特に BSD や Linux の色々なバージョンのカーネルを扱うので、 global でリファレンスを作成して調査することが多いが、これが多大なディスク容量を要求する。また kernel のソース自体も色々なバージョンを置きたいので、こちらの容量も無視出来ない。
- Windows とデュアルブートにしたい(^^。理由はこちら。Windows の領域は 15G 位あれば十分。
- インストール等の実験を考えると、現行のハードディスクを予備として保存したい。
あたりなのですが、価格を調べるとずいぶん安くなったもので、大体 20,000 円位で購入できるようです。ただし最近はイベント出費が多いのでちょっとこれ以上の出費はまずいか。どうしよう...(^^。
＃ところで高さ 9.5mm と書いてあるのは X24 に入るのだろうか？

2004年7月5日(月)

こんどね
特に外国の本に多いと思うのですが、各章の始めに、その章の内容を暗示する「偉人の御言葉」とか「詩や文学からの引用」が書いてあることがあります。最近はコンピューターにあまり興味がなくなって(「計算理論」に対しては多大なる興味があるのですが「計算機理論(そもそも理論なんて存在しないが)」に対する興味が...) 、そちら関連の本は全然読まなくなってしまったのですが、昔読んだ BSD かなんかの実装の本に「リアルタイム」に関連する章がありまして、その章の始めに書いてあった御言葉がなかなか面白く、
今欲しいの〜(キャサリン４歳)
というもので、これはなかなかリアルタイム性の本質をついているな〜、と感心した記憶があるのです。もちろんこの４歳のお嬢さんは著者の愛娘さまだと思うのですが(キャサリンという名前は今思いついたので原著とは違うと思います)、おそらく著者と娘さんの間にこんな会話があったと想像されるのです。

娘これが欲しい

父こんどね

娘今欲しいの〜

「こんどね」というのは子供が最も嫌う言葉の一つであるのは間違いないのですが、親の方が子供に「もう齒磨いた〜」とか聞いたときに「さっき〜」と答えに対して、時間に関する明確な保証がないということで、いまいち信憑性に欠けると思うのと同様な心理なのだと思います。ちなみに次の会話などは日常茶飯事なのですが、

顧客まだ出来ないのですか

私すみませんあと２週間ほどお時間頂きたいと...(汗)

最後の言葉を「こんどね」と言えればとってもとっても幸せでしょうな(^^。

2004年7月4日(日)

第七官界彷徨チケットげっと
浩子さんの「空間読書の会第一回公演」の公演予定は、

8月7日(土)一回目開場15:30/開演16:00

8月7日(土)二回目開場19:30/開演20:00
8月8日(日) 開場16:00/開演17:00

なのですが、ファンクラブ優先予約は上記の一回のみ可能でして、予約出来ていたのは日曜日だけ。幸い土曜日の二回目は人様にお願いしてありがたくも譲って頂けることになったので、本日 10:00 から土曜日一回目の一般購入に挑戦です。で、2年程前に会員登録をしてあったイープラスで購入しようとして念には念をいれて IE/Windows でアクセスしたのですが、なんと
クレジットカードが期限切れです(-_-)
ということで購入出来ません。仕方がないので、大急ぎで(期限がのびた)クレジットカードを再登録したのですが、すぐには反映されないらしく全くらちがあかないのです。さらにクレジット支払いをやめて銀行振り込みにしたりしたのですが、こちらも反映されません。しかもイープラスのサーバーはあまり性能が良くないらしく、せっかく打ち込んでボタンを押しても接続を拒絶されたり、「しばらくお待ち下さい」メニューが出ることも多いのです。むむむっこれはまずい、ということで大急ぎでチケットぴあの方に切替えてアクセスしたところ、こちらは住所やカード番号を入力する必要はあったものの、会員になる必要もなく、さらにはそこそこ良さそうな座席のチケットをすんなり確保出来たのです。うーむこれは最初からぴあで予約した方が良かったかも知れませんな。ブラウザを二つ上げて両方同時に、ということも考えたのではありますが、さすがにそれは面倒なので行わなかったのであります。
というわけで、三回とも行くことになりましたので、よろしくお願い致します(^^。
一階述語論理を含む言語〜続き
[集合論雑記目次]
前回(昨日)一階述語論理を含む言語に関して大急ぎで定義しましたが、本日はその内容に関していくつかコメント致します。まず「言語」の部分ですが、今後一階述語論理の記号と生成規則、公理、推論規則、関数記号、述語記号を含む体系とします。さらに言語を記述する場合には、一階述語論理の記号と変数に関する部分は省略してしまう場合が多いのです。例えば言語 ${\cal~L}~$ を記述するとき、
${\cal~L}~=~~~((\phi_0,\,\phi_1,...),\,(f_0,\,f_1,...),\,,(c_0,\,c_1,...))~$
など厳密さを要求している割には案外いいかげんな書き方をして申し訳けないのですが、、ここで c₀,c₁... は言語の定数を意味し、 φ₀,φ₁... は述語記号、 f₀,f₁... は関数記号を表します。さらに例えば集合論の言語はもっと省略して、 ${\cal~L}~=~(=,\,\in)~$ もし 0,ω を定数とする流儀であるなら ${\cal~L}~=~((=,\,\in),\,(0,\omega))~$ 等の記述もありえます。実をいいますとこの記述は厳密に行わないと、言語 ${\cal~L}~$ をコード化して集合論の内部で扱おうとするときにまずいのですが、当面気にしないこととします(このあたりはあまり知らないのでいいかげんなのです)。さらに上で使用した「集合的」な記述は、実は直観的な集合であり、集合論における対象、すなわち集合とは異なります。今は集合論の土台となる部分を記述しているので、このような「直観的」な記述は避けられません。これらの定義に現われる自然数も、順序数として定義した集合論の自然数とは異なり、通常の直観的な自然数を使用しているのです。
それでは言語のことはちょっと忘れて、肝心の一階述語論理の部分に関していくつかコメントします。
[一階述語論理に関するコメント]
まず今回論理記号として ∨ ¬ ∀ ( ) を採用しましたが、もちろん∧ ∃ → 等を追加しても良いし、∨ の替わりに ∧ もしくは →、∀ の替わりに ∃ を採用しても良いのです。ただしそうすると公理が増えるのと、将来論理式の記号の数に関する帰納法(これは頻繁に使用されます)を行うときに少々面倒が増える、ということで今回は記号の個数は最小限としました。またここでは証明しませんが昨日の公理と推論法則により、一階述語論理の真である論理式はすべて証明出来ることが知られています。
[シェーマに関するコメント]
例えば集合論で生成される「論理式」は昨日の定義により、例えば、
x₂∈x₃
∃x₇(∀x₉(¬ (x₇∈x₉)))
のように、論理記号と変数により、論理式生成規則に即して構成された有限列からなるものだけなのです。一階述語論理の公理 (a) は例えば具体的に
x₂∈x₃ → (∃x₇(∀x₉(¬ (x₇∈x₉)) → x₂∈x₃)
が公理であることを示しているのであり、これは P,Q を置換する論理式(これは直観的に可算無限個存在する)に対して、おのおのが公理であることを主張しているのであり、無限の公理を一つの型(シェーマ)として表現しているのです。さて集合論の公理における「内包の公理」と「置換公理」をもう一度見直すと、「任意の論理式」という概念が含まれていて、これは(場合によってはある条件を満たす)無限個の論理式に言及した公理のシェーマなのであります。したがって今まで記述した集合論(と正則の公理) 即ち ZFC 公理系は実際には無限個の公理をもちます。
[仮定法・背理法・存在記号の解釈に関するコメント]
理論(言語と公理)の一時的な拡張は頻繁に行われます。それに関していくつかの超数学的な定理を述べます。
[仮定法の原理]
M を言語 ${\cal~L}~$ における公理の集まりとして φ を論理式とします。
M∪{φ} |- ψ のとき M |- (φ → ψ)

[背理法の原理]
M を言語 ${\cal~L}~$ における公理の集まりとして φ を論理式とします。
M∪{¬φ} が矛盾するとき M |- φ
存在記号 ∃ に関しては少々話が面倒です。たとえば ∃x(φ(x)) が証明されたとします。この場合良く使われる証明方法としては、
&phi(a) が成立する a を固定する。しからば...
というのが普通であると思います。ところがこの a は存在することは直観的には分かるのですが、具体的にどのような対象(項)を表すのかはっきりしません。ちょっと考えると一つの集合から要素を「抽出する」ことにさえ「選択公理」が必要な気分になってしまいます。ところがこれにはうまい逃げ道があるのでして、
[存在記号の解釈]
M を言語 ${\cal~L}~$ における公理の集まりとして M |- ∃x(φ) であるとします。このとき言語 ${\cal~L}~$ に含まれない定数記号を a として ${\cal~L}~$ に a を追加した言語 ${\cal~L^'}~$ を考えてさらに ${\cal~L^'}~$ で公理系 M∪{&phi(a)} を考えます。ここで ψ を a を含まない論理式とすると、 ${\cal~L^'}~$ で M∪{&phi(a)} |- ψ ならば ${\cal~L}~$ で $M~|-~\psi~$
という超数学的な定理が成立するのです。一時的に言語や理論を拡張することにより、存在すると証明された「対象」を一時的に記述することが許されるのです。同様な超数学的な考察により、例えば集合論における {x|φ(x)} の使用や ℵ₃ の使用を根拠づけることが可能です。

2004年7月3日(土)

一階述語論理を含む言語
[集合論雑記目次]
現代数学を記述する基礎としてほとんどの場合集合論が用いられるのですが、「集合論」自身を記述する場合に通常使用する論理体系を「一階述語論理」と言います。ここでは一階述語論理(first order logic)を含む言語(language) について簡単に記述します。たいくつといえばたいくつなのですが、この辺りの定式化(formulation)をきちんとしておかないと、今後集合論における種々の公理の無矛盾性や独立性、それに関連してモデル等を考える場合に意味が不明確になってしまうのです。余談ですが一般向けの書物で「モデル」の直観的説明を読んだことが何回かありますが、どうもあいまいというかなんというか、いまいち意味が分かりませんでした。数学の概念はある程度慣れると「形式的」な記述の方が分かりやすい、という面が多々あると思います。
本日書く内容だけでは(特に知らない人にとっては)全く意味不明と思われますが、次回にその直観的な意味と具体例を記述することにします。
一階述語論理を含む言語は次の要素からなります。
論理記号
変数
定数
関数記号
述語記号
項と論理式の生成規則
(推論法則)
(述語論理の公理)

論理記号は一階述語論理の基礎となる記号群で、ここでは「または」「否定」「すべて」「括弧」を表す記号群を導入します。実は「代入」の規則も書く必要があり、見掛けより難しいのですが、後述の束縛変数に注意して「常識的」に行うということで、今回は省略します(書くときっと間違えそうなので)。
[論理記号]
次の記号五つの記号を論理記号と言います。

∨ ¬ ∀ ( )
→ や ∃ を論理記号とする流儀もありますが(そちらの方が主流？)ここでは採用しません。
[変数]
変数は x₀, x₁ ,..., x_n,...(n は自然数) なる記号に(建前上は)固定します。ただし毎回添字記号を使用するのは繁雑なので実際上は x,y,z 等の記号を(変数の任意の一つを表すという意味で)使用します。要するに「必要なときに新しい変数を調達出来る」ということが大切なのです。
[定数]
言語に定数を導入することが可能です、定数の記法は固定しませんが、例えば集合論を構築する場合 0,ω を最初から定数としてとりこむ流儀もあります。もちろんこの方式を採用する場合、これらの定数を意味付けする公理が必要となります。例えば 0 の場合空集合の公理、ω の場合無限公理を対応させます。
[関数記号]
関数記号を導入することが可能です。おのおのの関数記号には(関数のパラメタの個数を表現する)1 以上の自然数が対応します。対応する自然数が n の場合 n 変数の関数記号と呼びます。引数が 0 個の関数を定数と考える流儀もありますがここでは採用しません。
[述語記号]
述語記号を導入することが可能です。おのおのの述語記号には(述語のパラメタの個数を表現する)自然数が対応します。対応する自然数が n の場合 n 変数の述語記号と呼びます。集合論は 2変数の述語記号 = と ∈ をもつ言語を土台とします。ただし = は述語論理の体系内に含ませてしまう場合も多いようです。
ここまで述べたものは形式的な定義であり、おのおのの概念の意味付けはまだされていません。意味付けには「項・論理式」の生成規則、推論法則、述語論理の公理が必要です。
[項の生成規則]
(a) 変数は項である
(b) 定数は項である
(c) f を n 変数の関数記号とし t₀,t₁,...,t_n-1 を項とするとき f(t₀,...,t_n-1) は項である
(d) 以上が項のすべてである
[論理式の生成規則]
(a) φ を n 変数の述語記号、 t₀,t₁,...,t_n-1 を項とするとき φ(t₀,...,t_n-1) は論理式である
(b) P と Q を論理式とするとき (P)∨(Q) も論理式である
(c) P を論理式とするとき ¬(P) も論理式である
(d) P を論理式 x を変数とするとき ∀x(P) も論理式である
(e) 以上が論理式のすべてである
論理式 P に現れても現われなくても、変数 x を強調する場合 P を P(x) と記述する場合があります。同様に P(x,y),P(x,y,z) 等々記述する場合もあります。上述の構成において、論理式 P が構成されたとき、その途中に (d) の構成規則があり、その結果が ∀x(Q(x)) の形の論理式の場合 x を束縛変数と言います。束縛されていない変数を自由変数と呼びます。自由変数を含まない論理式を「閉論理式」または「文(sentense)」と呼びます。
ここで特に重要な省略記号を列挙します。これらの省略記号は原理的には必要がないものなのですが、実際上使用できないと非常に不便です。ただし省略記号自体は「論理記号ではない」ことには留意する必要があります。
(a) (P)→(Q) は (¬(P))∨(Q) の略記とします。
(b) (P)∧(Q) は ¬((¬P)∨(¬Q)) の略記とします。
(c) ∃x(P) は ¬(∀x(¬(P))) の略記とします。
言語の濫用で優先順位が明らかな場合括弧を省略する場合があります。また (∀x)(P) のように余分な括弧をつける場合もあります。
[述語論理の公理]
公理とは論理式の集まりです。言語とその言語が許す論理式からなる公理を考えたものを「理論」 と称します。これから記述する(述語論理の)公理群は、今後常に理論に含まれているものとします。次の論理式の「形」を「述語論理の公理のシェーマ」と呼びます。最初「シェーマ」というのは案外分かりにくい(私は全然分からなかった) のですが、この意味に関しては次回記述します(＊注＊実は集合論の「内包の公理」と「置換公理」は無限個の公理の形を表すシェーマです。集合論の公理が無限個あることが、超数学的な議論を難しくする場合もあります。また「超数学」という言葉の意味についても次回書く予定です)。
P,Q,R を論理式、x を変数、t を項、X を x を含まない論理式とするとき、
(a) P → (Q → P)
(b) (P → (Q → R)) → ((P → Q) → (P → R))
(c) (¬Q → ¬P) → (P → Q)
(d) ∀x(P(x)) → P(t)
(e) ∀x(X → P(x)) → (X → ∀x(P(x)))
今回の言語では → を省略記号ということにしたので、例えば (a) はうるさく言えば(正式には) ((¬(P)) ∨ ((¬(Q))∨(P)) なのであります。
[推論規則]
推論規則は「言語」において「公理」から「定理」と称する論理式を生成する規則です。「定理」となる論理式を「証明可能な論理式」とも言います。
(a) 公理は定理である
(b) P と (P → Q) が定理ならば Q も定理
(c) x を変数とし P が定理のとき ∀x(P) も定理
(d) 以上が定理のすべてである
公理の集まり(今後公理系と呼ぶ) M から論理式 φ が証明出来る(証明可能)であることを、
$M~\vdash~\phi~$
と記述します。ある論理式 φ が存在し、
$M~\vdash~\phi,~M~\vdash~\neg\phi~$
がともに成立するとき M は矛盾すると言います。このとき簡単な推論により任意の論理式 φ に対して、
$M~\vdash~\phi~$
であることが分かります。矛盾する理論からは任意の論理式が証明され、この事実は矛盾する理論がそれ単独では無意味であることを意味します(ただし理論に補助的な公理を追加し無理矢理矛盾をおこさせ、その公理の否定をもとの理論の定理とするという推論方法、すなわち背理法を考えるとある意味有用なのかも知れません)。M∪{φ},M∪{¬φ} がともに矛盾しないとき、 φ は M と独立であると言います。
述語論理の公理と推論規則は「前原昭二著〜数学基礎論入門」からの引用です。最初に書いたようにこれだけではほとんど意味不明ですので、直観的な意味等は次回記述します。ただし、特に述語論理の公理から導かれる定理群をいちいち記述すると長くなりしかも退屈、ということでこれらに関する数学的もしくは超数学的な扱いは結果のみ最小限にとどめます。

2004年7月2日(金)

体調復活
先週あたりからいまいち体調が悪く、二回も会社を休んでしまいましたが、昨日から今日にかけてやっと調子が良くなってきました。というかおとといは熱が高くて昼間中寝てて夜眠れなくなり、昨日は徹夜(昼間寝てたからほんとの意味の徹夜ではないと思うのですが...)して出勤して、おうちに帰って 22 時頃寝てしまったのです。そんなことで久々に沢山寝たのも良かったのだと思うのですが、やはり睡眠時間というのは大切で、それなりの時間を確保しないといけないなと再認識したのであります。

2004年7月1日(木)

続・モカちゃん朝顔
先日の朝顔ねたの時は何人かの方から綺麗に花を咲かせるための育て方を教えて頂きました。どうもありがとうございます。で、実を言いますと今回の朝顔栽培に関しては目的が二つありまして、一つはもちろん普通に朝顔を育てつつ観察して綺麗な花を咲かせるということでして、左の写真を見ると前回よりちょっとだけ育っているかな〜、という感じです。

ここまでは常識的な発想だと思うのですが、北半球と南半球でつるの巻く向きが違うらしい(ほんと？)、という話を聞いてモカちゃんが考え出した二つ目の目標は...、
ひっくり返して育てたらつるは右巻きになるのか左巻になるのか(^^;
ということでして、それが右の写真のようななんとも可哀想というか、もしかして朝顔を愛好する方にはとっても不愉快な状況なのかも知れません。もしそうでしたら誠に申し訳けないのですが、これも姫の好奇心から生まれた実験ということで、ひらにひらにご容赦のほどお願い致します。

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演奏	花束をもらう

料金の内訳(消費税含まず)	(円)	ご利用期間等
つなぎ放題基本使用料	5,800	６月１６日〜　７月１５日
年間契約割引額	-870	ご契約期間１ヵ月
Ａ＆Ｂ割割引額	-870
通話料	290
小　計	4,350

禾生駅(富士急行線)	線路
駅表示	この電車で帰った

2004/07/06(火)	186
2004/07/07(水)	155
2004/07/08(木)	160
2004/07/09(金)	154
2004/07/10(土)	123
2004/07/11(日)	106
2004/07/12(月)	165
合計/平均	1049/149.9

顧客	まだ出来ないのですか
私	すみませんあと２週間ほどお時間頂きたいと...(汗)

8月7日(土)一回目	開場15:30/開演16:00
8月7日(土)二回目	開場19:30/開演20:00
8月8日(日)	開場16:00/開演17:00

娘	これが欲しい
父	こんどね
娘	今欲しいの〜