Goedelが書いてる文章には、ω^2までなら大丈夫なのだがε0の上の帰納法TI(ε0)は直接的に明らかだとは言えないその理由として、 one cannot grasp at one glance the various structural possibilities which exist for decreasing sequences (I) であり、その上 such concrete knowledge [of the termination of the every such sequences] cannot be realized either by a stepwise transition from smaller to larger ordinal numbers, because the concretely evident steps, such as α→α^2, are so small that they would have to be repeated ε0 times in order to reach ε0. (II) となってるからだ、と書いてますね。この文章を無心に読むなら、ε0とかのイプシロン数が一種のcritical pointみたいになってることが大きいという訳なので、（あくまで文章の立場に従う限り）ω^ωは(I)が多少微妙だが(II)は問題無さそうということで、Goedelはω^2の方の仲間に入れちゃいそうな気もします。
てなさくも、 ω^2 くらいならいいですけど ω^ω は少々あやしくなり、ε_0 となると理屈でしか追えない状態です。ましてや ω_1 なんて、いまだ見たことがありません。
ω^n までは n 回圧縮を繰り返せばという感じでなんとか。ω^ω はあやしいどころか... ε_0 までの帰納法についてはゲーデルも直感的な妥当性について確信できないようなことを言ってたと「ゲーデルと20世紀の論理学」に書いてあったと思います。ω_1 は基数の上から目線だと表面上簡単な概念なのに、下から積み上げていくとあたかも真性特異点の近傍のごとく魑魅魍魎の世界なのが恐ろしいです。もっともそれゆえ楽しみが多いという考えもあると思います。
ご無沙汰してます。Masouです。
私は、アキレスと亀（兎と亀）の話で考えます。
兎の出発点が0、亀のいた位置が1、兎がそこについて見えた亀の位置が2、...、兎が亀に追いついて位置がω。
数直線上に置くと、0→0、1→1/2、2→1/2+1/4 .. ω→2。
ω+1はその右に置きます。
ω+1→1+1/2とおけば、ω+ω=2ω→2、3ω→3 ..
ω+1→1+1/4とおけば、2ω→1+1/2、3ω→1+1/2+1/4 ... ω*ω=ω^2→2、ω^3→3 .. となってωの多項式は配置できます。
うまく考えれば、ω→1、ω^ω→2、ω^ω^ω→3、とできれば、ε未満の順序数は配置できるような気がしますが、
私は、εを越えたあたりから思考停止になってしまいます。
多分、ε^ε^ε^..をどう考えるかという問題だと思いますが..
^の数が1、2 .. ω まではいいとして、.. εまで許ししてもいいのか..
その場合、ε^ε^ε^..(^をε繰り返す)の濃度はアレフ_0なのか？
いまだにわかりません。
とりとめのないことになってしまってすみません。
かがみさんの健闘をおいのりしています。
面白い実例ありがとうございます。一般に ω から通常の演算を高々可算回繰り返して作った順序数は可算です。したがって ε^ε^ε^.. なんかも可算順序数であることは間違いありません。ω_1 はべき集合を作る以外の集合論の公理では「到達不可能」な感じです。この事実を ω_1 の正則性と言います。
可算順序数に対する数学的直観の話をしているのは理解しているので私の話はお門違いですが‥
A. Turing が "Checking a large routine" (1949) の中で、40bit レジスタを持つマシンにとっては最大の自然数は 2^39 - 1、だから ω = 2^40、2ω (原文ママ、ω・2 の事)はその Tuple とみなせばよい、という趣旨のことを書いているので(ただこの解釈だと係数部分がceil(log(2^40, x))になってしまい整数倍っぽくありません)、私は、ならば ω^2 は任意長の文字列だ、という理解をしています。
ここから先が急にあやしくなります。ω^ω は XML もしくはツリービューコントロール(全ノードは辞書順ソート済み)の極限だ、という風に漠然と思い込んでいるのですが、その直観の由来が自分にもわかりません。
ε_0 迄の順序数を考えるときはさらにモード切替をして、ω^(x) を、「一段上の世界に棚上げする操作」と考えて(これは Cantor 標準形を実装しようと試みたことがあるのでなんとなくわかります)、その極限と考えるので、ω^ω の直観があやふやでもなんとかなっている気がします。
ω^ω のノードのひとつひとつに別のタイプのインスタンスである ω^ω をくくりつけ、その ω^ω の中のノードひとつひとつにまた別のタイプの ω^ω をくくりつけ‥とやると ε_0 に到達できそうな気がしていますが全く自信がありません。
生きている間になんとか Γ_0 までは到達したいのですが。
「ω^ω のノードのひとつひとつに別のタイプのインスタンスである ω^ω をくくりつけ」と書きましたが、たぶん「ノード」は「リーフ」の間違いだと思います。すみません。
すみません、Turing は ω・2 の話なんてしてませんでした‥いろいろ混乱しているのでやめにします(泣)
すみません。商売道具なのにコンピューター理論の話は全然分からず、 ω^2 の解釈以降理解できません。なんか面白い感じは伝わってくるのですが、ほんと理解不足で申しわけございません。
ω^ω は 自然数を素因数分解して大きい素因数から順にその指数をサドンデス方式で比較していって得られる順序づけのタイプなのです。それはわかるのですが、でも「見えてるか」といわれると見えてないです。
Goedelが書いてる文章には、ω^2までなら大丈夫なのだがε0の上の帰納法TI(ε0)は直接的に明らかだとは言えないその理由として、
one cannot grasp at one glance the various structural possibilities which exist for decreasing sequences (I)
であり、その上
such concrete knowledge [of the termination of the every such sequences] cannot be realized either by a stepwise transition from smaller to larger ordinal numbers, because the concretely evident steps, such as α→α^2, are so small that they would have to be repeated ε0 times in order to reach ε0. (II)
となってるからだ、と書いてますね。この文章を無心に読むなら、ε0とかのイプシロン数が一種のcritical pointみたいになってることが大きいという訳なので、（あくまで文章の立場に従う限り）ω^ωは(I)が多少微妙だが(II)は問題無さそうということで、Goedelはω^2の方の仲間に入れちゃいそうな気もします。
哲学者の書いた文章に、ω^2は平面的にイメージできるがω^ωはそういう視覚的イメージが持てないから怪しい、と書いたものがありますが、さすがにω^3はOKだがω^4は4次元だからダメだ的なのは数学者として無しだという気が（何となく）しますし、全てのnに対してTI(ω^n)を認めることと、TI(ω^ω)を認めることの間にはあまり差が無いように思います。
因みに証明論的順序数がω^ωの理論はPRA、WKL0、RCA0なんかの割と重要そうな体系が多いですから、TI(ω^ω)を直観的に明らかとして認めるかと言うのは派閥が分かれそうな問題になりそうな感じです。
ω^ω^ωになるとかなり怪しいですが。いかん、なんだかω^ω^ωが顔文字に見えてきた
(てなさくさん) 返信が遅くなり申しわけございません。最初「サドンデス」の意味が分からなくて困りました。ちゃんと調べるとたしかにこの順序は ω^ω になるような気がします。たしかに見えません。ただこういう分かりやすい具体例を提示して頂けると、その幻影位はみえる気がしてきます。ありがとうございます。
(標準モデルさん) 正確な情報ありがとうございます。(I) を意味のことを読んだのは覚えていますが (II) の方は完全に抜けていました。いいかげんなことを書き申しわけございませんでした。ω^2 を平面的に配置するイメージを考えようとすると、順序数の積の標準順序づけ (ぐるぐる回るの) をイメージしてしまいいまいちうまく行きません。理屈はわかりますがイメージが。あ。大分見えてきた。四次元以上困るじゃあないですか... 冗談はさておき個人的には ω^n と ω^ω では大きな違いがあるような気がします。極限をとると大きく性質が変化してしまうからです。この場合関係ないですが埋め込みの直観に使用する R^ω は局所コンパクト性もなくなってしまいますので。私にとっては ω^ω でも十分顔文字です。
ω のイメージは浮かぶんだ。フ・シ・ギ。
ちなみに、私は（´・ω・｀）がショボーンだというのがイマイチわかりません。どうみたってムク犬ですｗ。
>証明論的順序数がω^ωの理論はPRA
なんか、関数の増大度で、アッカーマン関数がω＾ωに当たるとかいう話があったような・・・。
(´・ω・｀）がショボーンってわりと感じがでているような気がしていましたが、ムク犬と言われるとそう見えるようになってきました。大きい順序数と急増加関数は色々関連があるみたいですが、勉強不足で全然分かりません。アッカーマン関数が ω^ω ですか。すると ω^ω^ω なんて想像もつきません。